三角函数：三角函数的图像与性质-高三数学二轮复习

(4)对称轴：ωx + =________.
(5)对称中心：ωx + =________.
试卷讲评课件
(6)值域：若已知三角函数y = Asin ωx + + B，且x ∈ [m, n]
①若ωx +
π
可以取到
2
+
π
2kπ和−
2
+ 2kπ，则Asin ωx + + B的最大
值为________，最小值为________；
2
2
A.1
B.2
= f x 的图象与直线
C.3
D.4
π
6
试卷讲评课件
例10.( ⋅辽宁·二模)已知函数f x = sin2x + 2 3cos2 x − 3，则下
列说法正确的是(
)
A.函数f x 的最小正周期为π
B.函数f x
π 3π
在区间[ , ]上单调递减
6 4
C.将函数f x
π
的图象向右平移 个单位长度，得到函数y
π
是y
6
π
,0
3
对称
上单调递增
= f x 图象的一条对称轴
)
试卷讲评课件
例12.( ⋅河北沧州·一模)已知函数f x = sin 2x +
且f x = f
2π
3
函数，则(
)
A. =
≤
π
2
，
− x ，若函数f x 向右平移a a＞0 个单位长度后为偶
π
−
6
B.函数f x 在区间
π
C.a的最小值为
6
象
D.若f θ =
1
，则12tan
3
θ+
π
6
− tan
2
θ+
π
6
=1
= 2sin2x的图
试卷讲评课件
例11.( ⋅云南昆明·一模)已知函数f x = 3sinx + cosx，则(
A.y = f x 的最大值为2
B.y = f x 的图象关于点
C.y = f x 在
D.直线x =
π
0,
6
2π
ω
≥ ________且
_________ ≤ ωx0 + ＜ωx1 + ≤ ________.
(3)若已知函数在 x0 , x1 递减，则周期T =
2π
ω
≥ ________且
_________ ≤ ωx0 + ＜ωx1 + ≤ ________.
例3.( ⋅全国·高考真题)已知函数
f x = 2cos ωx + 的部分图像如图所示，则
f
π
2
=________.
例4.( ⋅海南·高考真题·多选)下图是函数
y = sin ωx + φ 的部分图像，则sin ωx + φ =(
A.sin(x +
π
)
3
C.cos(2x +
π
)
6
(3)注意题目所给函数是正弦函数还是余弦函数.
试卷讲评课件
【例题分析】
考向一 已知函数解析式求函数性质
例1.( ⋅天津·统考高考真题)已知f x =
1
sin2x，关于该函数有下
2
列四个说法：
①f x 的最小正周期为2π；
②f x
π π
在[− , ]上单调递增；
4 4
③当x ∈
π π
[− , ]时，f
1.已知三角函数 = + + , ＞
(1)周期：T =________.
(2)单调增区间：令________________ ≤ ωx + ≤ ________，求x.
(3)单调减区间：令________________ ≤ ωx + ≤ ________，求x.
π
4
−
x
2
函数f x 的图像关于y轴对称；
(1)求函数g x 的解析式；
− sin π + x ，若函数g x 的图像与
试卷讲评课件
例2.(2022.天津南开高三月考)已知函数
f x = sinx cosx −
3
sinx
2
(1)求函数f x 的解析式；
+
3
cos2 x，x
2
∈ R.
试卷讲评课件
考向二 利用图像求解析式
1
π
缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，
2
3
π
得到函数y = sin x − 的图像，则f x =( )
4
x
7π
x
π
A.sin −
B.sin +
2
12
2
12
7π
π
C.sin 2x −
D.sin 2x +
12
12
试卷讲评课件
知识点二 换元法求三角函数的性质
【基础知识框架】
12 12
试卷讲评课件
例14.( ⋅云南贵州·二模)已知函数f x = 3sinxcosx − cos x +
2
则下列说法正确的是
A.f x = sin 2x −
π
6
+1
B.函数f x 的最小正周期为π
π
3
C.函数f x 的图象的对称轴方程为x = +
D.函数f x 的图象可由y =
kπ
2
π
C.函数f x 的图象可以由y = cos2x向右平移 个单位得到
3
ωx
π
D.若函数y = f
ω＞0 在 0, 上恰有两个极大值点，则
2
3
ω ∈ (7,13]
π
6
，
试卷讲评课件
例4.( ⋅吉林白山·二模)已知函数f x = cos 2x +
A.f x
π
−
24
的图象关于原点对称
B.f x 的图象关于直线x =
伸缩(纵坐标保持不变)改变________。
注意：左右平移m个单位，只是把x变成________；左右伸缩m倍
(横坐标保持不变)，ω变为原来得________。
试卷讲评课件
【例题分析】
考向一 利用辅助角公式求解析式
例1.(2022.长沙雅礼高三月考)已知函数
f x = 2 3sin
π
4
+
x
2
sin
例6.( ⋅浙江·统考高考真题)为了得到函数y = 2sin3x的图象，只要
把函数y = 2sin 3x +
π
5
图象上所有的点(
)
π
A.向左平移 个单位长度
5
π
B.向右平移 个单位长度
5
π
C.向左平移 个单位长度
15
π
D.向右平移 个单位长度
15
试卷讲评课件
例7.( ⋅全国·统考高考真题)把函数y = f x 图像上所有点的横坐标
知识点一 解析式的求解
【基础知识框架】
1.辅助角公式(合一公式)
asinωx + bcosωx =________
其中sin =________，cos =________，tan =________.
