高中数学求面积题型

例谈“面积问题”在中考数学中的应用
许世文
近年来，全国各地中考卷中频频出现“面积问题”的试题，成为中考数学卷中的一个亮点，“面积问题”题型较多，直接求解，计算繁杂，甚至无法求解，应采用一定的技巧，化难为易，巧算面积，下面，本人就以2006、2007年各地中考卷中的试题为例，谈谈“面积问题”的求解方法。

一、割补法
例1（2007年乐清市中考题）如图1，以BC 为直径，在半径为2，圆心角为的扇形内作半圆，交AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是
A. B. C. D.
分析：观察图形，可以适当进行“割”与“补”，从而组合成便于计算的几何图形，根据此图的条件，只要把弓形CD 与弓形BD 互换，即把弓形CD “割”下来“补”到弓形BD 上，则阴影部分的面积就等于扇形ABC 的面积减去△ADC 的面积，故选A 。

练习1（2007年乐山市中考题）如图2，半圆的直径AB=10，P 为AB 上一点，点C ，D 为半圆的三等分点，则阴影部分的面积等于___________。

二、变换法
有些不规则几何图形的面积，可以通过几何图形的变换——平移、旋转、翻折等，化不规则为规则，求解起来较为方便。

（一）平移法
例2（2006年东莞市中考题）下面是两位同学关于配有如图3的一道题目的争论：甲：“这道题不好算，给的条件也太少了！”乙：“为什么这么说？”甲：“你看，题目只告诉我们AB 的长度等于24，却要求出阴影部分的面积！事实上我连这两个半圆的直径各是多少都不知道呢。

”乙：“那，不过AB 可是小半圆的切线，而且它和大半圆的直径也是平行的呀！”甲：“那也不顶用，我看一定是出题人把什么条件给遗漏啦！”
请问，真是甲说的这么回事吗？如果不是，你能求出阴影部分的面积来吗？
︒
901-π2-π12-π221
-
π
分析：只要将小半圆向左平移至大、小半圆圆心重合的特殊位置时，已知条件就能充分利用，阴影部分的面积就能用整体思想解决。

解：甲说的不对，根据现有条件能求出阴影部分的面积，如图4，连结OC 、OB ，则OC ⊥AB ，CB=12，
所以。

（二）旋转法
例3（2007年恩施自治区中考题）如图5，已知正比例函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，A 点坐标为（2，1），分别以A 、B 为圆心的圆与x 轴相切，则图中两个阴影部分面积的和为__________。

分析：根据图中两圆关于点O 成中心对称的特征，以点O 为旋转中心将其中一圆旋转到另一圆上，两个不规则的阴影部分刚好构成一个圆，很快就得两个阴影部分面积的和为。

（三）翻折法
例4（2006年浙江省中考题）如图6，扇形AOB 的圆心角为直角，正方形OCDE 内接于扇形，点C 、E 、O 分别在OA 、OB 、弧AB 上，过点A 作AF ⊥ED 交ED 的延长线于点F ，垂足为F ，如果正方形的边长为1，那么阴影部分面积为_________。

小半圆
大半圆阴影S S S -=2OC OB 22⋅π-⋅π=
π
=⋅π=722BC
2
π
分析：求图形的面积要注意观察图形的结构，此题的特征是I 区域与II 区域关于直线OD 成轴对称，只要把I 区域沿直线OD 翻折到II 区域，问题就转化为求矩形ACDF 的面积。

解：因为OC=1，所以
OD=OA=，
所以。

练习2 （2007年甘肃省白银市中考题）如图7，△ABC 中，∠A=，BC=2cm ，分别以点B 、C 为圆心的两个等圆相外切，求图中两个阴影扇形的面积之和。

三、比例法
例5（
2006年广州市中考题）如图8，梯形ABCD 被对角线分为4
个小三角形，已知△
AOB 和△BOC 的面积，分别为和，那么△DOC 的面积是________。

解析：在三角形中，在高相等的情况下，两个三角形的面积比等于底的比，利用这个等比关系就可以便捷地求出△DOC 的面积。

解：，
，
求得。

练习3（2006年河北省中考题）探索：在如图9至图11中，△ABC 的面积为a 。

（1）如图9，延长△ABC 的边BC 到点D ，使CD=BC ，连结DA ，若△ACD 的面积为，则=________。

（用含a 的代数式表示）
2DC
AC S S ABCD ⋅==矩形阴影
()
112⨯-=12-=︒902cm 252cm 352
cm ()
2
BOC AOD cm 35S S ==△△BO DO S S ABO AOD =△△BOC
DOC
S S △△=
()
2
DOC cm 49S =△1S 1S
（2）如图10，延长△ABC 的边BC 到D ，延长边CA 到E ，使CD=BC ，AE=CA ，连结DE ，若△DEC 的面积为，则=________（用含a 的代数式表示），并写出理由。

（3）在图10的基础上延长AB 到点F ，使BF=AB ，连结FD 、FE ，得到△DEF （如图11）。

若阴影部分的面积为，则=________（用含a 的代数式表示）。

四、规律法
例6（2007年烟台市中考题）将n 个边长都为的正方形按如图12所示的方法摆放，点、、…、分别是正方形的中点，则n 个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为
A. B. C.
D.
分析：此题可先研究两个正方形重叠部分的面积，如图12，通过证明可知，△OCN △ODM ，故图12中的重叠部分的面积可转化为图13中△OCD 的面积，为正方形面积的四分之一，这是从一般到特殊的转化，然后再从特殊到一般，得到n 个这样的正方形重叠部分（阴
影部分）的面积和为，故选C 。

2S 2
S 3S 3
S cm 11A 2A n
A 2
cm 41
2
cm 4n
2
cm 41n -2n
cm
41⎪⎭⎫ ⎝⎛≅2
cm 41n -
练习4（2007年福州市中考题）如图14，∠AOB=，过OA 上到点O 的距离分别为1，3，5，7，9，11…的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为，，，…，观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积=________。

五、实验法
例7（2007年天门市中考题）小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC ，为了知道它的面积，小明在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，如图15，在
石子落在阴影内的次数
19
85
186
分析：不规则的封闭图形ABC 的面积难以用常规方法解决，但根据小明游戏实验的启发，此类问题可以巧妙地转化为统计中的概率问题，因为经过较多次数的实验后发现：实验中，石子落在⊙O 内（含⊙O 上）的概率约为31%，石子落在封闭图形ABC 的概率约为93%，从而推出封闭图形ABC 的面积约为⊙O 面积的3倍，约平方米。

六、练习题答案：
练习1： 练习2：
︒451S 2S 3S 10S ππ3π6252cm 4π
练习3：（1）a ；（2）2a 因为CD=BC ，AE=CA ，
所以， 所以。

（3）6a 。

练习4：76
a S S S ABC DAE DAC ===△△△a 2S 2=。