浙江省宁波诺丁汉大学附属中学2019-2020学年高二下学期期中考试(实验班)数学试题

宁波诺丁汉大学附属中学
2019-2020学年度第二学期期中实验班考试
[高二]年级 [数学]试题卷
答卷时间：[120分钟] 满分：[150分] 命题人：[孙环] 校对人：[苏锡福]
一、单选题（共10个小题，每小题4分，共40分） 1．复数(1)z i i =-在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．下列求导运算正确的是 ( ) A ．2(1)12x x '-=- B ． (cos30)sin 30'=-o o C ．2(cos )2sin x x x x '=-
D ． 1(ln )1x x x
'+=+
3. 教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有( ) A.10种
B.52种
C. 25种
D. 42种
4．已知函数()y f x =的图象在点()()
1,1f --处的切线方程是30x y +-=，则()()11f f -+'-的值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5．用数学归纳法证明不等式111131214
n n n n ++⋅⋅⋅+>+++的过程中，由n k =递推到1n k =+时，不等式左边（ ） A ．增加了一项()
1
21k +
B ．增加了两项
1
21
k +，
()121k + C ．增加了一项
()121k +，但又减少了另一项
1
1
k + D ．增加了两项1
21k +，()121k +，但又减少了另一项
11
k + 6．某种产品的加工需要经过5道工序，其中有2道工序既不能放在最前面，也不能放在最后面，则这种产品的加工排列顺序的方法数为（ ） A ．72
B ．36
C ．24
D ．12
7．已知函数32()f x ax bx cx d =+++，若函数()f x 的图象如图所示，则一定有（ ）
A ．0,0b c <>
B ． 0,0b c >>
C ．0,0b c <<
D ． 0,0b c ><
8．某学习小组中男女生共8人，现从男生中选2人，从女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数为( )
A ．男2人，女6人
B ．男3人，女5人
C ．男5人，女3人
D ．男6人，女2人 9．已知直线(0)x t t =>分别与函数()ln f x x =，()21g x x =+的图象交于,M N 两点，则当MN 长度达到最小时，t 的值为( ) A ．1
B. 2
C.
12
35
10．已知可导函数()()f x x R ∈满足()()f x f x '>，则当0a >时，()f a 和(0)a e f 的大小关系为（ ）
A ．()(0)a f a e f >
B ．()(0)a f a e f <
C ．()(0)a f a e f =
D ．()(0)a f a e f ≤
二、填空题（共7个小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分） 11．复数2(34)z i =+的虚部为 ，z 的共轭复数z = ． 12．函数1ln ()x
f x x
+=的增区间是_____________ ， 曲线()f x 在点(1,1)处的切线方程是_________.
13．用0, 1, 2, 3, 4, 5这六个数字, 可以组成_______个无重复数字的三位数, 也可以组成_______个能被5整除且无重复数字的五位数. 14．已知函数1
()sin ,[0,],2
f x x x x π=
-∈则()f x 的最小值为________，最大值为_______. 15．已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-处极值为0，则()_____.f x =
16．市内某公共汽车站有5个候车位（成一排），现有甲，乙，丙 3名同学随机坐在某个座位上候车，则2位同学相邻，但3位同学不能坐在一起的不同的坐法种数为________.(用数字作答)
17．已知不等式3ln 1ln x x m x n -++…（,m n R ∈，且3m ≠-）对任意实数0x >恒成立，则3
3
n m -+的最大值为____________.
三、解答题（共5个小题，共74分）
18．（14分）已知复数2(1)2(5)
3i i z i
++-=
+. （1）求||z ；
（2）若()z z a b i +=+，求实数a ，b 的值.
19．（15分）已知8件不同的产品中有3件次品，现对它们一一进行测试，直至找到所有次品． （1）若在第5次测试时找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？ （2）若至多测试5次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试方法？
20．（15分）已知数列{}n a 满足11
2n n
a a +=-，10a =. （1）计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；
（2）根据以上计算结果猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
21．（15分）定义在R 上的函数3
1()33
f x x ax =
++. （1）若()f x 在0x =处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()f x 的解析式； （2）设()4ln ()g x b x f x '=-，讨论()g x 的单调性.
