人教版数学八年级下册16.2 第2课时 二次根式的除法
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a3
而是“ a ”.刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影
a3
响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说
得对吗？ 解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按 a 计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,
a3
解得a＞3或a≤0. 而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
a3
法则
二次根 式除法
5
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 h 20 时，
他看到的水平线的距离d1是多少？
5
解：d1 8 20 16 5.
问题引入
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 h 40
5
时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶， 那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这 个过程就叫做分母有理化.
新课讲解
例3 计算:
(1) 3 ; 5
（2）3 2 ; （3） 8 .
27
2a
解:（1） 3 3 5 15 .
5 5 5 5
（2）3 2 3 2 2 3 6 . 27 3 3 3 3 3
（3） 8 2 2 2 2 a 2 a . 2a 2a a a a a
新课讲解
例5 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报 道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人 的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究 从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式t 2h .
10
从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空 抛物到落地所需时间t1的多少倍？
2 100
2
4 = __3___;
9
16 25
=
4
__5___;
36
6
49 = __7___.
观察两者有什么关系？
新课讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4； 99
(2) 16 = 16； 特殊 25 25
一般 a a bb
(3) 36 36 .
49 49
思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二
2
1 2
3 2
1
6
（2 2） 3 1 4 3 6 12.
26
2
归纳：类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分 数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
2 商的算术平方根的性质
新课讲解
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就 得到积的算术平方根的性质.
类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到
a a (a 0,b 0). bb
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类 比单项式除以单项式法则，易得
m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
新课讲解
例1 计算：
(1) 24 ; 3
(2) 3 1 ; 2 18
解: (1) 24 24 8 2 2.
(2)
75 27
52 3 32 3
52 5 . 32 3
补充解法：
75 27
75 27
5 3 5. 33 3
新课讲解
(3) 2 7 ; 9
(4)
81 25x2
x
0;
(5) 0.09 169 . 0.64 196
解：(3) 2 7＝ 25＝ 25 ＝5 .
9 9 93
(4)
81 25x2
围是
k 1 k 1
（ B）
A.k≥1
B.k≥2
C. 1＜k≤2
D. 1≤k≤2
4.下列各式的计算中，结果为 2 5的是（ C ）
A. 10 2 C. 1 1
2 40
B. 2 5 D. 8 5
5. 化简：
随堂即练
(1) 72 ; 6
解: (1) 72
6
(2) 2 27 ; 38
72 12 2 3. 6
二次根式的商的算术平方根的性质:
a a (a 0,b 0). bb
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式 的算术平方根的商.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
新课讲解
例2 化简:
(1) 3 ; 100
(2) 75 ; 27
解: (1) 3 3 3 .
100 100 10
还有其他 解法吗?
归纳：分母形如 n a 的式子，分子、分母同乘 a 可使 分母不含根号.
归纳总结
最简二次根式满足如下两个特点： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做 最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
注意 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为 最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
92
5x2
=
9 5x
.
先运用商的算术平 方根的性质，再运 用积的平方根性质.
(5) 0.09169 0.32 132 0.313 39 . 0.64196 0.82 142 0.814 112
新课讲解
练一练
1.能使等式 x x 成立的x的取值范围是（ C ）
x2 x2
A.x≠2 B.x≥0
拓展法则 性质
课堂总结
a a (a 0,b 0) bb
m a n b=（m n） a b （a 0,b 0)
a a (a 0,b 0). bb
分母有理化
相关概念 最简二次根式
►给我五个系数,我讲画出一头大象;给我六个系数,大象将会摇动尾巴。—— A·L·柯西 ►数学是一种精神,一种理性的精神。正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使 人类的思维得以运用到最完善的程度,亦正是这种精神,试图决定性地影响人类 的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解 和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。— —克莱因《西方文化中的数学》 ►无限!再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——希尔伯特 ►整数的简单构成,若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。——G·D·伯 克霍夫 ►数论是人类知识最古老的一个分支,然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的 真理是密切相连的。——史密斯
新课讲解
练一练 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？
对不是最简二次根式的进行化简．
(1) 45;
(2) 1; 3
(3) 5 ; 2
(4) 0.5;
解：只有(3)是最简二次根式.
(5) 1 4 . 5
(1) 45 3 5. (2) 1 1 1 3 3 .
