2007年江苏省启东中学暨湖南名校高考数学文科模拟考试卷一

2007年江苏省启东中学暨湖南名校高考数学文科模拟考试卷一
本试卷满分150分 考试时间120分钟.
一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项按要求填在答题栏内.） 1.已知集合M ＝{x |x ＜3},N ＝{x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝( )
A ∅
B ｛x |0＜x ＜3｝
C ｛x |1＜x ＜3｝
D ｛x |2＜x ＜3｝
2.x x n
+⎛
⎝ ⎫⎭
⎪132展开式的第6项系数最大，则其常数项为( ) A 120
B 252
C 210
D 45
3 函数32sin(4)2
y x π
=-+的图象与x 轴的交点中，离原点最近的一点的坐标为 A (,0)6
π
-
B (,0)12π-
C (,0)8π
D (,0)2
π
( ) 4.已知i ， j 为互相垂直的单位向量，a = i – 2j ， b = i + λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 ( )
A ),(21
∞+ B ），（），（2
1
22-⋃-∞- C ),
(),2(32
32
∞+⋃- D ),(21-∞
5.设a ，b ，c 是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是( )
A 当c α⊥时，若c β⊥，则α∥β
B 当α⊂b 时，若b β⊥，则βα⊥
C 当α⊂b ，且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥
D 当α⊂b ，且α⊄c 时，若//c α，则//b c
6.椭圆122
22=+b
y a x (0)a b >>的四个顶点为A B C D ，若菱形ABCD 的内切圆
恰好过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为( )
7.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分
配方案有( )
A 30种
B 90种
C 180种
D 270种 8.由等式++++++=++++223144322314)1()1()1(x b x b x a x a x a x a x
43)1(b x b ++定义映射=→)1,2,3,4(,),,,(),,,(:43214321f b b b b a a a a f 则( )
A （1，2，3，4）
B （0，3，4，0）
C (-1，0，2，-2)
D （0，-3，4，-1）
9.已知函数11
()(sin cos )sin cos 22
f x x x x x =
+--,则()f x 的值域是( )
A []1,1-
B ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C ⎡-⎢⎣⎦ D 1,⎡-⎢⎣
⎦
10.在直角坐标系中，O 是原点，=(－2＋cosθ，－2＋sinθ) (θ∈R)，动点P 在直线
x=3上运动，若从动点P 向Q 点的轨迹引切线，则所引切线长的最小值为( ) A 4 B 5 C 26 D 26
二.填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 __________
12 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线 AD 的长为
13. 若)(n f 为*)(12
N n n ∈+的各位数字之和，如：1971142
=+，17791=++，则
17)14(=f ，记121
12008()(),()(()),,()(()),,(8)k k f n f n f n f f n f n f f n k N f ++
===∈=则
.
14.已知变量,x y 满足约束条件14,2 2.x y x y ≤+≤-≤-≤若目标函数z ax y =+ （其中0a >）仅在点()3,1处取得最大值，则a 的取值范围为 .
15.对于直角坐标平面内的任意两点A(x 1,y 1)、B （x 2,y 2），定义‖AB ‖=∣x 1-x 2∣+∣y 1-y 2∣为它们之间的“抽象距离”.给出下列三个命题: ①若点C 在线段AB 上,则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖; ②在ΔABC 中,∠C=90,则‖AC ‖2
+‖CB ‖2
=‖AB ‖2
; ③在ΔABC 中, ‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题是 .
三.解答题（本大题共６小题，满分75分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤） 16（本小题11分）设数列{}n a 满足关系：10321=--n n a a （n ≥2），2
17
1-
=a (1)令10+=n n a b ，求证{}n b 为等比数列；
(2)问：数列{}n a 从第几项开始大于0？（lg 20.3010=，lg30.4771=）
17.（本小题满分12分） 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边， 若)1,2(sin 2
C B +=，)4,2
7
2(cos +=A ，且//. (1)求角A 的度数；
(2)当3=
a ，2
3
=
∆ABC S 时，求b 、c 。

18（本小题12分）某中学有5名体育类考生要到某大学参加体育专业测试，学校指派一名教师带队，已知每位考生测试合格的概率都是
3
2， (1)若他们乘坐的汽车恰好有前后两排各3个座位，求体育教师不坐后排的概率； (2)若5人中恰有r 人合格的概率为
243
80
，求r 的值.
19（本小题满分12分）已知直四棱柱 1111ABCD A BC D -的底面 是菱形，且
60DAB ∠=，1AD AA =F 为棱1BB 的中点，
M 为线段1AC 的中点
(1)求证：直线MF //平面ABCD ； (2)求证：直线MF ⊥平面11ACC A ；
(3)求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角 的大小
20.（本小题满分14分）
已知函数32()f x x x ax b =+++的一个极值点为1x =． （1）求a 的值及()f x 的单调区间；
（2）设方程2
0x ax b ++=的两根为,αβ，且αβ<，()f x 在区间[],αβ上是单调的，
求实数b 的取值范围．
21 （本小题满分14分） 已知椭圆)0(122
221>>=+b a b
y a x C ：的一条准线方程是x =254，
其左、右顶点分别是A 、B ；双曲线122
222=-b
y a x C ：的一条渐近线方程为350x y -=.
