精品2019学年高中数学第三章.1函数的单调性与导数学案含解析新人教A版选修1

3．3.1 函数的单调性与导数
[提出问题]
已知函数y 1＝x ，y 2＝x 2
，y 3＝1x
的图象如图所示．
问题1：试结合图象指出以上三个函数的单调性．
提示：函数y 1＝x 在R 上为增函数，y 2＝x 2
在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，y 3＝1x
在(－∞，
0)，(0，＋∞)上为减函数．
问题2：判断它们的导数在其单调区间上的正、负．
提示：y 1′＝1，在R 上为正；y 2′＝2x ，在(－∞，0)上为负，在(0，＋∞)上为正；y 3′＝－1
x
2，在 (－∞，
0)及(0，＋∞)上均为负．
问题3：结合问题1、问题2，探讨函数的单调性与其导函数的正负有什么关系？ 提示：当f ′(x )>0时，f (x )为增函数；当f ′(x )<0时，f (x )为减函数． [导入新知]
一般地，在区间(a ，b )内函数的单调性与其导函数有如下关系：
[化解疑难]
在某个区间内f ′(x )>0(f ′(x )<0)是函数f (x )在此区间内为增(减)函数的充分不必要条件．出现个别点使
f ′(x )＝0，不会影响函数f (x )在包含这些特殊点的某个区间内的单调性．例如，函数f (x )＝x 3在定义域(－∞，
＋∞)上是增函数，但由f ′(x )＝3x 2
知，f ′(0)＝0，即并不是在定义域内的任意一点处都满足f ′(x )>0.
[例1] 已知函数y ＝xf )，下列四个图象中为y ＝f (x )的大致图象的是( )
[解] 选C 由题图知：当x＜－1时，xf′(x)＜0，
∴f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增；
当－1＜x＜0时，xf′(x)＞0，
∴f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；
当0＜x＜1时，xf′(x)＜0，
∴f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减；
当x＞1时，xf′(x)＞0，
∴f′(x)＞0，y＝f(x)单调递增．
[类题通法]
研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素：对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致．
[活学活用]
函数f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是( )
解析：选D 从原函数y ＝f (x )的图象可以看出，其在区间(－∞，0)上是减函数，f ′(x )＜0；在区间(0，x 1)上是增函数，f ′(x )＞0；在区间(x 1，x 2)上是减函数，f ′(x )＜0；在区间(x 2，＋∞)上是增函数，f ′(x )＞0.结合选项可知，只有D 项满足．
[例2] 证明函数f (x )＝x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π上单调递减． 证明：∵f (x )＝sin x
x ，
∴f ′(x )＝
x
x －sin x
x
x 2
＝
x cos x －sin x
x 2
.
由于x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π， 所以cos x ＜0, sin x ＞0. 因此x cos x －sin x ＜0， 故f ′(x )＜0，
所以f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π上单调递减． [类题通法]
利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f ′(x )＞0(f ′(x )＜0)在给定区间上恒成立，一般步骤为：①求导数f ′(x )；②判断f ′(x )的符号；③给出单调性结论．
[注意] 如果出现个别点使f ′(x )＝0，不影响函数在包含该点的某个区间内的单调性． [活学活用]
试证明：函数f (x )＝ln x
x
在区间(0,2)上是增函数．
证明：由于f (x )＝ln x x
，
所以f ′(x )＝1
x ·x －ln x x 2＝1－ln x
x
2
， 由于0＜x ＜2，所以ln x ＜ln 2＜1，
故f ′(x )＝1－ln x
x
2
＞0， 所以函数f (x )＝ln x x
在区间(0,2)上是增函数．
[例3] (1)f (x )＝1
2x ＋sin x ，x ∈(0,2π)；
(2)f (x )＝2x －ln x .
[解] (1)∵f ′(x )＝1
2＋cos x ，
∴令f ′(x )>0，得1
2＋cos x >0，
即cos x >－1
2
.
又∵x ∈(0,2π)，∴0<x <23π或4
3π<x <2π.
同理，令f ′(x )<0，得23π<x <4
3
π.
∴该函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23π，⎝ ⎛⎭
⎪⎫43π，2π；
单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2
3π，43π.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)， 其导函数为f ′(x )＝2－1
x
.
令2－1x >0，解得x >12；
令2－1x <0，解得0<x <12
，
∴该函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，
单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12.
[类题通法]
求函数y ＝f (x )单调区间的步骤
(1)确定函数y ＝f (x )的定义域； (2)求导数y ′＝f ′(x )；
(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为增区间；
(4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为减区间． [注意] 当单调区间有多个时，不要写成并集． [活学活用]
求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 3＋3x
；(2)y ＝x e x
.
解：(1)函数的定义域为{x ∈R|x ≠0}．
f ′(x )＝3x 2－3
x 2＝3⎝
⎛
⎭⎪⎫
x 2
－1x 2.
