吉林省实验中学2019届高三数学上学期期中试题 理

2018—2019学年度高三上学期期中考试数学试卷（理）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
{}{}
032/,110/,.12>-=<-<==x x x B x x A R U 集合已知全集 ( )
用区间可表示为则B A
⎪⎭⎫ ⎝⎛230..，A ⎪⎭
⎫
⎝⎛231..，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛223.，C ()⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-2230,.， D
2.已知向量 =（-2，3），
，若 ⊥ ，则实数x 的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.等差数列{a n }中，a 1+a 5=14，a 4=10，则数列{a n }的公差为 （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 4.若
5
3
)2sin(
-=+απ
，且为第二象限角，则 （ ）
A.
B.
C.
D.
5.在正项等比数列{a n }中，若a 1=2，a 3=8,{a n }的前n 项和为n S .则S 6=（ ）
A. 62
B. 64
C. 126
D. 128
6. 的零点个数为函数x
x x f )2
1
(ln )(-= （ ）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D.3个
7.设可导函数f (x )在R 上图像连续且存在唯一极值，若在x ＝2处，f (x )存在极大值，则下列判断正确的是 ( )
(),0,)2,(.'>-∞∈x f x A 时当 ()()0,,2'<+∞∈x f x 时当.
(),0)2,(.'>-∞∈x f x B 时当 ()()0,,2'>+∞∈x f x 时当. (),0)2,(.'<-∞∈x f x C 时当 ()()0,,2'>+∞∈x f x 时当. (),0)2,(.'<-∞∈x f x D 时当 ()()0,,2'<+∞∈x f x 时当.
()()的取值范围是成立的，则使得设函数x x f f x x f x
123ln )21()(.8-<--=( )
A. ),2()1,(+∞⋃--∞
B. )22
121,1(，（）
- C. ),1(+∞- D. )1,(--∞ 9.函数()1cos 2sin
cos 22
x x
f x x =++的最小正周期为 ( ) A ．
4
π
B ．
2
π
C ．π D.π2
，在ABC 963.10=∙==∆( )
33.A 32.B 27.C 63.D
(]x
x
x f x x f x f x f ln )(,2,0)()2()(.11=
∈-=+时，且当满足设偶函数 []上单调性情况为在则10,6)(x f ( )
A ．递增
B ．递减
C ．先增后减
D ．先减后增
)
()(,)()()(.12''x f x f R x x f x f R x f <∈∀，满足对于的导函数为上的函数，其中是定义在设函数 成立的是恒成立，则下列各式恒 ( ) A ．错误！未找到引用源。

)0()2018(),0()1(2018
f e f ef f << B ．错误！未找到引用
源。

)0()2018(),0()1(2018
f e
f ef f >>
C ．错误！未找到引用源。

)0()2018(),0()1(2018
f e f ef f <> D ．错误！未找到引用
源。

)0()2018(),0()1(2018
f e f ef f ><
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.已知向量)3,1(),4,3(=-=，则与的夹角余弦值为________．
14在△ABC 中，若2,4
==
a A π
，则
C
B A c
b a sin sin sin +-+-＝_______.
15．若f(x)＝13x 3－f′(1)x 2
＋x ＋3
1，则在（1，f(1)）处曲线)(x f y =的
切线方程是 16.有如下命题关于函数,cos sin 22cos 3)(x x x x f -=
：
图像的一条对称轴是)(3
).1(x f x π
=
;
图像的一个对称中心）是（)(0,6
).2(x f π
; ()像，可得到一个奇函数图的图像向左平移）将（6
3π
x f .
其中真命题的序号为
三、解答题：(本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17．( 满分10分)
.192,7}{534n =+=a a a a 满足已知等差数列
（Ⅰ）求通项n a ；
（Ⅱ）设}{n n a b -是首项为2，公比为2的等比数列，
求数列}{n b 通项公式及前n 项和n T .
18.( 满分12分)
()()，
且最小正周期为记其中若向量πωωωωω,2
1
)(,0,cos ,cos ,cos ,sin +∙=>==x f x x x x
的表达式）求（)(1x f （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移
4
π
个单位后得到y=g （x ）的图象， 求)(x g y =在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,
0π上的值域．
19.( 满分12分) 设数列
的前项和为
，满足()
+
∈-=N n a S n n 22．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设 ．求数列
前项和
．
20.( 满分12分)
设函数()x x x x f 52ln 2
-+=.
（1）求函数)(x f 的极小值;
（2）若关于x 的方程()12-=m x f 在区间[]e ,1上有唯一实数解，
求实数m 的取值范围.
21.( 满分12分)
()
A B c C B a b c b a C B A ABC cos cos cos cos 2,,,,,+=∆且的对边的边长为中，角在
（1）求B 的大小；
()的值，求边长，且若b S c a ABC 35,2=
=+∆。

