高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布练习(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

2.4 正态分布
课时过关·能力提升
基础巩固
1下面给出了关于正态曲线的叙述:①曲线在x 轴上方且与x 轴不相交;②当x>μ时,随着x 的增加曲线逐渐下降;当x<μ时,随着x 的增加曲线逐渐上升;③当μ一定时,σ越小,总体分布越分散;σ越大,总体分布越集中;④曲线关于直线x=μ对称,且当x=μ时,位于最高点.其中正确的有( ) A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
μ一定时,σ越小,曲线越“瘦高”,即总体分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散.只有③错误,①②④正确.
2设随机变量X~N (1,22
),则D (1
2D )等于( ) A.4
B.2
C .1
2D .1
X~N (1,22
),∴D (X )=4.
∴D (12D )=1
4
D (D )=1.
3设两个正态分布N (μ1,D 12)(D 1>0)和D (D 2,D 22
)(D 2>0)的密度曲线如图所示,则有( )
A.μ1<μ2,σ1<σ2
B.μ1<μ2,σ1>σ2
C.μ1>μ2,σ1<σ2
D.μ1>μ2,σ1>σ2
是均值,σ2
是方差,μ是密度曲线的对称轴的位置,图象越“瘦高”,数据越集中,σ2
越小.
4已知随机变量X 服从正态分布N (3,1),且P (2≤X ≤4)=0.682 7,则P (X>4)=( )
A.0.158 55
B.0.158 85
C.0.158 65
D.0.158 75
随机变量X~N(3,1), ∴正态曲线关于直线x=3对称,
∴P(X>4)=1
2[1−D(2≤X≤4)]=1
2
×(1−0.6827)=0.15865,故选C.
5已知某批材料的个体强度X服从正态分布N(200,182).现从中任取一件,则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为()
A.0.997 3
B.0.682 7
C.0.841 3
D.0.815 9
μ=200,σ=18,μ-σ=182,μ+σ=218,由P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827知,应选B.
6如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是()
A.σ1>1>σ2>σ3>0
B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2>1>σ3>0
D.0<σ1<σ2=1<σ3
μ=0,σ=1时,正态曲线f(x)=
√2π-D
2
2.在x=0时,√2π故D2=1.由正态曲线的性
质,当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦高”;σ越大,曲线越“矮胖”,于是有0<σ1<σ2=1<σ3.
7已知ξ~N(0,82),且P(-2≤ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)等于()
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
P(ξ>2)+P(0≤ξ≤2)+P(-2≤ξ≤0)+P(ξ<-2)=1,P(ξ>2)=P(ξ<-2),P(0≤ξ≤2)=P(-
2≤ξ≤0),所以P(ξ>2)=1
2
[1−2D(−2≤D≤0)]=0.1.
8设随机变量ξ~N(μ,σ2),且P(ξ<1)=1
2
,D(D>2)=D,则D(0<D<1)=.
P(ξ<1)=1
2
,则D=1.
故P(0<ξ<1)=P(1<ξ<2)
=P(ξ<2)-P(ξ<1)=1-p−1
2=1
2
−D.
−D
9设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),则c的值为.
,c+1与c-1关于ξ=2对称,则(D+1)+(D-1)
2
=2,故c=2.
10已知正态分布总体落在区间(0.2,+∞)的概率为0.5,那么相应的正态曲线φμ,σ(x)在x=
时达到最高点.
P(X>0.2)=P(X≤0.2)=0.5,则正态曲线关于x=0.2对称.由正态曲线性质得正态曲线在x=μ=0.2时达到最高点.
.2
能力提升
1某厂生产的零件直径ξ~N(10,0.22),今从该厂上午和下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.9 cm和9.3 cm,则可认为()
A.上午生产情况未见异常现象,下午生产情况出现了异常现象
B.上午生产情况出现了异常,而下午生产情况正常
C.上午和下午生产情况均是正常
D.上午和下午生产情况均出现了异常现象
σ原则:(10-3×0.2,10+3×0.2),即(9.4,10.6),9.9∈(9.4,10.6),9.3∉(9.4,10.6),所以,上午生产情况未见异常,下午生产情况出现了异常.
