汇交力系
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几何法：
22:10
解析法：
Rx
X F1
1 10
F2
2 2
F3
F4
2 1.848kN 5
Ry
Y F1
3 10
F2
2 2
F4
1 68.678kN 5
R Rx2 Ry2 68.793kN
合力R与x轴的夹角为：
arctan Ry 180 91.54 Rx
Y 0 T2 sin QND 0 ②
由①得
cos
T1 T2
P 2P
1 2
600
由②得
ND Q T2 sin Q 2P sin 600 Q 3P
22:10
P33/2-2用几何法和解析法图示四个力的合力。已知： F1=60kN ， F2=80kN ， F3=50kN ， F4=100kN 。
第二章 汇交力系
福建农林大学交通学院
22:10
第二章 汇交力系
前章回顾 §2-1 几何法 平衡条件 §2-2 解析法 平衡方程
22:10
前章回顾
1、力、刚体、平衡、约束等概念 2、力学公理 3、约束及约束力 4、受力分析及受力图
22:10
力系分类
力系分类
平面 空间
汇交力系 平行力系 力偶系 任意力系
F
注：力沿轴分解后得到 x 的是分力（矢量）。
一个力在没有限制的情况下，可以分解为无数组力。 只有在正交坐标系下，分力的大小才等于投影。
22:10
二、合力投影定理(重点)
合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影 的代数和。
y
x
可见: Rx Fx X
同理，有 Ry Fy Y
解得：
Fcx
F cos 2sin
F 2
ctgθ
Fl 2h
11.25kN
Y 0 : F CBsin FCy 0
解得：
Fcy
F 2
1.5kN
22:10
例2-7 已知如图重力P、Q，求平衡时 =？ 地
面的反力ND=？
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X 0 T2cos T10 ①
共线力系
平面汇交力系：各力的作用线都在同一平 面内且汇交于一点的力系。
研究方法：几何法，解析法。
22:10
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、概念与工程实例 平面汇交力系：各力共面，且汇交于一点。
A
22:10
O
C P (a)
B TA
O，
TO
，
TB
TA
B
O
A
C
TB
P
(b)
(c)
二、汇交力合成（步骤）：
R Rx2 Ry2 171.3N
tan θ Ry 0.87 Rx
θ 41
22:10
例2-4:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、
AC的拉力。
B
300 C
600
y
A
A.
x
解：
Q Q
(1)取研究对象 -------力系的汇交点A
(2)作受力图 (3)建立坐标系
3、根据平面汇交力系平衡 的几何条件，可绘出一封闭 的力三角形。如图示。则：
arctan BE arctan 1 26.5650
AB
2
或
由三角形正弦定理，得：
FC 28.3kN FA 22.4kN
22:10
§2-2 平面汇交力系合成与平衡 的解析法（坐标法）
一.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
22:10
三、平面汇交力系合成的解析法
由合力投影定理可知，合力在两正交轴上的投影等于各分 力在相应轴上投影的代数和。即：
Rx Fx X Ry Fy Y
合力 R ： R Rx2 Ry2 ( X )2 ( Y )2
合力 R 的方向：
arctan Y X
1、力在刚体上的可传性，汇交力系就转化为共点力系；
2、据平行四边形法则求合力R。 合力为各力的矢量和，即
F1
R
F2
Fi
F1
F2
O F3
Fn
O F3
Fn
R
22:10
三、力三角形规则和力多边形规则
这种依据力三角形求合力的方法称为力三角形规则。 注：力三角形只是一种矢量运算方法，不能完全表 示力系的真实作用情况。
例如：一平面汇交力系，作其力多边形
由图可知，该力多边形封闭，所以该平面汇交力系为
平衡力系。
F2
F3
F1
Fn
F2
F1
O F3
O Fn F i
Fi
22:10
例2-1:
已知：轮重P =20kN，轮半径R =0.6m,障碍物高h =0.08m: 求：1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
