数理统计教程第二章课后习题答案

数理统计第二章习题解答
1.设n ξξ,,1 是来自二点分布的一个子样,试求成功概率p 的矩法估计量.
解: p E =ξ ξ=∴p
ˆ 2. 已知母体ξ均匀分布于()βα,之间,试求βα,的矩法估计量.
解: 2
β
αξ+=
E ，()
12
2
αβξ-=
D 。

令()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+22
12
2n S αβξβ
α得 n S 3ˆ-=ξα，.3ˆn
S +=ξβ 3. 对容量为n 的子样,求密度函数 ()()⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其它,00,2
;2a
x x a a a x f 中参数a 的矩法估计量.
解: ()322
a
dx x a a x E a
=-=
⎰
ξ 令
ξ=3a 得ξ3ˆ=a . 4. 在密度函数 ()()10,1<<+=x x a x f a 中参数a 的极大似然估计量是什么? 矩法估计量是什么? 解: (1) ()()
()
∏∏==
+=+=
n
i i n
i n
n
i x x L 1
11αα
ααα ()i i
x
∀<<1
∴()().ln 1ln ln 1⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅++=∏=n i i x n L ααα 令()0ln 1ln 1=++=∂∂∑=i n
i x n
L ααα，得 ∑=--=n
i i
L x
n
1
ln 1ˆα。

由于 ()
01ln 2
22<+-=∂∂ααn
L 故∑=--=n
i i
L x
n
1
ln 1ˆα是α极大似然估计.
(2) 由211+-
=αξE 令ξα=+-211 得 .11
2ˆξ
ξα--=
5.用极大似然法估计几何分布 ()()
,2,1,11
=-==-k p p k P k ξ中的未知参数p .
解:()()n x n
i p p p L -∑-=1，令 ()01ln =---=∂∂∑p
n x p n p p L i 得x p
1ˆ=而01
ln 2
ˆ2
<--=∂∂=x x n p L
p
p ξ1ˆ=∴p
是P 的极大似然估计. 6. 设随机变量ξ的密度函数为()0,,21>∞<<-∞=-σσ
σ
x e x f x
，n ξξ,,1 是ξ的容量
为n 的子样,试求σ的极大似然值. 解: ()()∑=--i
x n
e
L σ
σσ1
2，
()01
ln 2
=+-=∂∂∑
i x n L σ
σσσ。

得i x n
∑=1
ˆσ
， 又
0ln 2
2<-=∂∂σσn L 故.1
ˆ∑=i L
n ξσ 7 设n ξξ,,1 是取自均匀分布()1,+θθR 的母体的一个子样,其中.∞<<∞-θ试证:θ的极大似然估计量不止一个,例如()()()()()()()2
121
,1,13211-+=-==n n ξξθξξθξξθ都是θ的极大似然估计量.
解: 证:()1,+θθR 的密度函数为()⎩⎨⎧=0
1
x f
其它
1
+≤≤θθx ，
故()⎩⎨⎧=0
1θL
()()其它
1
1+≤≤≤θθn x x
即凡满足()()1ˆˆ1+≤≤≤θθn x x 的θˆ均为θ的极大似然估计. 从而(1)()()
11ˆξξθ=满足此条件，故1ˆθ是θ的极大似然估计. (2)由于()()11≤-ξξn 故()()()()()1ˆ12
12+≤≤≤-=ξθξξξξθn n ，所以()ξθ2ˆ也是θ的极大似然估计.
(3)由于()()11≤-ξξn ， 故()()()1121ξξξ≤-+n ，()()()n n ξξξ211≥++，
从而()()()()()()()()1ˆ2
1212121ˆ31113
+=++≤≤≤-+=θξξξξξξθn n n ，故3
ˆθ也是θ的LM.
8.设n ξξ,,1 是取自对数正态分布母体ξ的一个子样,即(),.,~12
σμξN
n
∞<<∞<<∞-σμ0, ， 试求:ξ的期望值ξE 和方差D ξ的极大似然估计.
