基于灰色动态马尔科夫的航班延误预测

基于灰色动态马尔科夫的航班延误预测
李频
【摘要】为解决大型枢纽机场运行管理中的航班延误问题,建立了基于灰色理论的动态马尔科夫预测模型,对航班延误情况进行预测.将灰色预测拟合值和实际值的误差分为4个区间,根据误差区间状态,运用加权马尔科夫预测下个时间段的误差范围.结合模糊集理论,将预测误差由一个区间值转化为具体值,从而对灰色预测值进行修正,得到了精确度更高的预测值.结合某机场进行实例验证,结果表明:该方法能够使预测结果的精度有了较大提升.
【期刊名称】《上海工程技术大学学报》
【年(卷),期】2014(028)004
【总页数】5页(P333-336,346)
【关键词】灰色理论;动态马尔科夫;模糊集理论;权重;航班延误
【作者】李频
【作者单位】南京航空航天大学民航学院,南京211106
【正文语种】中文
【中图分类】U8
航班延误是反映机场和航空公司航空运输的重要指标，其变化存在一定的规律性，进行航班延误的预测研究，可以及时对航班延误进行预警，将航班延误所造成的损失降低到最小，为航空公司和客货运输提供保障[1].
为了对航班延误进行预警，减少其对航空公司和机场造成的损失，国内外学者进行了大量研究.徐涛等[2]通过设定导致航班延误各因素的属性信息，对航班的延误级别进行概率性预测，并对导致航班延误的各因素进行分析处理，从而减少其对后续航班的影响.石丽娜[3]从航班运行的全过程入手，建立多层次的航班延误预警指标体系，并运用模糊的评价模型，针对航空公司的航班延误进行评价;对评价的结果采用最大隶属度的原则，确定最终的延误级别.丁建立等[4]为了克服单一的航班延误预测存在的误差，提出了一种基于危险模式和灰色预测组合的新型航班延误预测方法，对这两种预测方法的结果采用加权组合预测的方式来预测航班延误的趋势变化，预测结果是单一预测模型的加权和.Xu等[5]利用贝叶斯网络对美国航空系统航班延误波及进行评估.Wong等[6]采用优化模型对导致航班延误的技术性问题进行评价，通过对航班延误因素分析，在对航班延误实际测量时，以预定延误时间表为基础，运用数学规划模型对空中交通的管理水平进行测量与优化.
根据航班延误受天气变化、流量控制等随机性因素影响的特点，本文提出先采用灰色预测模型GM(1，1)寻找到原始时间序列的内在规律.由于GM(1，1)可以对任意离散序列建模，且短期预测中精度很高，但对长期的预测和波动性较强的序列的拟合度较差，而马尔科夫链的无后效性使其对中长期预测和波动性较长的序列预测效果好[7]，因此，将马尔科夫与灰色预测进行组合，建立灰色动态马尔科夫预测模型，通过加权的马尔科夫和模糊集理论对灰色预测结果优化，可提高预测的精度.
1 灰色动态加权马尔科夫模型
1.1 灰色模型建模
给定原始数据列x(0)，并对x(0)进行一次累加生成x(1)数列，即
对x(1)(t)建立GM(1，1)，对应的线性方程为
式中，a、b为待辨识的参数.解该微分方程为
式中，x(0)(1)=x(1)(1)为初始值.
由最小二乘法求解a、b，表示为
式中，Y和B可表达为
根据GM(1，1)模型可以求出一次累加生成量x(1)(t)的模型预测值，表示为
由于
因此得到原始数据模型值[8]为
1.2 加权马尔科夫模型
设随机过程X(t)，在每个时刻tn，有Xn=X(tn)可以处在状态 a1，a2，…，an 之间，而且只在 t1，t2，…，tn等可数时刻发生状态转移.在这种情况下，若过程在tn+k时刻变成任一状态ai(i=1，2，…，n)的概率只与tn时刻的状态有关，而与tn以前该过程所处的状态无关，称该过程为马尔科夫链，简称马氏链.