3 3 3 3 3 (4) 0.5 1 1 1 2 2 .
解:由题意，得 t2 10 20 2.
t1 2 50 10 10
随堂即练
1.化简 18 2 的结果是（ B ）
A．9
B．3
C．3 2 D．2 3
2.下列根式中，是最简二次根式的是（ C ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
随堂即练
3.若使等式 2k 4 2k 4 成立，则实数k取值范
(3) 118 19 . 27 27
(2) 2 27 2 27 23 3 3 3 2 6 . 3 8 3 8 32 2 2 2 2 2
(3) 118 19 64 64 8 8 3 = 8 3 . 27 27 27 27 3 3 3 3 3 9
随堂即练
6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位： 焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位： 欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t， 求I，则有I W .若W=2400焦耳，R=100欧姆，
2 2 2 2 2 (5) 14 9 9 9 5 3 5 .
5 5 5 5 5 5
3 二次根式除法的应用
新课讲解
例4 设长方形的面积为S, 相邻两边长分别为a、b.已
知 S 2 3,b 10，求a的值.
解: ∵S ab, ∴a S 2 3 2 3 10 30 . b 10 10 10 5
Rt
t=15秒．试求电流I．
解：当W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒时，
I W 2400 8 2 2 2 10 安培.
Rt 100 15 5 5 5
随堂即练
7.自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题
目是“求二次根式
a
a
3
中实数a的取值范围”，她
告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“ a ”，
RJ八(下) 教学课件
第十六章 二次根式
16.2 二根次式的乘除
第2课时 二次根式的除法
学习目标
1.了解二次根式的除法法则.（重点） 2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算. （难点） 3.能将二次根式化为最简二次根式.（重点）
问题引入
站在水平高度为 h 米的地方看到可见的水平距离为
d 米，它们近似地符合公式为d 8 h .
C.x＞2
D.x≥2
2.化简：
(1) 5 ； 64
(2) 1 7 ;
25
解：(1) 5 5 5 .
64 64 8
(2) 1 7 32 32
25 25 25
(3) 1.25 5 5 5 .
4 42
(3) 1.25 .
42 2 4 2 .
25
5
新课讲解
3 最简二次根式
问题1 你还记得分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数
与原分数相等.即
f g
f ·h g ·h
( h 0 ).
问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则，你
会去掉 2 这样的式子分母的根号吗？
3
是不是可以用分数的 基本性质去掉分母的 根号呢？
下面让我们一起来做做看吧：
新课讲解
2 2 3 6 3 3 3 3
解：d2 16 10 .
d1 16 5
二次根式的除法 该怎样算呢？
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的
法则？
1 二次根式的除法
计算下列各式:
(1)
4
2
_2__÷_3__=__3__;
9=__5__;
(3)
36 49
6
_6__÷_7__=__7__;
新课讲解
33
(2) 3 1 3 1 3 18 27 3 3. 2 18 2 18 2
除式是分数或分式时， 先要转让化为乘法再 进行运算.
新课讲解
( 3 ) 3 42； 56
(4)2 11 1 1. 2 26
解: ( 3 )
3 42 56
3 5
42 6
3 5
7.
(4)2 11 1 22
1 6
次根式除法运算法则，你能说出二次根式 a 的结
果吗？
b
新课讲解
问题 在前面发现的规律 a a 中，a、b的取值
bb
范围有没有限制呢？
a≥0，b＞ 0,b=0时， 等式两边的 二次根式就 没有意义啦！
a,b同号 就可以啦.
不对，同乘
法法则一样，
a、b都为非
负数.
二次根式的除法法则:
归纳总结
文字叙述:
而是“ a ”.刘敏说：哎呀，真抄错了，好在不影
a3
响结果，反正a和a-3都在根号内．试问：刘敏说
得对吗？ 解：刘敏说得不对，结果不一样．理由如下：
按 a 计算，则a≥0，a-3＞0或a≤0，a-3＜0,
a3
解得a＞3或a≤0. 而按 a 计算，则a≥0，a-3＞0,解得a＞3．
a3
法则
二次根 式除法
5
问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 h 20 时，
他看到的水平线的距离d1是多少？
5
解：d1 8 20 16 5.
问题引入
问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即 h 40
5
时，此时他看到的水平线的距离d2是多少？
解：d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶， 那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
把分母中的根号化去,使分母变成有理数的这 个过程就叫做分母有理化.
