广州市2009届高三第二次模拟考试(数学理)

2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（理科）2009.4
本卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1．如果复数2
2
(3)(56)m m m m i -+-+是纯虚数，则实数m 的值为（ ）
A . 0
B . 2
C . 0或3
D .2或3
2．已知函数
{(4),0
(4),0()x x x x x x f x +<-≥= 则函数()f x 的零点个数为（ ）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
3．已知全集U R =，集合{
}37A x x =≤<，{}27100B x x x =-+<， 则()R C A B =I （ ）
A .(,3)(5,)-∞+∞U
B .(,3)[5,)-∞+∞U
C .(,3][5,)-∞+∞U
D .(,3](5,)-∞+∞U
4．命题“2
,210x R x x ∃∈-+<”的否定是（ ）
A .2,210x R x x ∃∈-+≥
B .2,210x R x x ∃∈-+>
C .2,210x R x x ∀∈-+≥
D .2,210x R x x ∀∈-+<
5．已知点(1,0)A ，直线:24l y x =-，点R 是直线l 上的一点。

若RA AP =uu r uu u r
，则点P 的轨迹方
程为（ ）
A . 2y x =-
B .2y x =
C .28y x =-
D .24y x =+
6．函数()cos f x x x =的导函数()f x '在区间[,]ππ-上的图像大致是（ ）
A
B
C D .
7．现有4种不同颜色要对如图1
所示的四个部分进行着色， 要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，
则不同的着色方法共有（ ）
A .24种
B .30种
C .36种
D .48种
8．设直线l 与球O 有且只有一个公共点P ，从直线l 出发的两个半平面,αβ截球O 的两个截面
圆的半径分别为1l αβ--的平面角为150o
，则球O 的表面积为（ ）
A .4π
B .16π
C .28π
D .112π
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9-12题）
9．在空间直角坐标系中，以点(4,1,9)A ，
(10,1,6)B -，(,4,3)C x 为顶点的ABC ∆是以BC
为斜边的
等腰三角形，则实数x 的值为＿＿＿＿。

10．在某项才艺竞赛中，有9位评委，主办单位规定计算参赛者比赛成绩规则如下：剔除评委中的一个最高分和一个最低分后，再计算其他7位评委的平均分作为此参赛者的比赛成绩。

现有以为参赛者所获9位评委一个最高分为86分，一个最低分为45分，若未剔除最高分与最低分时9位评委的平均分为76分，则这位参赛者的比赛成绩为＿＿＿＿＿
分。

11．阅读如图2所示的程序框图，若输出y 的值为0，则输
入x 的值为＿＿＿＿＿。

12．在平面内有(,3)n n N n *
∈≥条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，若这n 条直线把平面分成()f n 个平面区域。

则(5)f 的值是＿＿＿＿＿。

()f n 的表达式是＿＿＿＿＿。

（二）选做题（13-15题，考生只能从中选做两题）
13．（几何证明选讲选做题）如图3所示。

在四边形ABCD 中，//EF BC ，//FG AD ，
则E F F G
B C A D
+的值为＿＿＿＿＿。

14．（不等式选讲选做题）函数()12f x x x =-++的最小值为＿＿＿＿＿＿。

15．（坐标系与参数方程选做题）直线
{
2413x t
y t
=-+=--，（t 为参数）被圆
{
25cos 15sin x y θ
θ
=+=+，（θ为参数）所截
得的弦长为＿＿＿＿＿＿。

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16．（本小题满分12分）
图1
图4
1
C B
1
D C
1
A A
D 已知向量sin ,1()2x n x R ⎛⎫
=∈ ⎪⎝
⎭r ，设函数()f x = 1.m n -u r r g
（1）求函数()f x 的值域；
（2）已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,,A B C 若53
(),(),135
f A f B ==求()f C 的值。

17．（本小题满分12分）
在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A 、1B 、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的
体积为
40
3。

（1）求棱1A A 的长；
（2）在线段1BC 上是否存在点P ，使直线1A P 与1C D 垂直，如果
存在，求线段1A P 的长，如果不存在，请说明理由。

18．（本小题满分14分）
已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21,,()m m m a a a m N *
++∈成等差数列，试判断
21,,m m m S S S ++是否成等差数列，并证明你的结论。