22:10
P34/2-13 两根相同钢管C、D，两端各用铅垂立柱挡
在斜坡上，每管重4kN。求：管作用在每根立柱上
的压力 。
解：建立如图坐标系，画D
A C
管受力图，将力投影到x轴
D
x
X 0 NCD GD cos 60 0
NCD GD cos 60 2kN
B 30 °
画C管受力图 X 0
D
NCD GD
N
ND GC
C N cos30 NDC GC cos 60 0
NDC NC
N 4 / cos30 8
3 3
kN
因有两根立柱，每根立柱上
的压力为N/2=2.31kN
22:10
B
22:10
FA FB cos θ P
2.碾子拉过障碍物，应有 F 0 A 根据平面汇交力系平衡的几何条件，可知该力系所
组成的力多边形封闭。据此，可绘出一封闭的力三边形。
于是，有： F P tanθ 11.55kN
P
P
3.要使力F取得最小值（即最省力）
力F 应与FB垂直，如图示。
于是，有：Fmin P sin θ 10kN
22:10
例2-2 已知：AC=CB，P=10kN,
P
各杆自重不计；
求：CD杆及支座A的受力。
解：1.取CD杆为研究对象，
可知其为二力杆。
2、取AB杆为研究对象，
依据三力平衡汇交定理
知，P、FA、FC汇交于一
P
点，据此可绘出AB杆的
受力图。
22:10
22:10
依据力三角形规则，平面汇交力系也可合成如下：
F2
F3
F2
F3
F1
F1
O
O
Fn
Fn
R
R
合力R为力多边形的封闭边
若将各个“过程合力”略去，则F1、F2、……Fn与它 们的合力R就构成一个力多边形。这种合成方法称为力 多边形规则。
22:10
四、平面汇交力系平衡的几何条件
平衡几何条件： R Fi 0 即：力多边形自行封闭
X 0:
FBA cos θ FBC cos θ 0
解得：
F F
BA
BC
Y 0:
F sin θ F sin θ F 0
BA
BC
解得：
FBA FBC
F
2sin
11.35kN
22:10
3、选压块C为研究对象，画出其受力图，则有：
X 0 : FCB cos θ Fcx 0
X 0 TB sin 600 TC sin 300 0
(4)列平衡方程
Y 0 TB cos 600 TC cos 300 Q 0
(5)解方程，得：
TB
Q 2
15kN
3 TC 2 Q 15 3kN
22:10
例2-5 已知：不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN
22:10
解： 1.取轮子为研究对象，画其受力图。可知轮子所受 的力系为平面汇交力系。
根据平面汇交力系平衡的几何条件，可知该力系所组 成的力多边形封闭。据此，可绘出一封闭的力四边形。
图中，
： FB sin θ F
30
F =11.34kN
解得： A
F =10kN,
合力作用点为力 系的汇交点。
22:10
平面汇交力系的平衡方程
平面汇交力系平衡条件：
R X 2 Y 2 0
所以，平面汇交力系的平衡方程为：
X 0 Y 0
22:10
例2-3 已知：平面共点力系如图所示。 求：用解析法求此力系的合力。
解：
Rx X F1 cos30 F2 cos60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3N Ry Y F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
求：平衡时，杆AB、BC所受的力。
解：取滑轮B为研究对象，画受力图， B点所受力系为平面汇交力系。
建立图示坐标系，由平面汇交力 系平衡的解析条件，有：
X 0 : F F cos 60 F cos30 0
BA
1
2
Y 0 : FBC F1 sin 60 F2 sin 30 0
1、力在坐标轴上的投影
力在 x 轴上的投影：
Fx F cosθ
y
力在 y 轴上的投影：
Fy F sin 且有： F Fx2 Fy2
θ
22:10
a
b
注：力在坐标轴上的投影 为代数量，其值可正、可 x 负、可为零。
2、力沿轴的分解
分解依据：力的平行四边形法则
y
所以有： F Fx F y
又： F F P
1
2
解得： F 7.321kN BA
F 27.32kN BC
22:10
例2-6 已知：F=3kN, l=1500mm, h=200mm.忽略自重； 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力以及 AB杆所受的力。
解：1、取AB、BC杆为研究对象，可知二者为二力杆。