设系统有n个状态，系统在tn时刻处于状态ai，在下一时刻tn+1转为状态aj的概率为pij，则称pij为一步转移概率[9].将系统的 pij依序排列，即构成一步转移概率矩阵P(1)，可表示为
若系统经过k次转移后，在时刻tn+k处于状态aj的概率为，则称为k步转移概率.相应地，可构成k步转移概率矩阵P(k).
加权马尔科夫就是在传统的预测基础上，根据不同步长的转移引入权重的概念，运用多步长来动态预测下一时段的数据.根据各阶自相关系数rk(k∈E)计算不同步长的转移权重，计算时，权重需要规范化.
1.3 求解的级别特征值
根据模糊集理论中级别特征值的求法[7]，对各状态分别赋予相应的权重，权重集W={W1，W2，W3，W4}，集合的权重 Wi可表示为
式中，η为最大概率的作用系数，通常取2或4.
级别特征值为
如果误差预测状态为i，且H＞i，则误差预测值为DiH/(i+1.5);如果H＜i，则误差预测值为UiH/(i－1.5).其中，Di和 Ui分别为预测区间的上限和下限.
1.4 修正灰色模型
本文采用加权马尔科夫模型修正GM(1，1)预测过程中的误差，原理为:动态更新每一次的加权值，预测下一时段的误差值状态;根据模糊集确定误差具体值，从而修正GM(1，1)预测值，提高预测精度.
首先计算GM(1，1)中的a、b值，确立灰色预测模型，并计算相对误差，公式为
将式(4)计算出的误差值分级，对所得的结果进行统计，可得不同步长的马尔科夫链转移矩阵.
计算各阶的相关系数rk，计算式为
式中:xi为第i时段的指标值；为指标值均值;n为指标值序列长度.
对各阶自相关系数进行规范可得
分别以前面若干时段的误差值作为初始状态，结合其相应的各阶转移概率矩阵，即可预测出该时段误差值的状态概率，k为滞时(步长)，k=1，2，…，m.将同一状态的不同步长预测值加权和作为指标值处于该状态的预测概率，即，从而 max{Pi，
i∈E}所对应的 i为该时段指标值的预测状态.
根据GM(1，1)预测的航班延误值和加权马尔科夫预测的误差状态，运用模糊集理论，判断级别特征值和预测误差状态大小，求误差预测值(本文中最大概率的作用
系数取4).根据误差值对预测值进行修正，公式如下
即得到更为精确的修正预测值.
该算法在GM(1，1)的基础上结合了马尔科夫模型，在一般马尔科夫的基础上又提出了加权的概念，动态更新每一次预测的权重，预测误差所在的状态，再结合模糊集理论，将预测误差值由区间值转化为一个具体值，对灰色预测值进行修正，得到更精确的预测值.
2 应用实例
2.1 数据来源
原始样本为航班延误起伏不大的11月和12月中某机场离港航班数据，选取了航
班延误架次作为参数(华北局对该机场航班延误的认定标准是关舱门时间比机票标
注时间晚30 min以上，或航班取消的情况).
2.2 实验环境及数据分析
本文采用Matlab软件对数据进行分析处理，计算时选取11月20日至12月9日，每天上午10时至11时的航班延误架次，得出灰色模型式(1)中的参数 a、b分别
为0.007 1 和 19.058 2，进而计算得到航班延误的拟合值.
将航班延误的实际值与拟合值进行比较，根据式(4)可以得出相对误差，具体误差
值见表1.