22．（15分）已知函数()ln(1)f x x ax =+-在1
2
x =-处的切线的斜率为1． （1）求()f x 的最大值； （2）证明：111
1ln(1)()23n n N n
*+
+++>+∈L ；
（3）设()()x
g x b e x =-，若()()f x g x ≤恒成立，求实数b 的取值范围．
2019-2020学年度第二学期期中考试
[高二][数学]参考答案
一、选择题
1.C ；
2.D ；
3.D ；
4.C ；
5.D ；
6.B ；
7.A ；
8.B ；
9.C ； 10.A . 二、填空题
11. 24,724i --； 12.(0,1],1y =； 13.100,216；
14.
,6
22
π
π
-
； 15. 32
()694f x x x x =+++； 16.36； 17. ln 2-.
三、解答题
18. 解：（1）∵21021010(3)
33310
i i i z i i i +--=
===-++， ...................4分
∴z = ...................7分 （2）∵2
(3)(3)(3)(3)83(6)i i a i i a a a i b i --+=-+-=+-+=+， ...................10分
∴837
{{(6)113
a b a a b +==-⇒-+==-． ...................14分 19.解：（1）．若在第五次检测出最后一件次品，则前四次中有两件次品两件正品，第五次为次品.
则不同的检测方法共有232
435720C A A =种. ...................6分 （2）检测3次可测出3件次品，不同的测试方法有3
36A =种， ...................8分
检测4次可测出3件次品，不同的测试方法有1
3253390C A A =种； ...................11分
检测5次测出3件次品，分为两类：一类是恰好第5次测到次品，一类是前5次测到都是正品，不
同的测试方法共有5235
3245840C A A A +=种．所以共有936种测试方法. (15)
分
20.解：（1）由11
2n n
a a +=
-和10a =，得 211
202a =
=-，3121322a =
=-，4132423a ==-，5143524
a ==-. ...................6分
（2）由以上结果猜测：1
n n a n -= ...................8分
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当1n =时 ，左边10a ==，右边11
01-=
=，等式成立.
（Ⅱ）假设当(1)n k k =≥时,命题成立，即1
k k a k -=成立.
那么，当1n k =+时，111(1)1
1211
2k k k k a k a k k k
++-=
===--++- 这就是说，当1n k =+时等式成立.
由（Ⅰ）和（Ⅱ），可知猜测1
n n a n
-=对于任意正整数n 都成立. ...................15分
21. 解：（1）由题意得(0)1f '=-，解得1a =-，3
1()33
f x x x ∴=
-+. ...................6分 （2）2
()4ln 1g x b x x =-+，242(2)()2b x b g x x x x
--'=-= ...................8分 ①若0b ≤，()0g x '≤恒成立，()g x 在(0,)+∞上单调递减. ...................11分 ② 若0b >，即由()0g x '>
解得0x <<
∴ ()g x
在上单调递增；()g x
在)+∞上单调递减；
∴ 0b ≤时，()g x 在(0,)+∞上单调递减；0b >时，()g x
在
上单调递增，在)
+∞上单调递
减. ...................15分 22. 解：（1）函数()f x 的定义域为(1,)-+∞．求导数，得1
()1f x a x
'=-+． 由已知，∵函数()f x 在1
2
x =-
处的切线的斜率为1 ∴1()12
f '-=，∴1a =． ...................2分 此时()ln(1),()1x f x x x f x x
'=+-=-
+， 当10x -<<时，()0f x '>；当0x >时，()0f x '<． ∴当0x =时，()f x 取得极大值，该极大值即为最大值，
∴max ()(0)0f x f ==． ...................4分 （2）证明：由（Ⅰ），得ln(1)x x +≤，当且仅当0x =时，等号成立．
令1x k =
，则111
ln(1)ln ln(1)ln k k k k k k +>+==+-. ..................6分 11
1++(ln 2ln1)(ln 3ln 2)[ln(1)ln ]ln(1)2n n n n
∴+>-+-+++-=+L L ． ...................9分
（3）解：(0)0,(0)f g b ==Q ，若()()f x g x ≤恒成立，则0b ≥． ...................11分 由（1），知max ()(0)0f x f ==．
①当0b =时，()0g x =，此时()()f x g x ≤恒成立； ...................12分 ②当0b >时，()(1)x
g x b e '=-，
当(1,0)x ∈-时，()0,()g x g x '<单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '>单调递增． ∴()g x 在0x =处取得极小值，即为最小值，
∴min ()(0)0()g x g b f x ==>≥，即()()f x g x ≤恒成立．
综合（1）（2）可知，实数b 的取值范围为[0，+∞）． ...................15分。