2、取销钉B为研究对象，画出其受力图，则有：
22:10
解析法：
Rx
X F1
1 10
F2
2 2
F3
F4
2 1.848kN 5
Ry
Y F1
3 10
F2
2 2
F4
1 68.678kN 5
R Rx2 Ry2 68.793kN
合力R与x轴的夹角为：
arctan Ry 180 91.54 Rx
Y 0 T2 sin QND 0 ②
由①得
cos
T1 T2
P 2P
1 2
600
由②得
ND Q T2 sin Q 2P sin 600 Q 3P
22:10
P33/2-2用几何法和解析法图示四个力的合力。已知： F1=60kN ， F2=80kN ， F3=50kN ， F4=100kN 。
第二章 汇交力系
福建农林大学交通学院
22:10
第二章 汇交力系
前章回顾 §2-1 几何法 平衡条件 §2-2 解析法 平衡方程
22:10
前章回顾
1、力、刚体、平衡、约束等概念 2、力学公理 3、约束及约束力 4、受力分析及受力图
22:10
力系分类
力系分类
平面 空间
汇交力系 平行力系 力偶系 任意力系
F
注：力沿轴分解后得到 x 的是分力（矢量）。
一个力在没有限制的情况下，可以分解为无数组力。 只有在正交坐标系下，分力的大小才等于投影。
22:10
二、合力投影定理(重点)
合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影 的代数和。
y
x
可见: Rx Fx X
同理，有 Ry Fy Y
解得：
Fcx
F cos 2sin
F 2
ctgθ
Fl 2h
11.25kN
Y 0 : F CBsin FCy 0
解得：
Fcy
F 2
1.5kN
22:10
例2-7 已知如图重力P、Q，求平衡时 =？ 地
面的反力ND=？
解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为
X 0 T2cos T10 ①
共线力系
平面汇交力系：各力的作用线都在同一平 面内且汇交于一点的力系。
研究方法：几何法，解析法。
22:10
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、概念与工程实例 平面汇交力系：各力共面，且汇交于一点。
A
22:10
O
C P (a)
B TA
O，
TO
，
TB
TA
B
O
A
C
TB
P
(b)
(c)
二、汇交力合成（步骤）：
R Rx2 Ry2 171.3N
tan θ Ry 0.87 Rx
θ 41
22:10
例2-4:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、
AC的拉力。
B
300 C
600
y
A
A.
x
解：
Q Q
(1)取研究对象 -------力系的汇交点A
(2)作受力图 (3)建立坐标系
3、根据平面汇交力系平衡 的几何条件，可绘出一封闭 的力三角形。如图示。则：
arctan BE arctan 1 26.5650
AB
2
或
由三角形正弦定理，得：
FC 28.3kN FA 22.4kN
22:10
§2-2 平面汇交力系合成与平衡 的解析法（坐标法）
一.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
22:10
三、平面汇交力系合成的解析法
由合力投影定理可知，合力在两正交轴上的投影等于各分 力在相应轴上投影的代数和。即：
Rx Fx X Ry Fy Y
合力 R ： R Rx2 Ry2 ( X )2 ( Y )2
合力 R 的方向：
arctan Y X
1、力在刚体上的可传性，汇交力系就转化为共点力系；
2、据平行四边形法则求合力R。 合力为各力的矢量和，即
F1
R
F2
Fi
F1
F2
O F3
Fn
O F3
Fn
R
22:10
三、力三角形规则和力多边形规则
这种依据力三角形求合力的方法称为力三角形规则。 注：力三角形只是一种矢量运算方法，不能完全表 示力系的真实作用情况。
例如：一平面汇交力系，作其力多边形
由图可知，该力多边形封闭，所以该平面汇交力系为
平衡力系。
F2
F3
F1
Fn
F2
F1
O F3
O Fn F i
Fi
22:10
例2-1:
已知：轮重P =20kN，轮半径R =0.6m,障碍物高h =0.08m: 求：1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？ 3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