解:ξ的密度函数为()()2
2
221σμσπ--
=
x n e
x
x f ，所以(
)()2
2
21
2
21,σμσπσ
μ--
=∏
=i mx i
n
i e
x L ，
0>i x
两边对数并分别对μ和2
σ求寻,并令其为0,得似然方程组
，解得()22ln 1ˆln 1ˆμσμ-==∑∑i i x n x n 经验知μ和2
σ的LM 为: i x n ∑=ln 1
ˆμ，()22ln 1ˆμσ
-=∑i x n
又()2
2
2
2
12ln 0
121
σμσ
μσ
πξ+--
∞
=⋅=⎰e
dx e x
x E x ，()()
1
2
22122
2-=-=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+σσμξξξe
e
E E D
从而 ,21ˆexp 2⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+=∧∧
σμ
ξE .
112
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∧
∧∧
σξξe E D
9. 一个罐子里装有黑球和白球,有放回地抽取一个容量为n 的子样;其中有k 个白球,求罐子
里黑球数和白球数之比R 的极大似然估计量.
解:设罐子里有白球x 个,则有黑球Rx 个,从而共有()x R 1+个球,从罐中有放回地抽一个球为
白球的概率为:
()R
x R x +=+11
1，黑球的概率为
.1R R +从而抽球为二点分布()()
.1111n
k
n k
n k
R R R R R R L +=
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪
⎭
⎫
⎝⎛+=--似然方程为01=+--R
n
R k n 。

从而解得1ˆ-=k
n
R
. 可验证这是R 的极大似然估计. 10.为检验某种自来水消毒设备的效果,现从消毒后的水中随机抽取50升,化验每升水中大肠杆菌的个数(一升水中大肠杆菌的个数服从普哇松分布),化验结果如下: 大肠杆菌个数/升 0 1 2 3 4 5 6
升 数
17 20 10 2 1 0 0
试问平均每升水中大肠杆菌个数为多少时,才能使出现上述情况时的概率为最大. 解:由，设一升水中大肠杆菌个数()k ~=ξξP =
λλ-e k k
!
， ,2,1,0=k 又λξ=E .故问题为
()()⎪⎩⎪⎨⎧
=-+-=-∑∑0ln 2120ln 12
422μσσ
μσi i x n x
求λ的极大似然估计.由()λλλn i x e x L i
-∏∑
=
!
，可得ξλ=L
ˆ.由观测值代入求设1=λ.故每升水中大肠杆菌的个数平均为1时,出现上述情况的概率最大.
11．设()11,ηξ,()n n ηξ,, 是取自二维正态母体()
ρσσ,,,0,02
22
1N 的一个子样,求2
2
2
1,σσ和ρ的极大似然估计. 解:由
L ()
()
()[]
{()
}⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡+---
⋅-=-
-222
212122
2
2
2
2
21
2
22
12121
exp 12,,σησσρ
σρρσ
σ
πρσσi i i i n
n
y x x
可得似然方程为()
()()()⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎪⎨⎧=∑+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+---=∑--∑-=--∑-∑∑3021211111112122221222212
2222212
2122 σσσσσρσρρρσσρρσσσσρρσρi i i i i i i
i i i i
i i y x y y x x n n y x y n y x x 将(1),(2)代入(3)得:[].02
12
1ρσσησσρρn x y x n n n i
i i
i =∑
⇒=∑
++- (4)
由(4)代入(1),(2)得似然估计:∑=∧
2
21
1i n ξσ ∑=∧
2221i n ησ 2
11ˆσσηξρ
i i n ∑=. 12. 考虑某种离散分布 ()()
,2,1,0,===x f a x P x
x θθξ，其中对某些x 可能有
()θf a x ,0=有连续导数,设n ξξ,,1 是取自具有这种分布的母体ξ的一个子样.
()i 证明θ的极大似然估计是方程 ()()
ξθθθξ
E f f ='=
的一个根,这里的极大似然方程与矩法方程相同.
()ii 试求为了估计下列分布而需要的极大似然方程的显式,这些分布是普哇松分布、二项分
布.
