第1讲 正弦、余弦、正切、余切(讲义)

第1讲 正弦、余弦、正切、余切
知识梳理
1.角的概念的推广
（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00
到3600
的范围.
（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与
x 轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终
边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.
（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角α终边相同的角（包含角α在内）的集合为{}
Z k k ∈⋅+=,360 αββ.
（4）角α在“
0到 360”范围内，指 3600<≤α.
2.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量 角的单位制称为弧度制．
弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小
(1) 角度制与弧度制换算关系：180π︒=弧度 ，rad 1801π
= ，
30.571801≈⎪⎭
⎫ ⎝⎛=πrad
3.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r ，圆心角为α弧度，弧长为l ，面积为s ，则有 由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=
.
在角度制中，半径为r 、圆心角为
n 的弧长r n r n l 1802360
π
π=⋅=
. 在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2
1
21222==⋅=
αππα. 在角度制中，半径为r ，圆心角为
n 的扇形面积22360360
r n r n S ππ=⋅=
4.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以
还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅αsin ，αcsc 为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅αtan ，αcot 为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅αcos ，αsec 为正，其余为负.
一、 角概念的推广
例题解析
例1．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±
C ．6
k π
π+
与26
k ππ±
D ．
2k π与2
k ππ± 例2．（2020·上海市建平中学高一期中）已知α是第二象限角，则2
α
是（ ） A ．锐角 B ．第一象限角
C ．第一、三象限角
D ．第二、四象限角
例3.（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的
一组是（ ）
A ．43-与677
B ．900与1260-
C ．120-与960
D ．150与630
例4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限
例5．（2020·上海市莘庄中学高一月考）终边在y 轴负半轴上的角的集合为___________________
例6.（2020·上海市金山中学高一期中）2019角是第_______象限角．
例7（2020·上海浦东新区·高一期中）与4
π
角终边重合的角的集合是________ 巩固练习
1．（2020·上海浦东新区·高一期中）若α是第一象限的角，则2
α
是第________象限的角．
2．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.
3．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3
α
的终边一定不在第_________象限.
4．若3601575,k k Z α=⋅-∈，试判断角α所在象限。

5.在0~360的范围内，求终边在y 轴上的角组成的集合.
6.．在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？
（1）120- （2）640 （3）95012'-
7.．在0~360间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角。

（1） 120-︒；（2） 660︒；（3） 95008'-︒
二、弧度制与扇形公式 例题解析
例1.把角6730'化为弧度制．
例2.若两个角的和是1弧度，此两角的差是1，试求这两个角．
例3.指出下列各角所在的象限： （1）
517π； （2）π6
23
-．
例4.设集合M ={α|α=，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π，则M ∩N 等于（ ）
5
-2π
πk }
A ．{－
} B ．{－
} C ．{－
} D ．{
} 例5.若(3,5)αππ∈，且角α的终边与56
π-角的终边互相垂直，求角α.
例6.已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？
例7.在扇形AOB 中，90AOB ∠=，弧长为l ，则此扇形内切圆的面积是___________ 巩固练习
1．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．
2．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ）
A ．70 cm
B ．
cm C ．(
)cm
D ． cm 3．如果弓形的弧所对的圆心角为
，弓形的弦长为4 cm ，则弓形的面积是：（ ） A ．（
） cm 2 B ．（
）cm 2 C ．（）cm 2 D ．（
） cm 2 4．在(4,4)ππ-内与587
π
-
终边重合的角是___________。

5．与角
1825-的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，是＿＿＿弧度。

105π
π3,
5
10ππ4,75
-
105πππ
π4,107,3,
7,031-1ππ1
sin 2
1sin 22sin 6
70
3425-3π
3
π353
π
344-9
π
344-3
π
348-3
π
328-3
π
6．α的终边与
6
π
的终边关于直线x y =对称，则α＝____________。