19．（本小题满分14分）
一个口袋中装有2个白球和n 个红球（2n ≥且n N *
∈），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。

（1）试用含n 的代数式表示一次摸球中奖的概率； （2）若3n =，求三次摸球恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为()f p ，当n 为何值是时，()f p 最大? 20．（本小题满分14分）
已知函数2
(),()ln a f x x g x x x x
=+=+，其中0a >。

（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；
（2）若对任意的[]12,1,x x e ∈（e 为自然对数的底数）都有12()()f x g x ≥成立，求实数a 的取
值范围。

21．（本小题满分14分）
已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的离心率为3，左、右焦点分别为1F 、2F ，在双
曲线C 上有一点M ，使12MF MF ⊥，且12MF F ∆的面积为1。

（1）求双曲线C 的方程；
（2）过点(3,1)P 的动直线 l 与双曲线C 的左、右两支分别交于两点A 、B ，在线段AB 上取
异于A 、B 的点Q ，满足AP QB AQ PB =g g ，证明：点Q 总在某定直线上。

2009年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法
供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变
该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13~15题是选做题，考生只能选
做二题，三题全答的，只计算前二题得分．第12题第1个空3分，第2个空2分.
9．2 10．79 11．0 或 2 12．16，22
2
n n ++
13．1 14．3 15．6
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查三角函数性质和三角函数的基本关系等知识，考查化归与转化的数学思想
方法，以及运算求解能力）
解：（1）()12cos 1sin 1122x x f x ⎛
⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
，m n 2cos sin 11sin 22
x x
x =+-=．
∵x ∈R ，
∴函数()f x 的值域为[]1 1-，．
（2）∵()513f A =
，()35f B =，∴5sin 13A =，3
sin 5
B =．
∵,A B 都为锐角，∴12cos 13A ==，4cos 5
B ==．
∴()()()sin sin sin f C C A B A B π==-+=+⎡⎤⎣⎦
sin cos cos sin A B A B =+
A
5412356
13513565
=
⨯+⨯=
． ∴()f C 的值为56
65
．
17．（本小题主要考查空间线面关系、几何体的表面积与体积等基本知识，考查数形结合的数学
思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） 解：（1）设1A A h =,∵几何体111ABCD AC D -的体积为40
3
， ∴111111111140
3
ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=， 即11114033
ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=， 即1140
222232
3
h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=
，解得4h =． ∴1A A 的长为
4． （2）在线段1BC 上存在点P ，使直线1A P 与
1C D 垂直． 以下给出两种证明方法：
方法1：过点1D 作1C D 的垂线交1C C 于点
Q ，过点Q 作PQ BC
交1BC 于点
P ．
∵11C D D Q ⊥，111C D A D ⊥，1111D Q A D
D =，
∴1C D ⊥平面11A D Q ．
∵1
AQ ⊂平面11A D Q ，∴11C D AQ ⊥． ∵1C D PQ ⊥，∴1C D ⊥平面1A PQ ．
∵1A P ⊂平面
1A PQ ，∴11C D A P ⊥． 在矩形11CDD C 中，∵11Rt D C Q ∆∽1Rt C CD ∆，
∴1111C Q D C CD C
C =，即12
24
C Q =，∴11C Q =． ∵1C PQ ∆∽1C BC ∆，∴
1111C P C Q C B C C =1
4=，∴12C P =．
在11A PC ∆中，∵11
AC =，∴11
11112cos 10
A C A C P C
B ∠==． 由余弦定理，得1A P =
==
． ∴在线段1BC 上存在点P ,使直线1A P 与1C D 垂直，且线段1A P ．
方法2：以点D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图的空间直角坐标系，由已知条件与（1）可知，()10,2,4C ，()12,0,4A ，()0,0,0D ，
假设在线段1BC 上存在点()P x y z ，，(0≤x ≤2，2y =，0≤z ≤)4 使直线1A P 与1C D 垂直，过点P 作PQ BC ⊥交BC 于点Q ．
由BPQ ∆∽1BC C ∆，得1PQ BQ
C C BC
=， ∴124422
BQ x
PQ C C x BC -=
⨯=⨯=-． ∴42z x =-． ∴()12 2 2A P x x =--，，
，()10 2 4C D =--，，． ∵11A P C D ⊥，∴110A P C D =，
即()()2 2 20 2 40x x ----=，，，，，∴1
2
x =
． 此时点P 的坐标为1 2 32⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，
，在线段1BC 上． ∵13 2 12A P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，∴
1A P ⎛=-= ． ∴在线段1BC 上存在点P ，使直线1A
P 与1C D 垂直，且线段1A P 的长为
2
． 18．（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查化归与