新课讲解
例3 计算:
(1) 3 ; 5
（2）3 2 ; （3） 8 .
27
2a
解:（1） 3 3 5 15 .
5 5 5 5
（2）3 2 3 2 2 3 6 . 27 3 3 3 3 3
（3） 8 2 2 2 2 a 2 a . 2a 2a a a a a
新课讲解
例5 高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报 道：一个30g的鸡蛋从18楼抛下来就可以砸破行人 的头骨，从25楼抛下可以使人当场死亡．据研究 从高空抛物时间t和高度h近似的满足公式t 2h .
10
从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高空 抛物到落地所需时间t1的多少倍？
2 100
2
4 = __3___;
9
16 25
=
4
__5___;
36
6
49 = __7___.
观察两者有什么关系？
新课讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1) 4 = 4； 99
(2) 16 = 16； 特殊 25 25
一般 a a bb
(3) 36 36 .
49 49
思考 通过上述二次根式除法运算结果，联想到二
2
1 2
3 2
1
6
（2 2） 3 1 4 3 6 12.
26
2
归纳：类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分 数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
2 商的算术平方根的性质
新课讲解
我们知道，把二次根式的乘法法则反过来就 得到积的算术平方根的性质.
类似地，把二次根式的除法法则反过来，就得到
a a (a 0,b 0). bb
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类 比单项式除以单项式法则，易得
m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
新课讲解
例1 计算：
(1) 24 ; 3
(2) 3 1 ; 2 18
解: (1) 24 24 8 2 2.
(2)
75 27
52 3 32 3
52 5 . 32 3
补充解法：
75 27
75 27
5 3 5. 33 3
新课讲解
(3) 2 7 ; 9
(4)
81 25x2
x
0;
(5) 0.09 169 . 0.64 196
解：(3) 2 7＝ 25＝ 25 ＝5 .
9 9 93
(4)
81 25x2
围是
k 1 k 1
（ B）
A.k≥1
B.k≥2
C. 1＜k≤2
D. 1≤k≤2
4.下列各式的计算中，结果为 2 5的是（ C ）
A. 10 2 C. 1 1
2 40
B. 2 5 D. 8 5
5. 化简：
随堂即练
(1) 72 ; 6
解: (1) 72
6
(2) 2 27 ; 38
72 12 2 3. 6
二次根式的商的算术平方根的性质:
a a (a 0,b 0). bb
语言表述：商的算术平方根，等于积中各因式 的算术平方根的商.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
新课讲解
例2 化简:
(1) 3 ; 100
(2) 75 ; 27
解: (1) 3 3 3 .
100 100 10
还有其他 解法吗?
归纳：分母形如 n a 的式子，分子、分母同乘 a 可使 分母不含根号.
归纳总结
最简二次根式满足如下两个特点： （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做 最简二次根式.
简记为：一根号无分母，分母无根号；二不能再开方.
注意 在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为 最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
92
5x2
=
9 5x
.
先运用商的算术平 方根的性质，再运 用积的平方根性质.
(5) 0.09169 0.32 132 0.313 39 . 0.64196 0.82 142 0.814 112
新课讲解
练一练
1.能使等式 x x 成立的x的取值范围是（ C ）
x2 x2
A.x≠2 B.x≥0
拓展法则 性质
课堂总结
a a (a 0,b 0) bb
m a n b=（m n） a b （a 0,b 0)
a a (a 0,b 0). bb
分母有理化
相关概念 最简二次根式
►给我五个系数,我讲画出一头大象;给我六个系数,大象将会摇动尾巴。—— A·L·柯西 ►数学是一种精神,一种理性的精神。正是这种精神,激发、促进、鼓舞并驱使 人类的思维得以运用到最完善的程度,亦正是这种精神,试图决定性地影响人类 的物质、道德和社会生活;试图回答有关人类自身存在提出的问题;努力去理解 和控制自然;尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。— —克莱因《西方文化中的数学》 ►无限!再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——希尔伯特 ►整数的简单构成,若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。——G·D·伯 克霍夫 ►数论是人类知识最古老的一个分支,然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的 真理是密切相连的。——史密斯
新课讲解
练一练 在下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？
对不是最简二次根式的进行化简．
(1) 45;
(2) 1; 3
(3) 5 ; 2
(4) 0.5;
解：只有(3)是最简二次根式.