22:10
P34/2-13 两根相同钢管C、D，两端各用铅垂立柱挡
在斜坡上，每管重4kN。求：管作用在每根立柱上
的压力 。
解：建立如图坐标系，画D
A C
管受力图，将力投影到x轴
D
x
X 0 NCD GD cos 60 0
NCD GD cos 60 2kN
B 30 °
画C管受力图 X 0
D
NCD GD
N
ND GC
C N cos30 NDC GC cos 60 0
NDC NC
N 4 / cos30 8
3 3
kN
因有两根立柱，每根立柱上
的压力为N/2=2.31kN
22:10
B
22:10
FA FB cos θ P
2.碾子拉过障碍物，应有 F 0 A 根据平面汇交力系平衡的几何条件，可知该力系所
组成的力多边形封闭。据此，可绘出一封闭的力三边形。
于是，有： F P tanθ 11.55kN
P
P
3.要使力F取得最小值（即最省力）
力F 应与FB垂直，如图示。
于是，有：Fmin P sin θ 10kN
22:10
例2-2 已知：AC=CB，P=10kN,
P
各杆自重不计；
求：CD杆及支座A的受力。
解：1.取CD杆为研究对象，
可知其为二力杆。
2、取AB杆为研究对象，
依据三力平衡汇交定理
知，P、FA、FC汇交于一
P
点，据此可绘出AB杆的
受力图。
22:10
22:10
依据力三角形规则，平面汇交力系也可合成如下：
F2
F3
F2
F3
F1
F1
O
O
Fn
Fn
R
R
合力R为力多边形的封闭边
若将各个“过程合力”略去，则F1、F2、……Fn与它 们的合力R就构成一个力多边形。这种合成方法称为力 多边形规则。
22:10
四、平面汇交力系平衡的几何条件
平衡几何条件： R Fi 0 即：力多边形自行封闭
X 0:
FBA cos θ FBC cos θ 0
解得：
F F
BA
BC
Y 0:
F sin θ F sin θ F 0
BA
BC
解得：
FBA FBC
F
2sin
11.35kN
22:10
3、选压块C为研究对象，画出其受力图，则有：
X 0 : FCB cos θ Fcx 0
X 0 TB sin 600 TC sin 300 0
(4)列平衡方程
Y 0 TB cos 600 TC cos 300 Q 0
(5)解方程，得：
TB
Q 2
15kN
3 TC 2 Q 15 3kN
22:10
例2-5 已知：不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN
22:10
解： 1.取轮子为研究对象，画其受力图。可知轮子所受 的力系为平面汇交力系。
根据平面汇交力系平衡的几何条件，可知该力系所组 成的力多边形封闭。据此，可绘出一封闭的力四边形。
图中，
： FB sin θ F
30
F =11.34kN
解得： A
F =10kN,
合力作用点为力 系的汇交点。
22:10
平面汇交力系的平衡方程
平面汇交力系平衡条件：
R X 2 Y 2 0
所以，平面汇交力系的平衡方程为：
X 0 Y 0
22:10
例2-3 已知：平面共点力系如图所示。 求：用解析法求此力系的合力。
解：
Rx X F1 cos30 F2 cos60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3N Ry Y F1 sin 30 F2 sin 60 F3 sin 45 F4 sin 45 112.3N
求：平衡时，杆AB、BC所受的力。
解：取滑轮B为研究对象，画受力图， B点所受力系为平面汇交力系。
建立图示坐标系，由平面汇交力 系平衡的解析条件，有：
X 0 : F F cos 60 F cos30 0
BA
1
2
Y 0 : FBC F1 sin 60 F2 sin 30 0
1、力在坐标轴上的投影
力在 x 轴上的投影：
Fx F cosθ
y
力在 y 轴上的投影：
Fy F sin 且有： F Fx2 Fy2
θ
22:10
a
b
注：力在坐标轴上的投影 为代数量，其值可正、可 x 负、可为零。
2、力沿轴的分解
分解依据：力的平行四边形法则
y
所以有： F Fx F y
又： F F P
1
2
解得： F 7.321kN BA
F 27.32kN BC
22:10
例2-6 已知：F=3kN, l=1500mm, h=200mm.忽略自重； 求：平衡时，压块C对工件与地面的压力以及 AB杆所受的力。
解：1、取AB、BC杆为研究对象，可知二者为二力杆。
2、取销钉B为研究对象，画出其受力图，则有：