7．（2020·上海市莘庄中学高一月考）已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为
10cm ，则扇形的面积是________2cm ．
8．（2020·上海市建平中学高一期中）已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.
9．（2020·上海市控江中学高一期中）圆心角为1弧度的扇形面积为2,则这个扇形的半径为_______.
10．（2020·上海外国语大学嘉定外国语实验高级中学高一期中）扇形的圆心角
5
18
απ=
，半径6r =，则弧长l =______________.
11．（2020·徐汇区·上海中学高一期中）一个扇形半径是2，圆心角的弧度数是2，则此扇形的面积是__________.
12．（2020·上海市实验学校高一期中）已知一扇形的圆心角为1弧度，半径为1，则该扇形的面积为________.
13．（2020·上海市沪新中学高一期中）用弧度制表示所有与75︒终边相同的角的集合是______________.
14．（2020·上海浦东新区·高一期中）已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为1cm ，则此扇形的面积为_______2cm
15．（2020·华东师范大学第三附属中学高一期末）已知扇形的圆心角为6π
,面积为3
π,则扇形的半径是________．
16．（2021·上海市行知中学高一期末）设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________．
17．（2021·上海普陀区·曹杨二中高一期末）已知扇形的圆心角为3
π
，半径为2，则该扇形的面积为_________．
18．圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是___________ 19．一个扇形的面积是21cm ,它的周长是4cm ,则圆心角为 弧度；弧长为 cm ．
20．把角
4()5
rad π
化为角度制。

21．已知κπβα2+=（Z k ∈），且πβπ2
3<<，问2α
是第几象限角？
22．已知πθ<≤0，且θ的6倍角的终边与角θ的终边互为反向延长线，求角θ
23．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为400m ，所在圆的半径为r ，扇形的圆心角的弧度数为θ，()0,2θπ∈. （1）求绿化区域面积S 关于r 的函数关系式，并指出r 的取值范围；
（2）所在圆的半径为r 取何值时，才能使绿化区域的面积S 最大，并求出此最大值.
三、任意角的正弦、余弦、正切及余切 例题解析
例1.已知角α的终边上有一点)0()5,12(<a a a P ，求α的各三角函数值.
例2.已知角α的终边经过点)0()4,3(≠-a a a P ，求ααcos 2sin +的值.
例3.若点)0,4(-P 在角α的终边上，则下列函数中不存在的是（ ） A ．αsin B ．αcos C ．αtan D ．αcot 例4.βα≠是βαsin sin ≠的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分又非必要条件 例5.求值：
（1）)1020cot(1110tan )1380cos()1830sin(
-⋅+-⋅；
（2）⎪
⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππππ441cos 423sin 35cot 417cos 22
.
例6.已知角α是第四象限角，则下列各式中一定为正的是（ ） A ．ααcos sin + B ．ααcos sin ⋅ C ．ααtan sin ⋅ D ．ααcos sin - 例7.求函数x x y tan cos -+=的定义域.
例8.下列四个命题：①若0cos <α，则α是第二象限角或第三象限角；②0cos sin >⋅αα且 0cot cos <⋅αα是α为第三象限角的充要条件；③若βαcos cos =，则角α和角β的终边相同；④若βα>，则βαsin sin >.其中真命题有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 例9.已知0sin >α，0cos <α，判断2
tan α
的符号.
例10.若2
0π
α<
<，证明：
（1）1cos sin >+αα； （2）αααtan sin 0<<<.
例11.若
2
4
π
θπ
<
<，则下列各不等式中成立的是（ ）
A ．θθθsin cos tan <<
B ．θθθcos tan sin <<
C ．θθθsin tan cos <<
D ．θθθtan sin cos <<
例12.用三角函数的定义证明：
)cot )(cos tan (sin )cos 1)(sin 1(αααααα++=++
巩固练习
1．已知cos 052
π
αα=-<<，则tan α=________. 2．如果αcos ＝
5
1
，且α是第四象限的角，那么αsin ＝ ． 3．已知点()2,P y -在角α的终边上，且sin 2
3α=-，则cos α＝ ．
4．已知cot 2α=，求sin ,cos tan ααα，
的值．
5．已知角α终边上一点P 与x 轴的距离和P 点与y 轴的距离之比为5:12，且0tan <α， 求αsin 和αcos 的值.
6．已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的六个三角函数值.
7．求值：sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750tan 495-+-+
8．若02απ≤≤，且有cos sin αα<，则α的取值范围是__________________.
9． 若40π
α<<，利用三角函数线证明：ααcos sin <，且1tan <α.
10．求证角θ为第三象限角的充分必要条件是 sin 0,tan 0θθ<>．
11．已知02sin <θ，且θθsin sin -=，判断点)cos ,(tan θθP 在第几象限.
12．如果θ在第二象限，那么sin(cos )cos(sin )θθ⋅的值是什么符号？。