解: (1)证()()
()()[]
n x x
x
x f a f a L i
i
i
i
θθθθθ∑∏=∏= ()()θθθf n x a L i x i
ln ln ln -∑+∑=∴ 对θ求导得()()01
='-∑θθθf f n x i ()().θθθξf f '=∴又由()11
=∑=θθf a x
x n
i 知()x x n i a f θθ∑==1
从而()()()()()()
.111
θθθθθθθθθθθξf f f a x a f f x a E x x x x n i x x n
i '⋅=⋅'∑==⋅=
-==∑∑
所以似然方程可写为ξξE =这与矩法方程一致. (2) 对()()
λλλξλ
f a e
x x P x
x x
⋅
==
=-!
其中λθ= !1x a x = ()λλe f = 从而()()λλλf e f =='， 故似然方程的显式为λξ=.
对二项分布:()()()θθξf a p p x n x P x x x
n x =-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-1
p
p
-=
1θ ()()
.111n
n
x p f x n a --⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-=-=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛=θθθ 又()().1111θθθθθθ+=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+='nf n f 故似然方程的显式为()().1np n f f =+-'=
θ
θθθθξ 13. 设ξ1n ξ 是取自双参数指数分布的一个子样,密度函数
()⎪⎩
⎪⎨⎧>=--其它,0,1,12212
1
θθθθθ
θx e x ；f x ，其中.0,2
1∞<<∞<<∞-θθ试求参数1θ和2θ的
极大似然估计和矩法估计. 解: (1) LM 估计()()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧-∑-=
121211exp 1
,θθθθθn x L i n
，().11θ>x
()()12
1211
ln ,ln θθθθθn x n L i -∑-
-=∴
()11θ>x
0ln 2
1>=∂∂θθn
L 故L ln 是1θ的递增函数,1θ取到最大可能值时可使lnL 达到最大,故1θ的极大似然估计为()
11ˆξθ= 由0ln 2=∂∂θL 可解得2θ的LM 这()
12ˆξξθ-=. (2)矩法估计由于212
2
2
1
θθθξθθθ
+==
--∞
⎰dx e
x
E x ，()2222θξξξ=-=E E D 故由
()⎪⎩
⎪⎨⎧=+-∑==ξθθξξθ2122
221i n n S 解得n S =2ˆθ .ˆ1n S -=ξθ
14. 设n ξξ,,1 为取自参数为λ的普哇松分布的一个子样.试证子样平均ξ和
∑=*--=n i i
n
n S 1
2
2
)(11ξξ都是λ的无偏估计.并且对任一值10,≤≤αα()2*1n S αξα-+也是λ的无偏估计.
证: 对普哇松分布有λξξ==D E , 从而
.λξ=E ().11212*λξξξ==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=∑=D E n ES
i n i n
故ξ与2
n S 都是λ的无偏估计. 又()[
]()λλααλαξα=-+=-+112
*
n S E
故()2
*
1n S αξα-+也是λ的无偏估计.
15.设,,,1n ξξ 为取自正态母体()2
,σμN
的一个子样,试适当选择c ,使
()2
11
12
∑-=+-=n i i i c S ξξ为2σ的无偏估计.
解: 由μξ=i E ，2σξ=i D 且n ξξ,,1 相互独立可知,2
μξξξξ=⋅=j i j i E E E j i ≠
从而()()()()[]
2
12
112
21
1
2
12122ξξξξξξ
E n E n c E E E E c
ES i i i i n i ---=-+=++=∑
()()12122-=-=n c D n c i σξ.
取()
121-=
n c 时, n S 为2
σ的无偏估计.
16设母体ξ的数学期望为,μ方差.2
σε=D 又设
()()()1
1
1
1
,,n ξξ 和()()()2
2
1
2
,,n ξξ 为取自
此母体的两个子样.试证:()()
(
)()
()
()
⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+--+=∑∑==2
11
2
222
1
1121221n i i
n i i n
n n S ξ
ξ
ξ
ξ是2
σ的无偏估计量. 其中()
()
.2,1,1
1
==∑=j n j
i j i
j
j n
ξ
ξ
证:()()(
)()
()()
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-+--+=∑∑==2221
2
111
212
2121ξξ
ξξi
n i i n i E E n n ES
()()[]
2222121112
1
σσσ=-+--+=
n n n n , 故2S 是2σ的无偏估计.