转化、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ()10,0a q ≠≠， 若m a ，2m a +，1m a +成等差数列， 则22m a +=m a +1m a +． ∴1
11112m m m a q
a q a q +-=+．
∵10a ≠，0q ≠，∴2
210q q --=． 解得1q =或1
2
q =-
． 当1q =时，∵1m S ma =，()111m S m a +=+，()212m S m a +=+，
∴212m m m S S S ++≠+．
∴当1q =时，m S ，2m S +，1m S +不成等差数列．
当1
2
q =-
时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．下面给出两种证明方法． 证法1：∵()()()1211222m m m m m m m m m S S S S S a S a a +
+++++-=++-++
122m m a a ++=-- 112m m a a q ++=-- 11122m m a a ++⎛⎫
=--- ⎪⎝⎭
0=， ∴212m m m S S S ++=+．
∴当1
2
q =-
时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列． 证法2：∵212
211212412113212
m m m a S a +++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+，
又1111
111111222112113221122
m m m m m m a a S S a +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦+=+=----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++ 221211242322m m a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2
141132m a +⎡⎤
⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
， ∴212m m m S S S ++=+．
∴当1
2
q =-时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．
19．（本小题主要考查等可能事件、互斥事件和独立重复试验等基础知识，考查化归与转化的数
学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
解：（1）∵一次摸球从2n +个球中任选两个，有2
2C n +种选法，
任何一个球被选出都是等可能的，其中两球颜色相同有22
2C C n +种选法，
∴一次摸球中奖的概率222
2222C C 2
C 32
n n n n p n n ++-+==++．
（2）若3n =，则一次摸球中奖的概率2
5
p =
， 三次摸球是独立重复试验，三次摸球恰有一次中奖的概率是
12
3354
(1)C (1)125
P p p =⋅⋅-=
． （3）设一次摸球中奖的概率为p ，则三次摸球恰有一次中奖的概率为
()()2
13233(1)C 1363f p P p p p p p ==⋅⋅-=-+，01p <<，
∵()()()2
91233131f p p p p p '=-+=--，
∴()f p 在10 3⎛
⎫ ⎪⎝⎭，
上为增函数，在1 13⎛⎫ ⎪⎝⎭
，上为减函数．
∴当1
3
p =
时，()f p 取得最大值． ∵22
21
323n n p n n -+==++(n ≥)*2,n ∈N 且， 解得2n =．
故当2n =时，三次摸球恰有一次中奖的概率最大． 20．（本小题主要考查函数的性质、函数与导数等知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思
想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）解法1：∵()2
2ln a h x x x x
=++，其定义域为()0 +∞，， ∴()221
2a h x x x
'=-+．
∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即2
30a -=．
∵0a >，∴a =
经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，
∴a =
解法2：∵()2
2ln a h x x x x
=++，其定义域为()0+∞，， ∴()221
2a h x x x
'=-+．
令()0h x '=，即22120a x x
-+=，整理，得22
20x x a +-=．
∵2
180a ∆=+>，
∴()0h x '=的两个实根1x =，2x =，
当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：
依题意，
114
-+=，即23a =，
∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都
有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦． 当x ∈［1，e ］时，()1
10g x x
'=+
>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数． ∴()()max
1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦
．
∵()()()222
1x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >．
①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()2
0x a x a f x x +-'=
>，
∴函数()2
a f x x x
=+在［1，e ］上是增函数，
∴()()2
min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.
由2
1a +≥1e +，得a
又01a <<，∴a 不合题意．
②当1≤a ≤e 时， 若1≤x ＜a ，则()()()2
0x a x a f x x +-'=
<，
若a ＜x ≤e ，则()()()2