由f ′(x )＞0，解得x ＜－1或x ＞1； 由f ′(x )＜0，解得－1＜x ＜1，且x ≠0.
∴函数的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)； 单调递减区间为(－1,0)，(0,1)． (2)y ′＝e x
＋x e x
＝e x
(1＋x )．
令y ′>0，得x >－1；令y ′<0，得x <－1. 因此，y ＝x e x 的单调递增区间为(－1，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，－1)．
5.与参数有关的函数单调性问题
[典例] 已知函数f (x )＝x 3
－ax －1.讨论f (x )的单调性． [解] f ′(x )＝3x 2
－a . ①当a ≤0时，f ′(x )≥0，
所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a
3
； 当x ＞3a 3或x ＜－3a 3
时，f ′(x )＞0； 当－
3a 3＜x ＜3a 3
时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－
3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3
，3a 3上为减函数． 综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数；
上为增函数，在⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数． [多维探究]
1．讨论含有参数的函数的单调性，通常归结为求含参不等式的解集问题，而对含有参数的不等式要针对具体情况进行讨论，但要始终注意定义域对函数单调性的影响以及分类讨论的标准．
2．此题对含参数的函数的单调性进行了讨论．另外，已知函数的单调性确定参数问题更是各类考试的重点，应注意掌握，如更换本题的条件，可得如下问题：
(1)f (x )不变，若f (x )为增函数，求实数a 的取值范围． 解：由已知得f ′(x )＝3x 2
－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f ′(x )＝3x 2
－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2
对x ∈R 恒成立． 因为3x 2
≥0，所以只需a ≤0.
又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2
≥0，f (x )＝x 3
－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即a 的取值范围为(－∞，0]． (2)f (x )不变，若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解：因为f ′(x )＝3x 2
－a ，
且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即3x 2
－a ≥0在(1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤3x 2
在(1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤3，
即a 的取值范围为(－∞，3]．
(3)f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上为减函数，试求a 的取值范围． 解：由f ′(x )＝3x 2
－a ≤0在(－1,1)上恒成立， 得a ≥3x 2
在(－1,1)上恒成立． 因为－1＜x ＜1， 所以3x 2＜3， 所以a ≥3.
即当a 的取值范围为[3，＋∞)时，
f (x )在(－1,1)上为减函数．
(4)f (x )不变，若f (x )的单调递减区间为(－1,1) ，求a 的值． 解：由例题可知，f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3a 3，3a 3， ∴
3a
3
＝1，即a ＝3.
(5)f (x )不变，若f (x )在区间(－1,1)上不单调，求a 的取值范围． 解：∵f (x )＝x 3
－ax －1，∴f ′(x )＝3x 2
－a . 由f ′(x )＝0，得x ＝±
3a
3
(a ≥0)． ∵f (x )在区间(－1,1)上不单调， ∴0＜
3a
3
＜1，得0＜a ＜3， 即a 的取值范围为(0,3)．
[随堂即时演练]
1．已知函数f (x )＝x 3
－3x 2
－9x ，则函数f (x )的单调递增区间是( ) A ．(3,9) B ．(－∞，－1)，(3，＋∞) C ．(－1,3)
D ．(－∞，3)，(9，＋∞)
解析：选B ∵f (x )＝x 3
－3x 2
－9x ， ∴f ′(x )＝3x 2
－6x －9＝3(x 2
－2x －3)． 令f ′(x )＞0，得x ＞3或x ＜－1.
2．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．是增函数 B ．是减函数 C ．有最大值
D ．有最小值
解析：选A ∵cos x ≤1， ∴f ′(x )＝2－cos x ＞0恒成立， ∴f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数．
3．若函数f (x )＝x 3
＋bx 2
＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1,2)，则b ＝________，c ＝________. 解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，
由题意知－1＜x ＜2是不等式f ′(x )＜0的解， 即－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根， 把－1,2分别代入方程， 解得b ＝－3
2，c ＝－6.
答案：－3
2
－6
4．函数f (x )＝x －2sin x 在(0，π)上的单调递增区间为________． 解析：令f ′(x )＝1－2cos x ＞0， 则cos x ＜1
2
，又x ∈(0，π)，
解得π
3
＜x ＜π，
所以函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3，π. 答案：⎝
⎛⎭
⎪⎫π3，π
5．讨论下列函数的单调性： (1)y ＝x 3
－x ；
(2)y ＝e x ＋e －x
(x ∈[0，＋∞))． 解：(1)y ＝x 3
－x ，
y ′＝3x 2－1＝3⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋
33⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －33. ∵当x ＜－33或x ＞3
3
时，y ′＞0， 当－
33＜x ＜3
3
时，y ′＜0， ∴y ＝x 3
－x ，在⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－
33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞上是增函数，在⎝ ⎛
⎭⎪⎫－33
，33上是减函数． (2)f ′(x )＝(e x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝e x
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1e x ＝e x －e －x
＝
x
2
－1
e
x
，
∵当x ∈[0，＋∞)时，e x
≥1， ∴f ′(x )≥0.
