(教师用书)高中数学 2.4.2 二阶矩阵与二元一次方程组同步备课课件 苏教版选修4-2
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a ＝ c
b 是否可逆的． d
2．二元一次方程组的系数矩阵满足什么条件时，方程组 有惟一解？
【提示】 当关于 x、 y
a A＝ c ax＋by＝m 的二元一次方程组 cx＋dy＝n
的
系数矩阵
a c
x b 是可逆的，则方程组有惟一解 ＝ d y
]”改为“| |”，
把
b d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值
a det(A)＝ c
(或多项式)，记为
b ＝ad－bc d
.
2．二阶行列式与二元一次方程组 关于 x，y
a c 将
ax＋by＝m， 的二元一次方程组 cx＋dy＝n，
m b a m b d 记为 D，将 n d 记为 Dx，将 c n 记为
经 A 将 X 变换后的向量，则上述二元一次方程组可记为以下 矩阵方程： AX ＝ B ，即
a c b x d y
＝
m n
.
当 A 是可逆矩阵时，上式两边同时左乘 A－1 ，则有 X d －b ad－bc ad－bc －1 － 1 ＝ A B ，其中 A ＝ . －c a ad－bc ad－bc (2)二元一次方程组与几何变换 从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是 a b m 已知变换矩阵 c d 变换 和变换后的象 ，去求在这个 n 的作用下的
ax＋by＝m， 形式 cx＋dy＝n.
再分别求出 D，Dx，Dy 然后用求解公式
Dx x＝ D y＝Dy D
求解．
3x－3y－1＝0， 利用行列式解方程组 －x＋4y－3＝0.
【解】
3x－3y＝1， 先将方程组写成一般形式 －x＋4y＝3.
4a－c 即 a＋2c
4a－c＝1， 故 a＋2c＝0，
先将 a，c 看成未知数，则
4 D＝ 1 1 Da＝ 0
利用行列式知识求矩阵的逆矩阵
利用行列式知识求矩阵 A－1.
【思路探究】
4 A＝ 1
－1 的逆矩阵 2
思路一：(待定矩阵法) 设待求矩阵→
利用 AA－1＝E 构建二元一次方程组 →用行列式解方程组 →A－1 思路二：(用行列式法) 计算 Det(A) →A－1
【自主解答】 法一 (待定矩阵法) 设A
－1
a ＝ c
4 －1a b 1 0 b ，则 ＝ ， d 2 c d 0 1 1 4b－d 1 0 ＝0 1， b＋2d 4b－d＝0， b＋2d＝1.
原象
．
a 1．二阶矩阵 c
a b b 与二阶行列式 的主要区别是什 d c d
么？ 【提示】 二阶矩阵对应的是变换，是 4 个数构成的数
a 的方阵，而行列式 c
b ＝ad－bc 则是一个数．写法上也不 d
同，二阶矩阵是用括号，二阶行列式用绝对值号或两竖线表 示．二阶矩阵反应的是变换，二阶行列式是用来判断矩阵 A
x＝ Dy，则当 D≠0 时方程组的解为 y＝
.
3．二元一次方程组与逆矩阵及几何变换 关于 x，y
ax＋by＝m， 的二元一次方程组 cx＋dy＝n.
(1)逆矩阵与二元一次方程组 令
a A＝ c x m b 为系数矩阵， X ＝ 为待求向量， B ＝ y n 是 d
a A＝ c
b ， d
利用行列式解方程组
x＋2y＋1＝0， 利用行列式解方程组 3x＋4y－1＝0.
【思路探究】 →求解
将方程化成一般形式→求出 D，Dx、Dy
【自主解答】 先将方程组改写成一般形式
x＋2y＝－1， 3x＋4y＝1.
因为
1 D＝ 3
b －1m . d n
3．结合上一节试总结求逆矩阵的常用方法有哪几种？
【提示】 (1)待定矩阵法：利用 AA 1＝E 得到方程组，
－
再用行列式法解方程组即可． (2)行列式法：若 且 det(A)≠0， d －b －1 detA detA 则 A ＝ . －c a det A det A
2．4.2
二阶矩阵与二元一次方程组
1.能用变换与映射的观点认识线 性方程组的意义． 2．会通过具体的系数矩阵，从 课标 几何上说明线性方程组解的存在 解读 性、惟一性． 3．了解二阶行列式的定义，会 用二阶行列式求解矩阵.
1．二阶行列式 将矩阵
a c
a A＝ c
b 两边的“[ d
因为
3 D＝ －1
－3 ＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方 4
程组有惟一解．
又
1 Dx＝ 3
3 1 －3 ＝ 1 × 4 － ( － 3) × 3 ＝ 13 ， D ＝y －1 3 4
＝3×3－1×(－1)＝10. Dx 13 Dy 10 所以 x＝ ＝ ，y＝ ＝ . D 9 D 9 13 x＝ 9 ， 故该方程组的解为 y＝10. 9
2 ＝－2≠0，此方程组存在惟一解． 4
又
－1 Dx＝ 1
1 －1 2 ＝－ 6 ， D ＝ y ＝4， 4 1 3
Dx Dy 所以 x＝ ＝3，y＝ ＝－2. D D
x＝3， 故该方程组的解为 y＝－2.