17. 设随机变量ξ服从二项分布()()
,1,0,1=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛==-x x n x P x
n x θθξ,n 试求2θ无偏估计
量.
解: 由于θξn E = ()()()()22
2
211θθθθθξξξ-+=+-=+=n n n n n E D E
故()
().122θξξ-=-n n E 从而当抽得容量为N 的一个子样后,
2θ的无偏估计为:(
)
()
.1ˆ2
2--∑=n Nn i i ξξθ
18. 设n ξξ,,1 是取自参数为λ的普哇松分布的一个子样,试求2
λ的无偏估计. 解: 由λξ=E λξ=D 故λξ=E ()22
2
λλ
ξξξ
+=
+=n
E D E
从而2
21λξ
ξ=⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-n E , 所以2λ的无偏估计为.122ξξλn -=∧
19. 设n ξξ,,1 为取自正态母体()2
,σμN
的一个子样,证明
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫
⎝⎛Γ=
21220n n n σ
S 0 和 112212S n n n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭
⎫
⎝⎛-Γ=
σ
都是σ的无偏估计,
其中 ()()2
1
2
12
12
1,1∑∑==-=-=n i i n i i n S n S ξξμξ. 证: (1) 由于
().~2
2
2
n nS χσ
令2
2
σ
nS Y =
, 则Y 的的密度为
()1221
222---⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫
⎝⎛Γ=n
y n y e n y f 0>y
而此时.21222122ˆ0
0Y n n n n S n n n σσ
⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛Γ=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫
⎝⎛Γ= dy y
e
n y n n n n E n y n 12
2
2
02212122ˆ--
∞
⎪
⎭
⎫
⎝⎛Γ⋅
⋅⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+Γ⎪⎭⎫
⎝⎛Γ⋅=∴⎰
σσ
2
y x =
令⎪⎭
⎫ ⎝⎛+Γ21n σ
σ=-+-∞
⎰
dy y
e 12
1
n y
.
(2) 由于
()1~22
2
1
-n nS χσ
令2
2
1
σ
nS =
Z 则Z ⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛Γ⎪⎭⎫
⎝⎛-Γ⋅=n
n n n σσ
2212ˆ2. 利用(1)类似的方法可证σσ=1ˆE 1ˆσ
∴也是σ的无偏估计. 20. 设n ξξ,,1 是取自均匀分布母体()βα,R 的一个子样,()n εεα,,min 1
=
()n εεβ,,max 1
=分别取做βα,的估计量,问βα
,是否分别为βα,的无偏估计量?
如何修正,才能获得βα,的无偏估计.
解: i ξ的密度函数为()⎪⎩⎪
⎨⎧-=0
1αβi x f 其它βα<<i x
其分布函数为()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1
0αβαi i x x F ββαα
>≤<≤i i i x x x 从而αˆ的密度为: ()()()()
n
n n x n x n n x f αββαβαβαα--=-⋅⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=--1
1
11!1! βα<<x ()()
1
ˆ1
++=
--=-⎰n n dx x x n
E n n
α
ββαβα
β
α
βˆ的密度函数为()()()
n
n n x n x n x f αβααβαβαβ--=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=--1
1
1 βα<<x .
()()
.1
ˆ1
++=
--=∴-⎰n n dx x x n
E n n α
βαεββ
β
α
故βα
ˆ,ˆ均不是βα,的无偏估计.为得到无偏估计可作如下修正:
从1
ˆ++=n n E α
βα
可得
(),ˆ1αα
βn E n -+=
将它代入βˆE 中得:()ααβ1ˆˆ--=n nE E 故αβα=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--1ˆˆn n E .
