人教B版高中数学必修四高一作业设计：3.2.2半角的正弦、余弦和正切.docx

3．2．2 半角的正弦、余弦和正切
课时目标 1．了解半角公式及推导过程．2．能正确运用半角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明．
1．二倍角的余弦及其变形
cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝__________＝____________；
cos α＝_________________________________________________________________ ＝____________________＝_______________________________________________； sin 2α2＝__________，cos 2α
2＝__________． 2．半角公式
(1)sin α2＝____________；(S α2)
(2)cos α2＝______________；(C α2)
(3)tan α2＝__________；(T α2)
(4)tan α
2＝__________________＝__________________________________________．
一、选择题
1．已知180°<α<360°，则cos α
2
的值等于( )
A ．－1－cos α2
B ． 1－cos α
2
C ．－1＋cos α2
D ． 1＋cos α
2
2．当tan α2≠0时，tan α
2
的值与sin α( )
A ．同号
B ．异号
C ．有时同号有时异号
D ．sin α可能为零
3．已知α是第三象限角，sin α＝－2425，则tan α
2
等于( )
A ．－34
B ．34
C ．43
D ．－43
4．已知θ是第三象限角，若sin 4θ＋cos 4θ＝5
9
，那么sin 2θ等于( )
A ．223
B ．－223
C ．23
D ．－23
5．已知π<θ<3π2，则 12＋12 12＋12cos θ等于( )
A ．sin θ4
B ．cos θ
4
C ．－sin θ4
D ．－cos θ
4
6．若α是第三象限角，且sin(α＋β)·cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α
2
的值为( )
A ．－5
B ．5
C ．－513
D ．5
13
二、填空题 7．tan 67．5°－tan 22．5°的值是________．
8．已知cos θ＝－35，且180°<θ<270°，tan θ
2
＝______．
9．已知等腰三角形底角的余弦值为2
3，则顶角的正弦值是________．
10．已知等腰三角形顶角的余弦值为4
5
，则底角的正切值为________．
三、解答题
11．已知cos α＝13，α为第四象限角，求sin α2、cos α2、tan α
2
．
12．求证：cos 2α1tan α2
－tan α2＝1
4sin 2α．
能力提升
13．已知π<α<3π
2
，化简下面的式子．
1＋sin α
1＋cos α－1－cos α＋1－sin α
1＋cos α＋1－cos α．
14．证明：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α＝tan α
2
．
1．半角公式前面的正负号的选择
(1)如果没有给出决定符号的条件，则要保留根号前的正负号；
(2)若给出角α的具体范围时，则根号前的符号由角α
2
所在象限确定；
(3)若给出的角α是某一象限的角时，则根据下表确定符号：
α α2 sin α2 cos α2 tan α
2
第一象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第二象限 第一、三象限 ＋、－ ＋、－ ＋ 第三象限 第二、四象限 ＋、－ －、＋ － 第四象限 第二、四象限 ＋、－ －、＋ －
2．半角公式的三个变式：cos 2α2＝1＋cos α2，sin 2α2＝1－cos α2，tan 2α2＝1－cos α
1＋cos α
．在实际
进行三角函数的化简、求值、证明时经常用到．
3．2．2 半角的正弦、余弦和正切
答案
知识梳理
1．2cos 2α－1 1－2sin 2α cos 2α2－sin 2α2 2cos 2α
2
－1
1－2sin 2α2 1－cos α2 1＋cos α
2 2．(1)± 1－cos α2
(2)± 1＋cos α2 (3)± 1－cos α1＋cos α (4)sin α
1＋cos α
1－cos αsin α
作业设计 1．C
2．A [∵sin α＝2sin α2cos α2，tan α
2＝sin
α2cos
α
2
，
∴sin α与tan α
2
同号．]
3．D
4．A [∵sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ
＝1－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝5
9
．
∴sin 22θ＝8
9
∵θ是第三象限角，∴sin θ<0，cos θ<0，sin 2θ>0．
∴sin 2θ＝22
3
．]
5．A [∵π<θ<3π2，∴π2<θ2<3π4，π4<θ4<3π
8
，
∴cos θ2<0，sin θ
4
>0，
原式＝
12＋12
cos 2 θ2＝ 12－12cos θ
2
＝ sin 2θ4＝⎪⎪⎪⎪sin θ4＝sin θ4
．] 6．A [易知sin α＝－5
13
，α是第三象限角，
∴cos α＝－12
13
．
∴tan α2＝sin α
1＋cos α＝－5131＋⎝⎛⎭⎫－1213＝－5．]
7．2
解析 tan 67．5－tan 22．5°
＝1－cos 135°sin 135°－1－cos 45°
sin 45°＝1＋2222－1－
222
2
＝2．
8．－2
解 ∵180°<θ<270°，∴90°<θ
2
<135°，
∴tan θ
2
<0，
∴tan θ
2＝－1－cos θ1＋cos θ＝－1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝－2．
9．459
解析 设α为该等腰三角形的一底角，
则cos α＝2
3，顶角为180°－2α．
∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α
＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝45
9． 10．3
解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为1
2
(180°－α)．
∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－α2＝cot α2
＝1＋cos α
sin α＝1＋453
5
＝3．
11．解 sin α2＝± 1－cos α2＝± 1－
132＝±3
3
，
cos α2＝± 1＋cos α2＝± 1＋132＝±6
3
．
tan α2＝± 1－cos α1＋cos α
＝±1－131＋13
＝±2
2．
∵α为第四象限角，∴α
2
为第二、四象限角．
当α
2为第二象限角时， sin α2＝33，cos α2＝－63，tan α2＝－22； 当α2为第四象限角时，sin α2＝－33，cos α2＝63， tan α2＝－22
． 12．证明 左边＝cos 2α
1＋cos αsin α－1－cos α
sin α
＝cos 2
α2cos αsin α
＝12sin αcos α＝14sin 2α．＝右边． ∴原式成立．
13．解 原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2
＋cos α22
2⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪
⎪sin α2
＋⎝⎛⎭⎫sin α2
－cos α22
2⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2，
∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π
4，
∴cos α2<0，sin α
2>0．
∴原式＝
⎝⎛⎭⎫sin α2
＋cos α22
－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋
⎝⎛⎭⎫sin α2
－cos α22
2⎝⎛⎭
⎫sin α2－cos α2
＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos
α
22
＝－2cos α
2．
14．证明 利用半角正切公式．
左边＝⎝
⎛⎭⎫1－1－cos αsin α⎝⎛⎭⎫
1＋1－cos αsin α2·cos αsin α
＝⎝
⎛⎭⎫1－tan α2⎝⎛⎭⎫
1＋tan α22tan α
＝⎝
⎛⎭⎫1－tan 2α2tan α
2
＝⎝⎛⎭⎫1－tan 2α22·2tan α
21－tan 2
α2
＝tan α
2
＝右边．。