利用行列式解方程组的一般思路：先将方程组化成一般
b 是否可逆的． d
2．二元一次方程组的系数矩阵满足什么条件时，方程组 有惟一解？
【提示】 当关于 x、 y
a A＝ c ax＋by＝m 的二元一次方程组 cx＋dy＝n
的
系数矩阵
a c
x b 是可逆的，则方程组有惟一解 ＝ d y
]”改为“| |”，
把
b d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值
a det(A)＝ c
(或多项式)，记为
b ＝ad－bc d
.
2．二阶行列式与二元一次方程组 关于 x，y
a c 将
ax＋by＝m， 的二元一次方程组 cx＋dy＝n，
m b a m b d 记为 D，将 n d 记为 Dx，将 c n 记为
经 A 将 X 变换后的向量，则上述二元一次方程组可记为以下 矩阵方程： AX ＝ B ，即
a c b x d y
＝
m n
.
当 A 是可逆矩阵时，上式两边同时左乘 A－1 ，则有 X d －b ad－bc ad－bc －1 － 1 ＝ A B ，其中 A ＝ . －c a ad－bc ad－bc (2)二元一次方程组与几何变换 从几何变换的角度看，解这个方程组实际上就是 a b m 已知变换矩阵 c d 变换 和变换后的象 ，去求在这个 n 的作用下的
ax＋by＝m， 形式 cx＋dy＝n.
再分别求出 D，Dx，Dy 然后用求解公式
Dx x＝ D y＝Dy D
求解．
3x－3y－1＝0， 利用行列式解方程组 －x＋4y－3＝0.
【解】
3x－3y＝1， 先将方程组写成一般形式 －x＋4y＝3.
4a－c 即 a＋2c
4a－c＝1， 故 a＋2c＝0，
先将 a，c 看成未知数，则
4 D＝ 1 1 Da＝ 0
利用行列式知识求矩阵的逆矩阵
利用行列式知识求矩阵 A－1.
【思路探究】
4 A＝ 1
－1 的逆矩阵 2
思路一：(待定矩阵法) 设待求矩阵→
利用 AA－1＝E 构建二元一次方程组 →用行列式解方程组 →A－1 思路二：(用行列式法) 计算 Det(A) →A－1
【自主解答】 法一 (待定矩阵法) 设A
－1
a ＝ c
4 －1a b 1 0 b ，则 ＝ ， d 2 c d 0 1 1 4b－d 1 0 ＝0 1， b＋2d 4b－d＝0， b＋2d＝1.
原象
．
a 1．二阶矩阵 c
a b b 与二阶行列式 的主要区别是什 d c d
么？ 【提示】 二阶矩阵对应的是变换，是 4 个数构成的数
a 的方阵，而行列式 c
b ＝ad－bc 则是一个数．写法上也不 d
同，二阶矩阵是用括号，二阶行列式用绝对值号或两竖线表 示．二阶矩阵反应的是变换，二阶行列式是用来判断矩阵 A
x＝ Dy，则当 D≠0 时方程组的解为 y＝
.
3．二元一次方程组与逆矩阵及几何变换 关于 x，y
ax＋by＝m， 的二元一次方程组 cx＋dy＝n.
(1)逆矩阵与二元一次方程组 令
a A＝ c x m b 为系数矩阵， X ＝ 为待求向量， B ＝ y n 是 d
a A＝ c
b ， d
利用行列式解方程组
x＋2y＋1＝0， 利用行列式解方程组 3x＋4y－1＝0.
【思路探究】 →求解
将方程化成一般形式→求出 D，Dx、Dy
【自主解答】 先将方程组改写成一般形式
x＋2y＝－1， 3x＋4y＝1.
因为
1 D＝ 3
b －1m . d n
3．结合上一节试总结求逆矩阵的常用方法有哪几种？
【提示】 (1)待定矩阵法：利用 AA 1＝E 得到方程组，
－
再用行列式法解方程组即可． (2)行列式法：若 且 det(A)≠0， d －b －1 detA detA 则 A ＝ . －c a det A det A
2．4.2
二阶矩阵与二元一次方程组
1.能用变换与映射的观点认识线 性方程组的意义． 2．会通过具体的系数矩阵，从 课标 几何上说明线性方程组解的存在 解读 性、惟一性． 3．了解二阶行列式的定义，会 用二阶行列式求解矩阵.
1．二阶行列式 将矩阵
a c
a A＝ c
b 两边的“[ d
因为
3 D＝ －1
－3 ＝3×4－(－3)×(－1)＝9≠0，此方 4
程组有惟一解．
又
1 Dx＝ 3
3 1 －3 ＝ 1 × 4 － ( － 3) × 3 ＝ 13 ， D ＝y －1 3 4
＝3×3－1×(－1)＝10. Dx 13 Dy 10 所以 x＝ ＝ ，y＝ ＝ . D 9 D 9 13 x＝ 9 ， 故该方程组的解为 y＝10. 9
2 ＝－2≠0，此方程组存在惟一解． 4
又
－1 Dx＝ 1
1 －1 2 ＝－ 6 ， D ＝ y ＝4， 4 1 3
Dx Dy 所以 x＝ ＝3，y＝ ＝－2. D D
x＝3， 故该方程组的解为 y＝－2.
利用行列式解方程组的一般思路：先将方程组化成一般