又()
βαβα+=+ˆˆE 从而 βαββαβα=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+1ˆˆ1ˆˆˆˆn n E n n E ,
所以α与β的无偏估计分别为:,1ˆˆ~--=n n βαα 1
ˆˆ~--=n n αββ. 21. 设()n ξξ,,1 是取自均匀母体()1,+a a R 的一个子样,证明估计量
2
1111-=∑=n i i n a ξ
{}1max 12+-
=≤≤n n a i n i ξ
皆为参数a 的无偏估计,并且()()()12a D O a D =.这里()()1a D O 表示与()1a D
同阶. 证: 由母体ξ的密度函数为()⎩⎨⎧=0
1x f
其它
1
+<<ααx
其分布函数为()⎪⎩
⎪
⎨⎧-=10
αx x F 11+>+≤<<ααααx x x
则()n ξ的密度函数为()()1
--=n n x n x f α 1+<<ααx
由于21+=αξE 知ααξ=-+=2
1
211E 由()n ξ的密度函数知: ()()
ααξαα
++=
-=
-+⎰1
1
1
n n
xdx x n E n n 故,ˆ2αα
=E 所以1ˆα与2ˆα均为α的无偏估计.
又由121=
ξD 知n D 121ˆ1=α 而 ()()()
212
++=n n n D n ξ
所以()()()12ˆˆαα
D O D =. 22. 设n ξξ,,1 为取自正态母体()2
,σμN
的一个子样,在下列三个统计量
()2
12
1
11∑=--=n i i n S ξξ ()2
1
2
21∑=-=n i i n S ξξ ()2
12311∑=-+=n i i n S ξξ 中,哪一个是2σ的无偏估计,哪一个对2
σ的均方误差(
)2
22
σ
-i S E 最小,,.3,2,1=i
解: 记()2
1
2
ξξ
-=
∑=i
n
i S , 则
()1~22
2
-n S χσ
从而()21σ-=n ES n ()2212σ-=n DS , 那么由此可知
22
1σ=ES 22
21σn n ES -=
2
231
1σ+-=n n ES 所以只有21S 是2
σ的无偏估计. ()
22122211
2σσ
-==-n DS S E
(
)
4
222242
22242222
22121σσ
σσσσσn n S D n n S E n n S E S E -=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-
而
(
)
()()().1
241211422
24
2
222
4
2
22
2σσσσσσ
+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡---+=-n S D n n S E n S E 当>n 1时,
12122122
+>->>-n n
n n n ， 故2
2S 的均方误差最小. 23. 设n ξξξ,,,21 是取自均匀分布在⎪⎭
⎫
⎝⎛
+-
21,21θθ上的母体的一个子样,求证: ∑==n
i i n 1
11ξθ
和()
i n i i n i ξξθ≤≤≤≤+=112min max 21 都是θ的无偏估计,并指出哪一个方差较小.
证: 设ξ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-21,21~θθR ,则E ξ=θ,121
=ξD 且()n ξ的密度函数为
()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-0211
n x n x f θξ
其它2121+
<<-θθx ()⎪⎩
⎪⎨⎧⎪⎭⎫
⎝⎛+-=-0211n y n y f θη
其它2121+
<<-θθy 它们的联合密度为
()()()⎩⎨⎧--=-01,2n x y n n y x f 其它
2121+<<-θθy
由此可知()1
1
21211
1
1
1++
-
=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-+=
-+-⎰
n xdx x n E n s s θθξ, ()1
1
21211
1
1
+-
+
=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
+-=-+-⎰
n ydy y n E n s s n θθξ，
所以E θˆ1=θ, E θˆ2=θ 即θˆ1，θˆ2均为θ无偏估计， 它们的方差分别为 D θˆ1=n
121 D θˆ2=
()()()()()2121121111
2
2
++=--⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎰⎰
+-+-n n dyds x y n n y x s s s s
n θ 当n 2≤时，D θˆ1=D θˆ2，当n>2时，()()
2121
121++>n n n , 即D θˆ1>D θˆ2, 所以θˆ2的方差较小。

24．设()()n n ξξθθξξθθ,,,,122111
==和是参数θ的两个相互独立的无偏估计,且方差
()
()
.221θθ
D D =试求常数1k 和2k ,使得2211θθ
k k +是θ的无偏估计,且在一切这样的线性估
计类中方差最小.