22.( 满分12分)
已知函数f （x ）=lnx ﹣ax ，其中a 为实数． （Ⅰ）求出f （x ）的单调区间；
（Ⅱ）在a ＜1时，是否存在m ＞1，使得对任意的x∈（1，m ）, 恒有f （x ）+a ＞0，并说明理由.
2018—2019学年度高三上学期期中考试数学试卷（理）参考答案 一、选择题 CACAC, CABDA, DB 二、填空题：
13.103
-34 14, 2 15, 2x-3y+1=0 16. (2) (3)
三、解答题： 17．解：（1）
1
117319
4)2(2{
=+=+++d a d a d a ……（4分），
解得2,11==d a ，.12-=∴n a n ……（6分）
（2）122,2-+=∴=-n b a b n
n n n n ，……（8分），
()[]1-2n …31)2…22(2+++++++=∴n n T ……（10分），
2221-+=+n T n n ……（12分），
()()分得
记其中由向量41)4
2sin(2221)12(cos 212sin 2121
cos cos sin )(2
1
)(,
0,cos ,cos ,cos ,sin ,182 ++=+++=+
+∙=+∙=>==πωωωωωωωωωωωx x x x x x x f x f x x x x
1)4
2sin(22)(11++==
==π
ωπx x f T 所以，得，）由（
……（6分）
（Ⅱ）142sin 22)(4
)(+⎪⎭⎫
⎝
⎛-=
ππ
x x g x f 个单位，可得图像向右平移将，…（8分）
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡++≤≤≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-≤-
≤
-
≤-
≤≤222,21)(22
2)(2
1
142sin 224
34
24
2
0，的值域为：，即故所以，时，当x g x g x x x ππ
π
π
π
…（10分）
…（12分）
19解：（Ⅰ）当
时，∵ ()
+
∈-=N n a S n n 22 ①
∴()
+
--∈-=N n a S n n 2211 ② ①-②得()
+
-∈-=N n a a a n n n 122；即 12-=n n a a ……（4分）
又2211-=a S ；得：
，∴数列
是以
为首项， 2为公比的等比数列
∴ n
n a 2= ……（6分）
（Ⅱ）∵n
n a 2=，，∴
n b n
n -==2
2
1log ， ∴()1
1
11111+-=+=+n n n n b b n n ．……（10分）
1111111
41313121211+=+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴n n n n n T n ……（12分）
20：（1）依题意知)(x f 的定义域为),0(+∞
()()()()4
1
,1,0114154541'2'
=
==--=+-=-+=x x x f x
x x x x x x x x f 或解得令
()()014
1
,01410''<<<>><
<x f x x f x x 时，当时，或当……（4分）
()()⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41,,141,0减区间为和的增区间为所以x f
所以函数)(x f 的极小值为()31-=f ……（6分）
（2）由（1）得()[]
上为增函数在e x f ,1
所以要使方程()12-=m x f 在区间[]
e ,1上有唯一实数解，
只需()()e f m f ≤-≤121……（10分）
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+-≤≤-∴+-≤-≤-1251-1
2
5
1152123222e e m e e m e e m ，取值范围为即所以，
……（12分）
()
A B C C B A B cos cos sin cos cos sin 2sin )1(.21+=由正弦定理得：
解：
()A C C A B cos sin cos sin cos 2+=
()C A B +=sin cos 2 ……（4分）
又因为在三角形中B C A sin )sin(=+，
∴B B B sin sin cos 2=，可得2
1
cos =B ，
又π<<B 0，所以3
π
=B . ……（6分）
()()()ac c a ac c a b 3122
222-+=-+=及余弦定理得：由
∵ac b c a 32552-=∴=+， ……（8分）
13
134
3sin 2
1
,32=∴=∴==∴=∆b b ac B ac S ABC ，即 ……（12分）
22解：（Ⅰ）∵f（x ）=lnx ﹣ax ，∴ ()a x
x f
-=1'
，
当a≤0时，f'（x ）＞0恒成立，
函数f(x)在定义域（0，+∞）递增；无减区间……（2分） 当a ＞0时，令f'（x ）=0，则x=
，
当x∈（0，
）时，f'（x ）＞0，函数为增函数，
当x∈（
，+∞）时，f'（x ）＜0，函数为减函数， ……（4分）
()，无减区间，时增区间为综上可得，当∞+≤00a
()⎪
⎭⎫
⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛>,1,1,0,0a a x f a 减区间为增区间为时当 ……（6分）
（Ⅱ）在a ＜1时，存在m ＞1，使得对任意的x∈（1，m ）恒有f （x ）+a ＞0，理由如下：由（1）得
当a≤0时，函数f(x)在（1，m ）递增，
()()()01>+-=>a x f a f x f ，即此时 ……（8分）
()11,1,1,0,10>⎪
⎭
⎫
⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛<<a
a a x f a 而减区间为增区间为时当
()()()()0111,11>+-=>≤⎪⎭
⎫
⎝⎛⊆∴a x f a
f x f a m a m 即，就有，即，只要 ……（10分）
综上可得：在a ＜1时，存在m ＞1，使得对任意x∈（1，m ）
恒有f （x ）+a ＞0，
……（12分）
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