【广东省揭阳市】2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷

广东省揭阳市2017届普通高中高考高三3月模拟考试数学试卷（二）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2}A B U =⊆，，则满足{1,2}A B =I 的集合B 有( ) （A ）1个
（B ）3个 （C ）4个 （D ）8个
（2）若复数(1i)(2i)a ++是纯虚数，则实数a 等于( )
（A ）12
（B ）2 （C ）1
2
- （D ）－2
（3）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为{}n S ，若36a =，312S =， 则公差d 等于( ) （A ）1
（B ）
5
3
（C ）2 （D ）3 （4）执行如图所示的程序框图，则输出的的值为( ) （A ）4
（B ）5 （C ）6 （D ）7
（5）定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π(0]2
x ∈，时， .()cos f x x =.，则5π
()3
f 的值为( ) （A ）12
-
（B ）
12
（C ）32- （D ）32
（6）已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间
几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是( )
（A ）49
π9
（B ）7
π3
（C ）28π3
（D ）28π9
（7）下列叙述中，正确的个数是( )
①命题p ：“2R 20x x ∃∈-，≥”的否定形式为p ⌝：“2R 20x x ∀∈-，＜”；
②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA OB OB OC OC OA ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g ，则O 是△ABC 的垂心；
③“M N ＞”是“2
2()()33
M N >”的充分不必要条件；
④命题“若2340x x --=，则4x =”的逆否命题为“若4x ≠，则2340x x --≠”． （A ）1
（B ）2 （C ）3 （D ）4
（8）有以下四种变换方式：
k 开始
是 否
输出k 结束
s ＜100?
k =k ＋1
s =s +2s
k =0 s =0 （第4题）
2
2
2
2 正视图 侧视图
俯视图
（第6题）
①向左平行移动π
4
个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12；
②向右平行移动π
8
个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的12；
③每个点的横坐标缩短为原来的12，再向右平行移动π
8个单位长度；
④每个点的横坐标缩短为原来的12，再向左平行移动π
8
个单位长度．
其中能将函数3πcos()2y x =+的图象变为函数π
sin(2)4
y x =+的图象是（ ）
（A ）①和④
（B ）①和③ （C ）②和④ （D ）②和③
（9）用数字0，1，2，3组成数字可以重复的四位数，其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为
( ) （A ）144
（B ）120 （C ）108 （D ）72
（10）已知函数2 0 ()()ln 0kx x f x k x x +⎧=∈⎨⎩
R ，≤
，＞，若函数|()|y f x k =+有三个零点，则实数k 的取值范围是( )
（A ）2k ≤
（B ）10k -＜＜ （C ）21k --≤＜（D ）2k -≤
（11）已知抛物线2
2y px =的焦点F 与双曲线22
179
x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为
K ，点A 在抛物线上且|||AK AF =，则△AFK 的面积为( ) （A ）4
（B ）8 （C ）16 （D ）32
（12）已知32()69f x x x x abc =-+-，a b c ＜＜，且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论： ①(0)(1)0f f ＞； ②(0)(1)0f f ＜； ③(0)(3)0f f ＞； ④(0)(3)0f f ＜； ⑤4abc ＜； ⑥4abc ＞． 其中正确结论的序号是( ) （A ）①③⑤
（B ）①④⑥ （C ）②③⑤ （D ）②④⑥
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）在261
(3)x x
+的展开式中，常数项为______．(用数字作答)
（14）在ABC △中，若b =1c =，tan B =a ＝______．
（15）设x ，y 满足约束条件112210
x y x x y ⎧⎪⎪
⎨⎪+⎪⎩≥≥≤，向量a (2,) b (1,1)y x m =-=-，，且a b ∥，则m 的最小值为
____________．
（16）已知x ，y 为正实数 ，且满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的x ，y ，都有2()()1
0x y a x y +-++≥恒成立，则实数a 的取值范围为____________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 中，1n n a a +＞，且满足：2420a a +=，38a =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若12
log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求n S ．
（18）（本小题满分12分）
2013年某大学的自主招生工作分笔试和面试两部分。

该校从考试成绩中随机抽取100名学生的笔试 成绩，按成绩分组：第1组[75,80)，第2组[80,85)，第3组[8590),，第4组[9095),，第5组[95,100]， 得到的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；
（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试．
（i ）已知学生甲和学生乙的成绩均在第3组，求学生甲和乙同时进入第二轮面试的概率；
（ii ）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D 的面试，设第4组中有X 名学生被考官D 面试，求X 的分布列和数学期望．
（19）（本小题满分12分）
如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝90°，PAB ABC ⊥平面平面，D ．E 分别为AB ．AC 中点． （Ⅰ）求证：DE PBC ∥平面； （Ⅱ）求证：AB PE ⊥；
P
·
· · · · · · ·
· · · · ·
95 100
90 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 频率
组距
（Ⅲ）求二面角A －PB －E 的大小．
（20）（本小题满分12分）
已知椭圆C 的方程为22
22 1 (0)x y a b a b +=＞＞，其离心率为12
，经过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l ：1 (||)2
y kx m k =+≤与椭圆C 交于A ．B 两点，P 为椭圆上的点，O 为坐标原点，且满
足+OP OA OB =u u u r u u u r u u u r
，求||OP u u u r 的取值范围．
（21）（本小题满分12分）
设函数()ln x
f x ax x
=
-． （Ⅰ）若函数()f x 在(1, )+∞上为减函数，求实数a 的最小值；
（Ⅱ）若存在212[e,e ]x x ∈，，使12()()f x f x a '+≤成立，求实数a 的取值范围．
请考生在第22．23．24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。

（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A ．B 两点，∠APE 的平分线和AE 、BE 分别交于 点C ．D ．求证： （Ⅰ）CE DE =； （Ⅱ）
CA PE
CE PB
=
． （23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知圆1C 的参数方程为=cos =sin x y ϕ
ϕ⎧⎨⎩
（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极
坐标系，圆2C 的极坐标方程为2cos()3
π
ρθ=+
．
（Ⅰ）将圆1C 的参数方程化为普通方程，将圆2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）圆1C 、2C 是否相交，若相交，请求出公共弦的长；若不相交，请说明理由． （24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数()|21||23|f x x x =++-． （Ⅰ）求不等式()6f x ≤的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1|f x a -≤的解集非空，求实数a 的取值范围．
· A
B
C
O D E P。