(5) 1 4 . 5
(1) 45 3 5. (2) 1 1 1 3 3 .
3 3 3 3 3 (4) 0.5 1 1 1 2 2 .
解:由题意，得 t2 10 20 2.
t1 2 50 10 10
随堂即练
1.化简 18 2 的结果是（ B ）
A．9
B．3
C．3 2 D．2 3
2.下列根式中，是最简二次根式的是（ C ） A. 18 B. 24 C. 30 D. 36
随堂即练
3.若使等式 2k 4 2k 4 成立，则实数k取值范
(3) 118 19 . 27 27
(2) 2 27 2 27 23 3 3 3 2 6 . 3 8 3 8 32 2 2 2 2 2
(3) 118 19 64 64 8 8 3 = 8 3 . 27 27 27 27 3 3 3 3 3 9
随堂即练
6.在物理学中有公式W=I2Rt，其中W表示电功(单位： 焦耳)，I表示电流(单位：安培)，R表示电阻(单位： 欧姆)，t表示时间(单位：秒)，如果已知W、R、t， 求I，则有I W .若W=2400焦耳，R=100欧姆，
2 2 2 2 2 (5) 14 9 9 9 5 3 5 .
5 5 5 5 5 5
3 二次根式除法的应用
新课讲解
例4 设长方形的面积为S, 相邻两边长分别为a、b.已
知 S 2 3,b 10，求a的值.
解: ∵S ab, ∴a S 2 3 2 3 10 30 . b 10 10 10 5
Rt
t=15秒．试求电流I．
解：当W=2400焦耳，R=100欧姆，t=15秒时，
I W 2400 8 2 2 2 10 安培.
Rt 100 15 5 5 5
随堂即练
7.自习课上，张玉看见同桌刘敏在练习本上写的题
目是“求二次根式
a
a
3
中实数a的取值范围”，她
告诉刘敏说：你把题目抄错了，不是“ a ”，
RJ八(下) 教学课件
第十六章 二次根式
16.2 二根次式的乘除
第2课时 二次根式的除法
学习目标
1.了解二次根式的除法法则.（重点） 2.会运用除法法则及商的算术平方根进行简单运算. （难点） 3.能将二次根式化为最简二次根式.（重点）
问题引入
站在水平高度为 h 米的地方看到可见的水平距离为
d 米，它们近似地符合公式为d 8 h .
C.x＞2
D.x≥2
2.化简：
(1) 5 ； 64
(2) 1 7 ;
25
解：(1) 5 5 5 .
64 64 8
(2) 1 7 32 32
25 25 25
(3) 1.25 5 5 5 .
4 42
(3) 1.25 .
42 2 4 2 .
25
5
新课讲解
3 最简二次根式
问题1 你还记得分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数
与原分数相等.即
f g
f ·h g ·h
( h 0 ).
问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则，你
会去掉 2 这样的式子分母的根号吗？
3
是不是可以用分数的 基本性质去掉分母的 根号呢？
下面让我们一起来做做看吧：
新课讲解
2 2 3 6 3 3 3 3
解：d2 16 10 .
d1 16 5
二次根式的除法 该怎样算呢？
思考 乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的
法则？
1 二次根式的除法
计算下列各式:
(1)
4
2
_2__÷_3__=__3__;
9=__5__;
(3)
36 49
6
_6__÷_7__=__7__;
新课讲解
33
(2) 3 1 3 1 3 18 27 3 3. 2 18 2 18 2
除式是分数或分式时， 先要转让化为乘法再 进行运算.
新课讲解
( 3 ) 3 42； 56
(4)2 11 1 1. 2 26
解: ( 3 )
3 42 56
3 5
42 6
3 5
7.
(4)2 11 1 22
1 6
次根式除法运算法则，你能说出二次根式 a 的结
果吗？
b
新课讲解
问题 在前面发现的规律 a a 中，a、b的取值
bb
范围有没有限制呢？
a≥0，b＞ 0,b=0时， 等式两边的 二次根式就 没有意义啦！
a,b同号 就可以啦.
不对，同乘
法法则一样，
a、b都为非
负数.
二次根式的除法法则:
归纳总结
文字叙述: