(江苏专用)高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.3 直线、平面平行的判定与性质 文-人教版高三全

【步步高】（某某专用）2017版高考数学一轮复习第八章立体几何
8.3 直线、平面平行的判定与性质文
1．直线与平面平行的判定与性质
判定
性质
定义定理
图形
条件a∩α＝∅a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α
a∥α，a⊂β，
α∩β＝b 结论a∥αb∥αa∩α＝∅a∥b
判定
性质
定义定理
图形
条件α∩β＝∅
a⊂β，b⊂β，
a∩b＝P，a∥α，
b∥α
α∥β，α∩γ
＝a，β∩γ＝b
α∥β，a⊂β结论
α∥βα∥βa∥b a∥α
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( ×)
(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线．( ×)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．( ×)
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √)
(5)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( ×)
(6)空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.( √)
(7)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.( ×)
1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列说法正确的是________．
①α内的所有直线与l异面；
②α内不存在与l平行的直线；
③α内存在唯一的直线与l平行；
④α内的直线与l都相交．
答案②
解析由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有②是正确的．
2．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有________．
答案①或③
解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．
3．(教材改编)下列命题中正确的是________．
①若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面；
②若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；
③平行于同一条直线的两个平面平行；
④若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α.
答案④
解析①中，a可以在过b的平面内；②中，a与α内的直线可能异面；③中，两平面可相交；④中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确．
4．(教材改编)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1
与平面AEC的位置关系为________．
答案平行
解析如图，连结BD，设BD∩AC＝O，连结EO，在△BDD1中，O为BD
的中点，
所以EO 为△BDD 1的中位线，
则BD 1∥EO ，而BD 1⊄平面ACE ，EO ⊂平面ACE ， 所以BD 1∥平面ACE .
5．过三棱柱ABC －A 1B 1C 1任意两条棱的中点作直线，其中与平面
ABB 1A 1平行的直线共有________条．
答案 6
解析 各中点连线如图，只有面EFGH 与面ABB 1A 1平行，在四边形EFGH 中有6条符合题意．
题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝1
2
AD ，E ，F ，H 分别为线段
AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．
(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：GH ∥平面PAD . 证明 (1)如图，连结EC ， ∵AD ∥BC ，BC ＝1
2AD ，
∴BC 綊AE ，
∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点．
又∵F 是PC 的中点，∴FO ∥AP ，
FO ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ，
∴AP ∥平面BEF . (2)连结FH ，OH ，
∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点， ∴FH ∥PD ，∴FH ∥平面PAD .
又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，
∴OH ∥AD ，∴OH ∥平面PAD .
又FH ∩OH ＝H ，∴平面OHF ∥平面PAD . 又∵GH ⊂平面OHF ，∴GH ∥平面PAD . 命题点2 直线与平面平行性质定理的应用
例2 (2014·某某)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G ，E ，F ，H 分别是棱PB ，AB ，CD ，PC 上共面的四点，平面GEFH ⊥平面ABCD ，BC ∥平面GEFH . (1)证明：GH ∥EF ；
(2)若EB ＝2，求四边形GEFH 的面积． (1)证明 因为BC ∥平面GEFH ，BC ⊂平面PBC ， 且平面PBC ∩平面GEFH ＝GH ， 所以GH ∥BC .
同理可证EF ∥BC ，因此GH ∥EF .
(2)解 如图，连结AC ，BD 交于点O ，BD 交EF 于点K ，连结OP ，GK . 因为PA ＝PC ，O 是AC 的中点，所以PO ⊥AC ， 同理可得PO ⊥BD .
又BD ∩AC ＝O ，且AC ，BD 都在底面内， 所以PO ⊥底面ABCD .
又因为平面GEFH ⊥平面ABCD ， 且PO ⊄平面GEFH ，所以PO ∥平面GEFH . 因为平面PBD ∩平面GEFH ＝GK ， 所以PO ∥GK ，且GK ⊥底面ABCD ， 从而GK ⊥EF .
所以GK 是梯形GEFH 的高．
由AB ＝8，EB ＝2得EB ∶AB ＝KB ∶DB ＝1∶4， 从而KB ＝14DB ＝1
2OB ，即K 为OB 的中点．
再由PO ∥GK 得GK ＝1
2PO ，
即G 是PB 的中点，且GH ＝1
2BC ＝4.
由已知可得OB ＝42，
PO ＝PB 2－OB 2＝68－32＝6，
所以GK ＝3.
故四边形GEFH 的面积S ＝GH ＋EF
2
·GK
＝
4＋8
2
×3＝18. 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ⇒a ∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，
a ⊂α⇒a ∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a ⊄β，a ∥α⇒a ∥β)．
(1)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，
E 为PD 的中点，AB ＝1，
求证：CE ∥平面PAB ；
(2)如图所示，CD ，AB 均与平面EFGH 平行，E ，F ，G ，H 分别在BD ，BC ，
AC ，AD 上，且CD ⊥AB .求证：四边形EFGH 是矩形．
证明 (1)由已知条件有AC ＝2AB ＝2，AD ＝2AC ＝4，CD ＝2 3. 如图所示，延长DC ，AB ，设其交于点N ，连结PN ， ∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，
AC ⊥CD ，
∴C 为ND 的中点，
又∵E 为PD 的中点，∴EC ∥PN ， ∵EC ⊄平面PAB ，PN ⊂平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB .
(2)∵CD ∥平面EFGH ，而平面EFGH ∩平面BCD ＝EF ， ∴CD ∥EF .
同理HG ∥CD ，HE ∥AB 且GF ∥AB ，∴EF ∥HG . 同理HE ∥GF ，
∴四边形EFGH 为平行四边形． ∴CD ∥EF ，HE ∥AB ，
∴∠HEF 为异面直线CD 和AB 所成的角． 又∵CD ⊥AB ，∴HE ⊥EF . ∴平行四边形EFGH 为矩形．
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，
A1C1的中点，求证：
(1)B，C，H，G四点共面；
(2)平面EFA1∥平面BCHG.
证明(1)∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点，
∴GH是△A1B1C1的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G四点共面．
(2)∵E，F分别是AB，AC的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
∵A1G綊EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
∵A1E∩EF＝E，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
引申探究
1．在本例条件下，若D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.
证明如图所示，连结HD，A1B，
∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，
∴HD∥A1B，
又HD⊄平面A1B1BA，
A1B⊂平面A1B1BA，
∴HD∥平面A1B1BA.
2．在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D. 证明如图所示，连结A1C交AC1于点M，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴M是A1C的中点，连结MD，
∵D为BC的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面A1BD1，
DM⊄平面A1BD1，
∴DM∥平面A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，
∴四边形BDC1D1为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，
∴DC1∥平面A1BD1，
又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面AC1D，
∴平面A1BD1∥平面AC1D.
思维升华证明面面平行的方法：
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．
如图，在三棱锥S—ABC中，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F.点E，G分别是棱SA、SC的中点．求证：平面EFG∥平面ABC.
证明因为AS＝AB，AF⊥SB，
所以F是SB的中点．
又因为E是SA的中点，所以EF∥AB，
又EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC，同理EG∥平面ABC，
又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.
题型三平行关系的综合应用
例4 如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截
面在什么位置时其截面面积最大？
解∵AB∥平面EFGH，
平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH.
∴AB∥FG，AB∥EH，
∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，
∴截面EFGH 是平行四边形．
设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝b
a
(a －x )，
∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α ＝x ·b
a ·(a －x )·sin α＝
b sin α
a
x (a －x )． ∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值， ∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α
4
， 此时x ＝a 2，y ＝b
2
.
即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．
如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面是边长为a 的正方形，侧棱
PA ⊥底面ABCD ，在侧面PBC 内，有BE ⊥PC 于E ，且BE ＝
6
3
a ，试在AB 上找一点F ，使EF ∥平面PAD .
解 如图所示，在平面PCD 内，过E 作EG ∥CD 交PD 于G ，连结AG ，在AB 上取点F ，使AF ＝EG ， ∵EG ∥CD ∥AF ，EG ＝AF ， ∴四边形FEGA 为平行四边形， ∴FE ∥AG .
又AG ⊂平面PAD ，FE ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD . ∴F 即为所求的点． 又PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥BC ， 又BC ⊥AB ，∴BC ⊥面PAB . ∴PB ⊥BC .
∴PC 2
＝BC 2
＋PB 2
＝BC 2
＋AB 2
＋PA 2
. 设PA ＝x 则PC ＝2a 2
＋x 2
， 由PB ·BC ＝BE ·PC 得：
a 2＋x 2·a ＝2a 2＋x 2·
6
3
a ， ∴x ＝a ，即PA ＝a ，∴PC ＝3a . 又CE ＝
a 2－
63
a 2
＝
3
3
a ， ∴PE PC ＝23，∴GE CD ＝PE PC ＝23
， 即GE ＝23CD ＝23a ，∴AF ＝23a .即AF ＝2
3AB .
故点F 是AB 上靠近B 点的一个三等分点．
5．立体几何中的探索性问题
典例 (14分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，已知底面ABCD 为直角梯形，其中AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，SA ⊥底面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2.tan∠SDA ＝2
3.
(1)求四棱锥S －ABCD 的体积；
(2)在棱SD 上找一点E ，使CE ∥平面SAB ，并证明． 规X 解答
解 (1)∵SA ⊥底面ABCD ，tan∠SDA ＝2
3，SA ＝2，
∴AD ＝3.[2分]
由题意知四棱锥S －ABCD 的底面为直角梯形，且SA ＝AB ＝BC ＝2， ∴V S －ABCD ＝13×SA ×1
2×(BC ＋AD )×AB
＝13×2×12×(2＋3)×2＝10
3
.[6分] (2)当点E 位于棱SD 上靠近D 的三等分点处时，可使CE ∥平面SAB .[8分] 证明如下：
取SD 上靠近D 的三等分点为E ，取SA 上靠近A 的三等分点为F ，连结CE ，EF ，BF ， 则EF 綊23AD ，BC 綊2
3AD ，
∴BC 綊EF ，∴CE ∥BF .[12分]
又∵BF⊂平面SAB，CE⊄平面SAB，
∴CE∥平面SAB.[14分]
解决立体几何中的探索性问题的步骤
第一步：写出探求的最后结论．
第二步：证明探求结论的正确性．
第三步：给出明确答案．
第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规X．
温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的结论就否定假设．
(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”．
[方法与技巧]
1．平行问题的转化关系
线∥线判定
性质线∥面
判定
性质面∥性质判定面
2．直线与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．
3．平面与平面平行的主要判定方法
(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.
[失误与防X]
1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．
2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．
3．解题中注意符号语言的规X应用．
A组专项基础训练
(时间：40分钟)
1．平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是________．①AB∥CD; ②AD∥CB；
③AB与CD相交；④A，B，C，D四点共面．
答案④
解析充分性：A，B，C，D四点共面，由平面与平面平行的性质知AC∥BD.必要性显然成立．2．(2015·某某改编)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是________．
①若α，β垂直于同一平面，则α与β平行；
②若m，n平行于同一平面，则m与n平行；
③若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线；
④若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面．
答案④
解析对于①，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，故①错；对于②，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故②错；对于③，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故③错；对于④，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为④，故④正确．
3．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是________．
①若l∥α，l∥β，则α∥β；
②若l⊥α，l⊥β，则α∥β；
③若l⊥α，l∥β，则α∥β；
④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.
答案②
解析l∥α，l∥β，则α与β可能平行，也可能相交，故①项错；由“同垂直于一条直线的两个平面平行”可知②项正确；由l⊥α，l∥β可知α⊥β，故③项错；由α⊥β，l∥α可知l与β可能平行，也可能l⊂β，也可能相交，故④项错．
4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：
①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；
②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；
③若α∩β＝l，β∩γ＝m.γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数为________．
答案 1
解析①中当α与β不平行时，也可能存在符合题意的l、m；②中l与m也可能异面；③
中⎩⎪⎨⎪⎧ l ∥γl ⊂α
α∩γ＝n ⇒l ∥n ，
同理，l ∥m ，则m ∥n ，正确．
5．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．
答案 ①④
解析 ①中易知NP ∥AA ′，MN ∥A ′B ，
∴平面MNP ∥平面AA ′B 可得出AB ∥平面MNP (如图)．
④中，NP ∥AB ，能得出AB ∥平面MNP .
6．在四面体A －BCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个
面中与MN 平行的是________．
答案 平面ABD 与平面ABC
解析 如图，取CD 的中点E ，
连结AE ，BE .
则EM ∶MA ＝1∶2，
EN ∶BN ＝1∶2，
所以MN ∥AB .
所以MN ∥平面ABD ，
MN ∥平面ABC .
7.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面
的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a
3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝______.
答案 223
a 解析 ∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，∴MN ∥PQ .
∵M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点，AP ＝a
3， ∴CQ ＝a 3，从而DP ＝DQ ＝2a 3，∴PQ ＝223
a . 8.如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、
D 1D 、CD 的中点，N 是BC 的中点，动点M 在四边形EFGH 上及其内部运动，
则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.
答案 M ∈线段FH
解析 因为HN ∥BD ，HF ∥DD 1，所以平面NHF ∥平面B 1BDD 1，故线段FH 上
任意点M 与N 相连，都有MN ∥平面B 1BDD 1.(答案不唯一)
9.如图，ABCD 与ADEF 为平行四边形，M ，N ，G 分别是AB ，AD ，EF 的
中点．
求证：(1)BE ∥平面DMF ；
(2)平面BDE ∥平面MNG .
证明 (1)如图，连结AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连结MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ，
又BE ⊄平面DMF ，MO ⊂平面DMF ，
所以BE ∥平面DMF .
(2)因为N ，G 分别为平行四边形ADEF 的边AD ，EF 的中点，
所以DE ∥GN ，
又DE ⊄平面MNG ，GN ⊂平面MNG ，
所以DE ∥平面MNG .
又M 为AB 中点，所以MN 为△ABD 的中位线，
所以BD ∥MN ，
又BD ⊄平面MNG ，MN ⊂平面MNG ，
所以BD ∥平面MNG ，
又DE 与BD 为平面BDE 内的两条相交直线，
所以平面BDE ∥平面MNG .
10.如图，E 、F 、G 、H 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BC 、CC 1、C 1D 1、AA 1
的中点．求证：
(1)EG ∥平面BB 1D 1D ；
(2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .
证明 (1)取B 1D 1的中点O ，连结GO ，OB ，
易证四边形BEGO 为平行四边形，故OB ∥GE ，
由线面平行的判定定理即可证EG ∥平面BB 1D 1D .
(2)由题意可知BD ∥B 1D 1.
如图，连结HB 、D 1F ，
易证四边形HBFD 1是平行四边形，故HD 1∥BF .
又B 1D 1∩HD 1＝D 1，
BD ∩BF ＝B ，
所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .
B 组 专项能力提升
(时间：30分钟)
11．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是________． ①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；
②若α∥γ，β∥γ，则α∥β；
③若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β；
④若m ，n 是异面直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂β，n ∥α，则α∥β.
答案 ③
解析 由线面垂直的性质可知①正确；由面面平行的性质可知②正确；m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α，β可能平行，也可能相交，故③错误；由线面平行的性质和面面平行的判定定理可知④正确．
12．如图，空间四边形ABCD 的两条对棱AC 、BD 的长分别为5和4，则
平行于两条对棱的截面四边形EFGH 在平移过程中，周长的取值X 围是
________．
答案 (8,10)
解析 设DH DA ＝GH AC ＝k ，∴AH DA ＝EH BD
＝1－k ， ∴GH ＝5k ，EH ＝4(1－k )，∴周长＝8＋2k .
又∵0<k <1，∴周长的X 围为(8,10)．
13．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，则点Q 满足条件________时，有平面D 1BQ ∥平面PAO .
答案 Q 为CC 1的中点
解析 如图，假设Q 为CC 1的中点，
因为P 为DD 1的中点，
所以QB ∥PA .
连结DB ，
因为P ，O 分别是DD 1，DB 的中点，
所以D1B∥PO，
又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，
所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又D1B∩QB＝B，
所以平面D1BQ∥平面PAO.
故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
14．(2015·某某改编)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系．并证明你的结论．
解(1)点F，G，H的位置如图所示．
(2)平面BEG∥平面ACH，证明如下：
因为ABCDEFGH为正方体，
所以BC∥FG，BC＝FG，
又FG∥EH，FG＝EH，
所以BC∥EH，BC＝EH，
于是BCHE为平行四边形，
所以BE∥CH，
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH，
所以BE∥平面ACH，
同理BG∥平面ACH，
又BE∩BG＝B，
所以平面BEG∥平面ACH.
15.如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝
DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．
(1)求三棱锥A—PDE的体积；
(2)AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长；
若不存在，请说明理由．
解(1)因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.
又因为ABCD是矩形，所以AD⊥CD.
因为PD ∩CD ＝D ，
所以AD ⊥平面PCD ，
所以AD 是三棱锥A —PDE 的高．
因为E 为PC 的中点，且PD ＝DC ＝4，
所以S △PDE ＝12S △PDC ＝1
2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2×4×4＝4.
又AD ＝2，
所以V A —PDE ＝13AD ·S △PDE ＝13×2×4＝8
3.
(2)取AC 的中点M ，
所以AM ＝1
2AC ＝ 5.
连结EM ，DM ，因为E 为PC 的中点，M 是AC 的中点， 所以EM ∥PA .
又因为EM ⊂平面EDM ，PA ⊄平面EDM ，
所以PA ∥平面EDM .
即在AC 边上存在一点M ，使得PA ∥平面EDM ，AM 的长为 5.。