0x a x a f x x +-'=
>．
∴函数()2
a f x x x
=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．
∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.
由2a ≥1e +，得a ≥1
2
e +， 又1≤a ≤e ，∴
1
2
e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2
0x a x a f x x +-'=
<，
∴函数()2
a f x x x
=+在[]1e ，上是减函数．
∴()()2
min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.
由2
a e e
+≥1e +，得a
又a e >，∴a e >．
综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
．
21．（本小题主要考查双曲线、解方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查化归与转化、
数形结合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力）
（1）解：∵双曲线22
221x y a b
-=()0,0a b >>
∴3
a =22
3a b =． ① ∵12MF MF ⊥，且12MF F ∆的面积为1．
∴12121
12
MF F S MF MF ∆==，即122MF MF =．
∵122MF MF a -=， ∴2221122
24MF MF MF MF a -+=． ∴221244F F a -=．
∴()222444a b a +-=，∴2
1b =． ② 将②代入①，得23a =． ∴双曲线C 的方程为2
213
x y -=． （2）解法1：设点Q A B ，，的坐标分别为（x y ，）
，（11x y ，），（22x y ，），且1x ＜2x ＜3，又设直线l 的倾斜角为θ2πθ⎛
⎫≠ ⎪⎝⎭
，分别过点P Q A B ，，，作x 轴的垂线，垂足分别为1
111P Q A B ，，，， 则 1113cos cos A P x AP θθ-＝＝，112cos cos PB x PB θθ
-３＝＝ ， 112cos cos Q B x x QB θθ-=＝，111-cos cos AQ x x AQ θθ
=＝， ∵AP QB AQ PB ＝，
∴（3-1x ）（2x x -）＝123x x x --（）（），
即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. ③ 设直线l 的方程为1(3)y k x -=-， ④
将④代入2
23
x y -＝1中整理，得 （1-3222)6133(13)10k x k k x k ⎡⎤----+=⎣⎦（）.
依题意1x ，2x 是上述方程的两个根，且2
130k -≠， ∴()()1222122613133131.13k k x x k k x x k -⎧+=⎪-⎪⎨⎡⎤-+⎪⎣⎦=-⎪-⎩
， ⑤
将⑤代入③整理，得2(3)x k x -=-. ⑥ 由④、⑥消去k 得21x y -=-，这就是点Q 所在的直线方程. ∴点Q （x y ，）总在定直线 10x y --=上.
解法2：设点Q ，A B ，的坐标分别为,（x ）y ，11,（）x y ，22（，）x y ，且1x ＜2x ＜3， ∵AP QB AQ PB ＝，
∴AP AQ PB QB
＝－，即112233x x x x x x --=---， 即[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-.
以下同解法1.
解法3：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，
，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记
AP AQ PB QB λ==． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支
相交于两点A ，B ，
∴0λ>且1λ≠．
∵A P B Q ，，，四点共线， ∴ AP PB AQ QB λλ=-=，
． 即()()(
)()112211223,13,1,,,.x y x y x x y y x x y y λλ--=---⎧⎪⎨--=--⎪⎩ ∴121
2311x x x x x λλλλ-⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪+⎩
③ 由③消去λ，得[]1212126()3()2x x x x x x x -+=+-. 以下同解法1.
解法4：设点Q A B ，，的坐标分别为1122() () ()x y x y x y ，，
，，，， 由题设知 AP PB AQ QB ，，，均不为零，记AP PB AQ QB
λ=
=． ∵过点P 的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于两点A B 、， ∴0λ>且1λ≠． ∵A P B Q ，，，四点共线， 设12 PA AQ PB BQ λλ==，，则120λλ+=． 即()()()()11111222223,1,,3,1,.
x y x x y y x y x x y y λλ--=--⎧⎪⎨--=--⎪⎩ ∴111111311.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩， 2222223,11.1x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩
∵点11()A x y ，，22()B x y ，在双曲线C 上， ∴22
313311i i i i x y λλλλ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，其中1 2i =，
．
∴12λλ，是方程22
313311x y λλλλ++⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
的两个根. 即12 λλ，
是方程()()222336130x y x y λλ--+--+=的两个根． ∵120λλ+=，且22330x y --≠， ∴()122261033
x y x y λλ--+=-=--，即10x y --=． ∴点()Q x y ，总在定直线10x y --=上．。