∴f (x )＝e x ＋e －x
在[0，＋∞)上为增函数．
[课时达标检测]
一、选择题
1．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)，若a 2
－3b ＜0，则f (x )是( ) A ．减函数 B ．增函数 C ．常数函数
D ．既不是减函数也不是增函数
解析：选B 由题意知f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，则方程3x 2
＋2ax ＋b ＝0的根的判别式Δ＝4a 2
－12b ＝4(a 2
－3b )＜0，故f ′(x )＞0在实数集R 上恒成立，即f (x )在R 上为增函数．
2．函数y ＝(3－x 2
)e x
的单调递增区间是( ) A ．(－∞，0) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，－3)和(1，＋∞) D．(－3,1)
解析：选D y ′＝－2x e x
＋(3－x 2
)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，令(－x 2－2x ＋3)e x ＞0，由于e x ＞0，则－x 2
－2x ＋3
＞0，解得－3＜x＜1，所以函数的单调递增区间是(－3,1)．3．已知函数f(x)＝x＋ln x，则有( )
A．f(2)＜f(e)＜f(3)
B．f(e)＜f(2)＜f(3)
C．f(3)＜f(e)＜f(2)
D．f(e)＜f(3)＜f(2)
解析：选A 因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝1
2x ＋
1
x
＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．
4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是( )
解析：选C 由图可知函数应在区间(0,2)上单调递减，在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，只有选项C 符合题意．
5．已知函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上均有f′(x)＜g′(x)，则下列关系式中正确的是( )
A．f(x)＋f(b)≥g(x)＋g(b)
B．f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)
C．f(x)≥g(x)
D．f(a)－f(b)≥g(b)－g(a)
解析：选B 据题意，由f′(x)＜g′(x)得f′(x)－g′(x)＜0，故F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上为减函数，由单调性知识知，必有F(x)≥F(b)，即f(x)－g(x)≥f(b)－g(b)，移项整理得：f(x)－f(b)≥g(x)－g(b)．
二、填空题
6．设函数f(x)＝x(e x－1)－1
2
x2，则f(x)的单调递增区间是________，单调递减区间是________．
解析：∵f(x)＝x(e x－1)－1
2
x2，
∴f′(x)＝e x－1＋x e x－x＝(e x－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x) 在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．答案：(－∞，－1)和(0，＋∞)(－1,0)
7．设函数f (x )＝x 3
＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2
＋a ， ∵f (x )在(1，＋∞)内是增函数， ∴3x 2
＋a ≥0对x ∈(1，＋∞)恒成立， 即a ≥－3x 2
对x ∈(1，＋∞)恒成立． 又－3x 2
<－3，∴a ≥－3. 答案：[－3，＋∞)
8．在下列命题中，真命题是________(填序号)．
①若f (x ) 在(a ，b )内是增函数，则对任意x ∈(a ，b )，都应有f ′(x )>0； ②若在(a ，b )内f ′(x )存在，则f (x )必为单调函数；
③若在(a ，b )内对任意x 都有f ′(x )>0，则f (x )在(a ，b )内是增函数； ④若可导函数在(a ，b )内有f ′(x )<0，则在(a ，b )内有f (x )<0.
解析：对于①，可以存在x 0，使f ′(x 0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f ′(x )符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f ′(x )<0只能得到f (x )单调递减．
答案：③ 三、解答题
9．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝x 2
－ln x ； (2)f (x )＝e
x x －2
.
解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．
f ′(x )＝2x －1x
＝
2x －2x ＋
x
.
因为x ＞0，所以2x ＋1＞0， 由f ′(x )＞0，解得x ＞
22
， 所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22，＋∞； 由f ′(x )＜0，解得x ＜
2
2
，又x ∈(0，＋∞)， 所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，
22. (2)函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝
e
x
x －－e
x
x －
2
＝
e
x
x －x －
2
.
因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)， 所以e x
＞0，(x －2)2
＞0.
※精品试卷※
推 荐 下 载 由f ′(x )＞0，解得x ＞3，
所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f ′(x )＜0，解得x ＜3，又x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
10．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0，求a 的取值范围． 解：由f (0)＝1，f (1)＝0，得c ＝1，a ＋b ＝－1，
则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x
， f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x .
依题意需对于任意x ∈[0,1]，有f ′(x )≤0.
当a ＞0时，因为二次函数y ＝ax 2
＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a ＜0，
所以需f ′(1)＝(a －1)e≤0，即0＜a ≤1；
当a ＝0时，对于任意x ∈(0,1)，f ′(x )＝－x e x ＜0，符合条件；
当a ＜0时，f ′(0)＝－a ＞0，不符合条件．
故a 的取值范围为[0,1]．。