试卷讲评课件
2.由图像求解析式
对于三角函数y = Asin ωx + + B，A、B由________决定，最
C.f x 在
2π
,π
3
π
对称
12
上单调递增
D.g x = 2f x − 2在 0,2π 上有4个零点
7π
12
，则(
)
试卷讲评课件
考向二 先求函数解析式再求函数性质
例5.( ⋅北京·统考高考真题)已知函数f x = cos2 x − sin2 x，则(
A.f x 在
C.f x 在
π
π
− , − 上单调递减
B.f x
π
,0
12
)
中心对称
7π
在区间[3π, ]上单调递增
2
C.f x 在[0, a]上有4个零点，则实数a的取值范围是
13π 17π
[
,
]
12 12
D.将g x =
π
2cos3x的图象向右平移 个单位长度，可
4
以得到函数f x 的图象
试卷讲评课件
例17.( ⋅山东聊城·一模)已知函数
k∈Z
π
sin2x的图象向右平移 单位长度得到
12
1
，
2
试卷讲评课件
例15.( ⋅山东潍坊·一模)函数
f x = 2 3sinωxcosωx + 2cos2 ωx − 1(0＜ω＜1)的图象如图所示，则 (
A.f x 的最小正周期为2π
B.y = f 2x +
C.y = f x +
π
6
π
3
6
5π
D.a的最小值为
12
2π
,π
3
上单调递增
试卷讲评课件
例13.( ⋅浙江·二模)关于函数f x = 2sinx ⋅ cosx + 2 3cos2 x，下
列说法正确的是(
A.最小正周期为2π
C.最大值为 3 + 2
)
π
B.关于点 − , 3 中心对称
6
5π π
D.在区间[− , ]上单调递减
2
6
π
0, 上单调递减
3
B.f x 在
D.f x 在
例6.( ⋅全国·统考高考真题)设函数
f x = cos ωx +
π
6
在[−π, π]的图像大致
如下图，则f x 的最小正周期为(
10π
A.
9
7π
B.
6
4π
C.
3
)
3π
D.
2
π π
− ,
上单调递增
4 12
π 7π
,
上单调递增
4 12
)
试卷讲评课件
单调递增的区间是(
A.
π
0,
2
B.
)
π
,π
2
C.
3π
π,
2
D.
3π
, 2π
2
π
6
试卷讲评课件
例3.( ⋅江苏南通·统考模拟预测·多选)已知函数f x = sin 2x +
下列说法正确的有(
A.f x 在
π
0,
3
)
上单调递增
B.若f x1 = f x2 =
1
，则x2
2
− x1 =
kπ
,k
3
∈Z
6 3
x 的取值范围为[−
3 3
, ]；
4 4
试卷讲评课件
④f x 的图象可由g x =
1
sin
2
2x +
π
4
π
的图象向左平移 个单位长度得
8
到.
以上四个说法中，正确的个数为(
A.1
B.2
)
C.3
D.4
试卷讲评课件
例2.( ⋅全国·统考高考真题)下列区间中，函数f x = 7sin x −
f x = sin ωx +
π
6
+ cosωx ω＞0 的最小正周期为2，则(
A.ω = π
B.曲线y = f x 关于直线x =
1
对称
6
C.f x 的最大值为2
D.f x
1 1
在区间[− , ]上单调递增
2 2
)
试卷讲评课件
例18.( ⋅全国·高考真题)已知函数f x = sin ωx + ，如图A，B
是直线y =
___.
1
与曲线y
2
= f x 的两个交点，若 AB =
π
，则f
6
π =_____
试卷讲评课件
知识点三 已知三角函数性质求参数
【基础知识框架】
1.已知三角函数 = + + , ＞
(1)若已知函数周期为T0 ，则令_______ =________.
(2)若已知函数在 x0 , x1 递增，则周期T =
②若ωx +
π
无法取到
2
+
π
2kπ和−
2
+ 2kπ，则需得到ωx + 的边际范
围，根据三角函数的性质得到最值.
试卷讲评课件
2.注意事项
(1)对于三角函数y = Asin ωx + , ω＞0 ，极值点可以等价为对称轴，
零点可以等价为对称中心的横坐标.
(2)若在选择题中题目已给出对应性质，可以回代检验即可.
大值为________，最小值为________；ω由________决定，T =______；
最后可代入特殊值点求解。(最好为________点或________点)
3.伸缩平移变换求图像解析式
对于三角函数y = Asin ωx + + B，上下平移改变________，左
右平移改变________。上下伸缩(横坐标保持不变)改变________，左右
2π
,0
3
中心对称，则(
)
试卷讲评课件
例8.( ⋅广东广州·统考一模·多选)已知函数
π
π
− ＜＜
2
2
f x = sin 2x +
A.函数y = f x 的图像关于点
的图像关于直线x =
π
− ,0
8
π
对称，则(
8
对称
B.函数y = f x 在[0, π]有且仅有2个极值点
C.若 f x1 − f x2
D.若f α −
π
8
= 2，则
f β−
π
8
=
π
x1 − x2 的最小值为
4
1
，则cos2
2
α − β = 1 + cos2 α + β
)
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例9.( ⋅全国·高考真题)函数y = f x 的图象由函数y = cos 2x +
π
的图象向左平移 个单位长度得到，则y
6
1
1
y = x − 的交点个数为( )
π
B.sin(
3
− 2x)
5π
D.cos(
6
− 2x)
)
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例5.( ⋅天津·高考真题)已知函数y = f x 的图象关于直线x = 2对
称，且f x 的一个周期为4，则f x 的解析式可以是(
A.sin
π
x
2
B.cos
π
x
2
C.sin
π
x
4
)
D.cos
π
x
4
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考向三 利用伸缩平移变换求解析式
一校
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