解: 设22ˆσθ=D ,则212ˆσθ=D , 为使 ()
θθθ=+2211ˆˆk k E
即 θθθ=+2211k k , 则只需121=+k k
要使()(
)2
2
2
2
122
22
12
122
212
1221122ˆˆˆˆσ
σσθθθθk k k k D k D k k k D +=⋅+⋅=+=+
达到最小，则需选取2
22
12k k +在121=+k k 条件下达到最小.用121k k -=代入
2
22
12k k +，并令()()2
12
1112k k k f -+=则由
()01
1=dk k df 得31
1=k .， .322=k
所以当3
11=
k ,3
2
2=
k 时可使2211ϑϑk k +是这类线性估计量中方差最小的无偏估计. 25． 设21,ξξ是取自正态母体()1,μN 的一个容量为2的子样,试证明下列三个估计量都是μ的无偏估计量2113132ξξμ+=
； 2124341ξξμ+= ； 2132
121ξξμ+=
并指出其中哪一个方差最小. 解: μμ=i E ， 显然。

而2
1
,85,95321===μμμD D D
故321,,μμμ均为μ的无偏估计,且3ˆμ
的方差最小. 26. 设随机变量ξ均匀分布在()θ,0上,321,,ξξξ为取自此母体的一个子样, 试证：
i i i i ξθξθ3123
11min 4,max 34
≤≤≤≤==
都是θ的无偏估计,并指出哪一个方差较小.
解:
()θξ,0~R 可知()()31,ξξ的密度函数为
()()2
32
1313x x x f -=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=θθθθθ <<x 0θ，
().31
3232
2x x x f θ
θθ=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛= θ<<x 0，
从而 ()().4
3
2
3
1θ
θθξθ
=
-=
⎰
dx x x E ()θθξθ
4
3
3
30
2
3==
⎰
dx x E
故21ˆˆθθθE E ==， 22
2153ˆ.15ˆθθθθ==D D 即. 2
1ˆˆθθD D < 1ˆθ∴的方差最小. 27. 设n ξξ,,1 是取自正态母体()2
,σμN
的一个子样,试证：
()2
1
2
11∑=*--=n
i i n
n S ξξ 是2σ的一致估计. 解: 证 由于
()().1~122
2
*--n S n n
χσ， 故 22
*
σ=n
ES ， ()
()1212142
4
2*-=-⋅-=n n n DS
n
σσ. (因为()n 2
χ的期望为n ,方差为2n ) 据契比可夫不等式有:(
)[]()0122
4
2
2
*
2
2
*−−→−-=≤
≥-∞→n n
n n DS S P ε
σεεσ 故2
*n S 是2
σ的一致估计. 28. 设n
ξξ ,1是取
()θ,0上的母体的一个子样,试证：
()n ξξθ,,max 1
=是θ的一致估计.
证: θˆ的密度为()⎪⎩⎪⎨⎧=-01
n n x n x f θ 其它θ<<x 0 从而.1ˆθθ
+=n n E 222ˆθθ
+=n n E ()()
2
212ˆ++=n n n D θθ, 则
()
2
1ˆ1ˆˆ11ˆˆ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥-≤⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛≥+-+-=≥-n D n E P n n n P P θεθθεθθεθθθεθθ =
()().011242
22
−−→−⎪
⎭
⎫
⎝
⎛+-
++∞
→n n n n n θεθ, 故θˆ是θ的一致估计.. 29. 设n ξξ,,1 是取自正态母体()2
,σμN
的一个子样,其中μ为已知,证明
(i) ()2
1
2
1∑=-=n
i i n
n S μξ是2σ的有效估计; (ii) ∑=-=n
i i n 1
21μξπσ
是σ的无偏估计,并求其有效率.
