八年级数学上册 第12章 整式的乘除 12.5 因式分解 2 公式法课件

(2)原式=（2a）²－ 2·2a·1+（1）² =（2a － 1）2.
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3.多项式4a²+ma+9是完全平方式(fāngshì)，那么m的值是（D ） A.6 B.12 C. －12 D. ±12
4.计算： 2 0 1 4 2 2 0 1 4 4 0 2 6 2 0 1 3 2 .
解
步骤
平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
一提：公因式；
二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分 解到不能再分解为止.
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内容(nèiróng)总结
12.5 因式分解。（3）-x2-y2。三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止）。3.中间有两 底数之积的±2倍.。（5）x2+x+0.25.。（4）因为ab不是a与b的积的2倍.。所以16x2+24x+9是一个完全平 方式，。（2）-x2+4xy-4y2.。解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）。分析：（1）中有公因式3a,应先提出(tí chū)公因式，再进一步分解因式。1002－2×100×99+99²。二套：公式
整式乘法 ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2
a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b )
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
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辨一辨：下列多项式能否用平方差公式(gōngshì)来分解因式，为什么？
（1）x2+y2 （2）x2-y2
因式分解
它们是互为方向相反的变形
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提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将
多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方
法(fāngfǎ)叫做提公因式法.
pa+ pb +pc = p ( a+b+c )
u正确(zhèngquè)找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母(zìmǔ)：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
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还记得前面(qián mian)学过的乘法公式 吗？
平方差公式 （ a b ） （ a - b ） = a 2 b 2
（3）4b²与-1的符号不统一； （4）因为ab不是a与b的积的2倍.
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例3 分解(fēnjiě)因式： （1）16x2+24x+9；
（2）-x2+4xy-4y2.
分析(fēnxī)：在（1）中， 16x2=(4x)2, 24x=2·4x·3, 9=3², 所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2
典例精析
例1 分解(fēnjiě)因式：
(1) 4x2 9; (2)(xp)2(xq)2.
解:(1)原式= (2xx)2 332 (2 2xx3 3)(2 2xx33);
(2)原式
a2 - b2 = ( a + b) (a -b)
(xap)2(xbq)2
( x p ) ( x q ) ( x p ) ( x q )
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a2 ± 2 . a . b + b2
首 22首 尾 尾 2
下列各式是不是完全(wánquán)平方式？
（1）a2－4a+4;
是 （2）1+4a²;
不是
（3）4b2+4b-1; （5）x2+x+0.25.
不是 （4）a2+ab+b2;
(bù
sh是i)
不是
分析：
（2）因为(yīn wèi)它只有两项；
第12章 整式 的乘除 (zhěnɡ shì)
12.5 因式分解(yīn shì fēn jiě)
2. 公式法
导入新课
讲授( jiǎngshòu) 新课
当堂练习
课堂小结
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学习目标
认识平方差公式、完全平方公式的特点，会运用这两种公式将
多项式分解因式．（重点(zhòngdiǎn)）（难点）
解：原式 ( 2 0 1 4 ) 2 2 2 0 1 4 2 0 1 3 ( 2 0 1 3 ) 2
(20142013)2
1.
5.分解因式： y22y1x2.
解：原式 (y1)2 x2
(y 1x)(y 1x).
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课堂(kètáng)小结
公式
(gōngshì)
公式 (gōngshì)法 因式分
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例5 把下列(xiàliè)完全平方公式分解因式：
1002－2×100×99+99²
解：原式=（100－99)² =1.
本题利用完全平方公 式分解因式的方法， 大大减少计算(jì suàn) 量，结果准确.
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当堂(dānɡ tánɡ)练习
1.把下列(xiàliè)各式分解因式：
(2xpq)(pq). 整体 思想 (zhěngtǐ)
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例2 分解(fēnjiě)因式：
( 1 )x 4 y 4 ; (2 )a 3 b a b .
解 ： (1)原 式(x2)2(y2)2 (x2y2)(x2y2)
(x2y2)(xy)(xy);
(2)原 式 ab(a21)
…………一提（公因式）
1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
简记(jiǎn jì)口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完 全平方形式，便实现了因式分解.
a2 ± 2 . a . b + b2 = (a ± b)²
分析：（1）中有公因式3a,应先提出(tí chū)公因式，再进一步分
解因式；
(2)中将a+b看成一个(yī ɡè)整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36. 解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2； (2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62 =(a+b-6)2.
(1) 16a2-9b2
(4a+3b)(4a-3b)
(2) (a+b)2-(a-b)2
4ab
(3) 9xy3-36x3y
9xy(y+2x)(y-2x)
(4) -a4+16
(4+a2)(2+a)(2-a)
2.把下列(xiàliè)多项式因式分解. （1）x2－12x+36; （2）4a2-4a+1.
解：(1)原式 =x2－2·x·6+（6）2 =（x－6）2;
x)²+ 2
2、m²-6m+9=( m)²- 2·( )m·( )+3( )²3=( m)²- 3
3、a²+4ab+4b²=( )²a+2·( ) ·(a )2+b( )²=(2b
a2 ± 2 . a . b + b2 = （ a ± b )²
首 22 首 尾 尾 2(首 尾 )2
)²a + 2b
ab(a1)(a1).……二套（公式(gōngshì)）
三查（多项式的因式分解(yīn shì fēn jiě)要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤
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二 运用完全平方公式因式分解
完全(wánquán)平方公a式2: 2abb2 =（a ±b）2
完全平方式(fāngshì)的特点：
(首)²+2·首·尾+(尾)² 解： (1)16x2+ 24x +9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
= (4x + 3)2； (2)-x2+ 4xy-4y2 =-(x2-4xy+4y2)
=- (x -2y)2.
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例4 把下列(xiàliè)各式分解因式： （1）3ax2+6axy+3ay2 ； （2）（a+b)2-12(a+b)+36.
（3）-x2-y2 （4）-x2+y2
× √
-(x×2+y2) y√2-x2
★符合平方差的形式的
多项式才能用平方差公 式进行因式分解，即能 写成: ( )2-( )2的形式.
（5）x2-25y2
(x+√5y)(x-5y)
（6）m2-1 (m+1)√(m-1)
两数是平方， 减号在中央．
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首 2 2 首 尾 尾 2 (首 尾 )2
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利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式(fāngshì)
等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
对照公式(gōngshì)a²±2ab+b²=(a±b)²进行因式分解，你会吗？
1、x²+4x+4= ( )x²+2·( )·(x )+(2 )²=2(
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导入新课
复习(fùxí)引 入
1.什么(shén me)叫多项式的因式分解?
把一个多项式化成几个整式(zhěnɡ shì)的积的形式，叫做多项式
的因式分解.
2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？
它们有什么关系？
1. a(x+y)=ax+ay
整式乘法
2. ax+ay=a(x+y)
(gōngshì)：
两数和（差）的平方(píngfāng)公（ ab ） 2= a22 a bb2
式：
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讲授(jiǎngshòu)新课
一 运用平方差公式因式分解
想一想：
多项式a2-b2有什么(shén me)特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式(xíngshì). 平方差公式：
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