（1）求椭圆C 1的方程及双曲线C 2的离心率；
（2）在第二象限内取双曲线C 2上一点P ，连结BP 交椭圆C 1于点M ，连结PA 并延长
交椭圆C 1于点N ，若BM MP →=→
.求证：MN AB →→=·0.
[参考答案] http://
二 填空题
11π24 12 3 13 11 14 a>1 15 ①
16 解：（Ⅰ）∵2171-
=a ，10+=n n a b ∴ 11173
101022
b a =+=-
+= 又∵ 10321=--n n a a （n ≥2） ∴ 1352n n a a -=+ 有 13
10102
n n a a -+=+（） （n ≥2） 即
13
2
n n b b -= （n ≥2） ∴ {}n b 是以32为首项，3
2
为公比的等比数列 …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，32n n b =（），即310()2
n n a += 所以 3()102
n
n a =-
令0n a >，得到3()102
n
>
∴ 3
lg
12n >，即11 5.68lg3lg 20.47710.3010
n >=≈-- ∴ 从第6项开始0n a > …11分 17．解：（1）n m
// 02
7
2cos 2sin
42
=+-+∴A C B 027
2cos 2cos 42
=+-∴A A 01cos 4cos 42=+-∴A A 分660021
cos 0 =∴<<=∴A A A π
(2) 2
3
=
∆ABC S 223sin 21==
∴bc A bc 即
3cos 2)3(22222=-+∴-+=bc c b A bc c b
解得b=2,c=1或b=1 c=2…12分
18 解：(1)体育教师不坐后排记为事件A ，则2
1
)(1
6
13=
=C C A P -----6分 （2）每位考生测试合格的概率32=
P ，测试不合格的概率为3
11=-P 则24380)
1()(555=-=-r
r r
P P C r P ，即243803
2)31()32(5
555==-r r
r
r r C C ， ∴8025=r r
C ，3=r ---------------12分
19 解：设AC ⋂BD=O ，因为M O 分别为C 1A CA 的中点，所以，MO//C 1C ，
又由直四棱柱知C 1C ⊥平面ABCD ，所以，MO ⊥平面ABCD.在菱形ABCD 中，BD ⊥AC ，所以，OB OC OM 两两垂直.故可以O 为原点，OB OC OM 所在直线分别为x 轴 y 轴 z 轴如图建立空间直角坐标系， 若设|OB|=1，则B （1，0，0），B 1（1，0，2），A （0，3-，0）， C （0，3，0），C 1（0，3，2）. （I ）由F M 分别为B 1B C 1A 的中点可知： F （1，0，1），M （0，0，1）， 所以=（1，0，0）=.OB
又MF 与不共线，所以，MF ∥OB. ⊄MF 平面ABCD ，OB ⊂平面ABCD ， MF ∴∥平面ABCD …4分
（II ）=（1，0，0），而（1，0，0）为平面yOz （即平面ACC 1A 1）的法向量.
所以，平面MF ⊥平面ACC 1A 1….8分
（III ）)1,0,0(=为平面ABCD 的法向量，
设1),,(AFC z y x n 为平面=的一个法向量，则⊥⊥且 ⎩⎨
⎧==++==.
0,
03:),0,0,1(),1,3,1(x z y x 得由 )3,1,0(,3,1-=-==z y 此时得令.
设平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为θ，
则.2
3
|213|
|
,cos ||cos |=⨯-=><=n OM θ
所以θ=30°或150°.
即平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.12分
20．解：（1）2
()32f x x x a '=++ 由0)1('=f 得5a =-……（2分）
令2()3250f x x x '=+->得53
x <-或1x >
由()0f x '<得5
13
x -
<<……（5分） 函数()f x 的增区间为5(,),(1,)3-∞-+∞，减区间为5
(,1)3
-……（6分）
（2）由0>⊿得25
4
b <……（8分）
由于()f x 的增区间为5(,),(1,)3-∞-+∞，减区间为5
(,1)3
-，又()f x 在[],αβ上是单调的，
故[],αβ只能含在上述三个区间内，……（9分） 令2()5g x x x b =-+，则()g x 对称轴5
12
x => ∴s(1)=b-4≥0，即b ≥4……（12分）
∴方程x 2
-5x+b=0才有两个大于1的实根，综合4≤b<
4
25
．……（14分） 21. 解：（I ）由已知a c b a c a b 222225435===-⎧⎨⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪，解之得：a b c ===⎧⎨⎪
⎩⎪534
………（3分）
∴椭圆的方程为
x y 222591+=，双曲线的方程x y 22
259
1-= 又C'=
+=25934,∴双曲线的离心率e 234
5
=
………（7分） （II ）由（I ）()()A B -5050，，，
设()M x y 00，则由BM MP →=→
得M 为BP 的中点
∴P 点坐标为()25200x y -， 将M 、P 坐标代入c c 12、方程得：
()x y x y 0
2020202
259
1252549
1+=--=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 消去y 0得：25250020x x --= 解之得：x 05
2
=-或x 05=+（舍） 由此可得：()
P -1033，………………（9分）
当P 为()
-1033，时，()PA y x ：=
-++33
105
5
即：()y x =-+33
55 代入x y 222591+=，得：2152502x x ++=
x =-
52或-5（舍） ∴=-∴=x x x N N M 5
2
， MN ⊥x 轴，即MN AB →→
=·0………………（14分）。