证明：
()i 由()n nS n
2
2
2
~χσ知, .2
2σ=n ES n
DS n
42
2σ=, 又()
2
,σμN 的密度函
数为()()2
2
221
σ
μσ
π--
=
x e
x f , 故()
()2
2
2
22ln 21ln σμπσ--
-=x f 对2
σ求导得：
()[]
2
24
221ln σμσ
σ--=∂∂x f 从而()()[]
4
4
22442
221241ln σσμξσμξσσ=+---=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂E f E ()()
42
2
22
21
ln σσσ
=∂∂-=I L E
或， 故R C -下界为n
n 4
1
4221σσ=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
⋅- 。

2
n S ∴ 是2
σ的有效估计.
()ii . 由于()σπ
π
σμσ
πμ
ξσμ2
2221
2
22
2
2
=
=
-=
--
∞
--
∞
+∞
-⎰
⎰dy e
y dx e
x E y x i i
故σσ
=ˆE ， 即σˆ是σ的无偏估计. 又 ()[]
2222
121122222221ˆσπσπσπμξμξπμξπσn n E E n D n D i n i -=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=---=-⋅=∑=而()[]
22
2222
21ln σσμξσσ=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂E f E
故C —R 下界为n
22σ， σˆ的有效率为876.022222
=-σπσn
n 。

30. 设n ξξ,,1 是取自具有下列指数分布的一个子样. ()⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其它
,00
,1x e x f x
θ
θ
证明ξ∑==n
i i n 1
1ξ是θ的无偏、一致、有效估计。

证: 由于()θθθ
ξθ=Γ==
-
∞
⎰
20
dx e x
E x
i ξ∴是θ的无偏估计.
又()222
2
2
23θθθ
ξ=Γ==
-∞
⎰
dx e x E x i ， 故2θξ=i D
从而.2
n D θξ=， 而()22
42
11ln θθξθθ=-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂E f E 故R C -下界为
,2
n
θ 因此ξ是θ的有效估计.
另外,由契比可夫不等式()
022
2
−−→−=≤≥-∞
→n n D P ε
θεξ
εθξ 所以ξ还是θ的一致估计.
31. 设母体ξ服从珈玛分布,其密度函数为 ()()⎪⎩
⎪
⎨⎧>Γ=--其它,00,;1
x x e x f x αθααθθ
其中a 为已知常数,设n ξξ,,1 为取自这一母体的一个子样,ξ为子样均值. 设()a
g ξ
θ
θ试证
.1
=
为()θg 的无偏、有效估计.
证 : 由于()θα
αθξαθα=Γ=
-∞
⎰
dx x e E x 0
， 故θαξ1=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛E 即αξ为()θg 的无偏估计. 又()2
2
10
θαθααθξθ=⎪⎭⎫
⎝⎛-Γ=
+-∞
⎰
dx x e D n x n 21αθ
αξn D =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴
再根据密度函数为求得： ().ln 22
2θαξθαθθ=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=I E f E
故()θg 的R C -下界为()()().1
2
2αθθθn n g =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡I ' 即D （
αξ）达到R C -下界, 所以α
ξ
是()θg 的有效估计. 32. 设n ξξ,,1 是独立同分布随机变量, 都服从
()()10,,2,1,0,1;<<=-=θθθθ x x f x
， 则∑==n
i i n T 1
ξ是θ的充分统计量.
证: 由于n ξξ,,1 的联合密度为()()i
x n n x x f ∑-=θθ1,,1 ,2,1,0=i x
取()
,121i
x n k ϑϑ-= 12=k , 则由因子分解定理知, n T 是ϑ的充分统计量.
33. 设n ξξ,,1 是独立同分布随机变量,都服从具参数为λ的普哇松分布,则∑==n
i i
n T 1
ξ
是关
于λ的充分统计量.
证: 由于n ξξ,,1 的联合密度是()λλn i x
n e x x x f i
-∑∏=!
1 2,1,0=i x
取.21λλ
n x e k i
-=, ()1
2!-=i x k π, 则由因子分解定理知 : n T 是充分统计量.。