表1 GM(1，1)实际值与拟合值误差Table 1 Errors between actual values and fitting values of GM(1，1)时间序列实际值拟合值误差/%1 16 18.885 7
18.035 6 3 16 18.753 0 17.206 3 4 21 18.621 3 －11.327 1 5 18 18.490 4
2.724 4 6 23 18.360 5 －20.171 7 7 20 18.231 5 －8.842 5 8 17 18.103 4
6.490 6 9 15 1
7.976 2 19.841 3 10 18 17.849 9 －0.833 9 11 19 17.724 5 －6.713 2 12 18 17.600 0 －2.222 2 13 15 17.476 3 16.508 8 14 21 17.353 5 －17.364 3 15 22 17.231 6 －21.674 5 16 14 17.110 5 22.217 9 17 15 16.990 3 13.268 7 18 18 16.870 9 －6.272 8 19 17 16.752 4 －1.456 5 15 15 0 2 20 14 16.634 7 1
8.819 3
根据相对误差将误差值分为4个状态，状态划分如表2所示.
表2 误差状态分布Table 2 Distribution of error state状态1234误差/% [－21，－10)[－10，0) [0，10) [10，22)
根据式(2)计算得到一步转移概率矩阵为
根据式(5)和式(6)计算得出1～3阶的自相关系数和权重如表3所示.
表3 不同步长的自相关系数和权重Table 3 Autocorrelation coefficients and weights of different steps步长123 rk0.125 6 －0.247 8 －0.042 4 wk0.302 1 0.508 9 0.302 1
选取12月中的7、8、9日上午10时至11时的航班延误值，预测12月10日同时间段内航班延误误差值，预测结果如表4所示.
表4 12月10日上午10时至11时航班延误误差预测Table 4 Error prediction
of flight delays on 10 to 11 o＇clock of 10th December时间/s步长状态权
重状态1 状态2 状态3 状态4 12.7 3 2 0.102 0.50 0.250 0 0.25 12.8 2 2 0.598
0.20 0.200 0 0.60 12.9 1 4 0.302 0.33 0.333 0 0.33 Pi加权和0.27 0.25 0 0.53 根据传统GM(1，1)模型预测，12月10日航班延误架次为16.517 8架，由表4可知，max{Pi}=0.53，即误差值落在状态4的概率最大.根据式(3)计算H为4.840 7，大于预测状态4，则由式(7)计算得到误差预测值为19.368 2%.根据式(7)得到修正后的预测值为13.318 6，与实际值14比较，预测精度由原来的82.2%提高到95.1%，如表5所示.
针对原始样本数据，根据本文提出的方法对12月11日至30日的航班延误值进行预测，与传统灰色预测模型相比，本文提出的方法的预测精度有了很大提升，具体变化如表6所示.
表5 预测结果分析Table 5 Analysis of prediction results模型预测值实际值
绝对误差预测精度16.52 14 2.517 8 82.2动态马尔科夫/%灰色预测13.32 14 0.681 4 95.1
表6 原始样本预测精度分析Table 6 Analysis of prediction precision for original samples时间序列传统预测精度/% 本文预测精度/% 精度变化/%82.0 96.7 14.8 2 82.8 97.0 14.2 3 88.7 98.7 10.0 4 97.3 99.9 2.7 5 79.8 95.9 16.1 6 91.2 99.2 8.1 7 93.5 99.6 6.1 8 80.2 96.1 15.9 9 99.2 100.0 0.8 10 93.3 99.5 6.3 11 97.8 100.0 2.2 12 83.5 97.3 13.8 13 82.6 97.0 14.3 14 78.3 95.3 17.0 15 77.8 95.1 17.3 16 86.7 98.2 11.5 17 93.7 99.6 5.9 18 98.5 100.0 1.4 19 81.2 96.5 15.3 1 20 85.2 97.4 12.2
3 结语
本文建立了灰色动态马尔科夫模型用于航班延误的预测.新模型在GM(1，1)预测的结果上，采用加权马尔科夫将预测误差转化为多个预测区间，动态更新每一次预测的权值，对误差的趋势进行预测.在得到误差区间的基础上，运用模糊集理论将误差由一个区间值转换到一个具体值，根据预测误差值对GM(1，1)预测值进行修
正，得到了更精确的航班延误预测值.该模型有效提高了预测的准确性，能为机场
管理当局提供大面积航班延误管理决策.
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