2设X1~N(0,1),X2~N(1,1),X3~N(0,9).下列答案正确的是()
A.P(|X1|<1)=P(|X2|<1)=P(|X3|<1)
B.P(|X1|<1)=P(|X2-1|<1)=P(|X3|<1)
C.P(|X1|<1)=P(|X2|<1)=P(|X3|<3)
D.P(|X1|<1)=P(|X2-1|<1)=P(|X3|<3)
X1~N(0,1)知,μ1=0,σ1=1,
则P(|X1|<1)=P(|X1-μ1|<σ1)=0.6827.
由X2~N(1,1)知,μ2=1,σ2=1,
则P(|X2-1|<1)=P(|X2-μ2|<σ2)=0.6827.
由X3~N(0,9)知,μ3=0,σ3=3,
则P(|X3|<3)=P(|X3-μ3|<σ3)=0.6827.
故P(|X1|<1)=P(|X2-1|<1)=P(|X3|<3).
3设随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),若P(ξ>m)=a,则P(ξ>6-m)=()
A.a
B.1-2a
C.2a
D.1-a
ξ=m与直线ξ=6-m关于直线ξ=3对称,得P(ξ>m)=P(ξ<6-m)=a,则P(ξ>6-m)=1-a.
4某种零件的尺寸X(单位:cm)服从正态分布N(3,1),则不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数的.
(μ-2σ,μ+2σ),即区间(1,5)的取值概率约为95.45%,故不属于区间(1,5)这个尺寸范围的零件数约占总数1-95.45%=4.55%.
.55%
5在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为.
ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),正态曲线的对称轴为x=1,ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,可知,随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同,也为0.4,这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.
.8
6若随机变量ξ~N(10,σ2),若ξ在(5,10)内的概率等于a,a∈(0,0.5),则ξ在(-∞,15)内的概率等于.
P(10<ξ<15)=a,则P(-∞<ξ≤5)=1
2(1−2D)=1
2
−D,故D在(-∞,15)上的概率
等于1
2−D+D+D=1
2
+D.
+D
7某人乘车从A地到B地,所需时间X(单位:min)服从正态分布N(30,100),求此人在40 min至50 min到达目的地的概率.
μ=30,σ=10.
因为P(μ-σ<X≤μ+σ)=P(20<X≤40)=0.6827,所以,此人在20min至40min到达目的地的概率为0.6827.
又因为P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=P(10<X≤50)=0.9545,所以,此人在10min至50min到达目的地的概
率为0.9545.
那么,此人在10min至20min或40min至50min到达目的地的概率为0.9545-0.6827=0.2718;
由于正态曲线关于x=30对称,因此,此人在40min至50min到达目的地的概率为0.2718÷2=0.1359.
8在某次数学考试中,考生的成绩ξ服从一个正态分布,即ξ~N(90,100).
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率;
(2)若这次考试共有2 000名考生,试估计考试成绩位于区间(80,100)内的考生大约有多少人.
ξ~N(90,100),所以μ=90,D=√100=10.
(1)由于正态变量在区间(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率是0.9545,而该正态分布中,μ-2σ=90-
2×10=70,μ+2σ=90+2×10=110,于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.9545.
(2)由μ=90,σ=10,得μ-σ=80,μ+σ=100.
因为正态变量在区间(μ-σ,μ+σ)内取值的概率是0.6827,所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.6827.
又一共有2000名考生,所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2000×0.6827≈1365(人).
★9已知某地农民工年均收入ξ服从正态分布,其密度函数图象如图.
(1)写出此地农民工年均收入的概率密度曲线的函数解析式;
(2)求此地农民工年均收入在8 000~8 500之间的人数百分比.
ξ~N(μ,σ2),结合题中图象可知,μ=8000,σ=500.
(1)此地农民工年均收入的正态分布密度函数解析:式f(x)=
D√2π-(D-D)
2
2D2=
500√2π-(D-8000)
2
2×5002,D∈(-∞,+∞).
(2)∵P(7500<ξ≤8500)
=P(8000-500<ξ≤8000+500)=0.6827,
且正态曲线关于直线x=μ=8000对称,
∴P(8000<ξ≤8500)
=1
2
D(7500<ξ≤8500)=0.34135.
即农民工年均收入在8000~8500之间的人数占总体的34.135%.。