北京四中高三上学期文科数学期中考试试卷(附答案)

又 g (1) = 1 − 4 ln 2 < 0，g (2) = 2 > 0，所以存在唯一的 x0 ∈ (1, 2)，使得 g (x0) = 0． 综上，存在唯一的 x0 ∈ (1, 2)，使得曲线 y = f (x) 在点 (x0, f (x0)) 处的切线的斜率为 f (2)−f (1)． (3) f (1.01) > −2.01．
2
[6
即 f (x) 的递减区间为： kπ +
2 π , kπ +
2π ] , k ∈ Z，
[ 由 0,
π
]
∩
[ kπ
+
π , kπ +
2π
6]
=
[
π
,
3 +
π
]
,
k
∈ Z，
所以
f
2 (x)
6
[
的递减区间为：
3 π,
π
]6 ．
2
62
19.
(1) 因为 a2 + 6 是 a1 和 a3 的等差中项，
所以 2 (a2 + 6) = a1 + a3，
答案: 2019-10-29 — 参考答案
12345678
CDCCAABB 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. 1 − 3i 10. ∀x ∈ (0, +∞)，都有 lg x ⩽ 0 成立 11. π
6 12. y√= x 13. 5
5 14. ①②
15.
(1) 由 x − 5 ⩽ 0，得 −1 < x ⩽ 5， x+1
3
A. π
B. π
C. π
6
4
2
D. 2π 3
5. 设 −→m，−→n 为非零向量，则“存在负数 λ，使得 −→m = λ−→n ”是“−→m · −→n < 0”的 ( )
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件

1, x > 0
6. 设 x ∈ R，定义符号函数 sgn (x) = 0−,1,
3
|a| =
．
14. 对于函数 f (x)，若存在一个区间 A = [a, b]，使得 {y | y = f (x) , x ∈ A} = A，则称 A 为 f (x) 的一个稳定区
间，相应的函数 f (x) 的“局部稳定函数”，给出下列四个函数：① f (x) = tan π x；② f (x) = 1 − x2；③ 4
当a
>
3
(
0 时，函数 f (x) 的单调增区间是 −∞,
2
) ，(2,
+∞)；单调减区间是
(
2
,
) 2．
当a
<
0
时，函数
f
(x)
的单调增区间是
(
2
,
)3 2 ，单调减区间是
( −∞,
2
)3 ，(2, +∞)．
3
3
(2) 因为 f (x) 所以当 x = 2
= ax (x − 时，f (x)
2)2 (x ∈ R) 取得极大值
f (x) = ex − 1；{④ f (x) = ln (x − 1)，}所有“局部稳定函数”的序号是
．
15. 已知集合 A = x x − 5 ⩽ 0, x ∈ R ，B = {x | x2 − 2x − m < 0}，
(1) 当
m
=
3
x+1 时，求 A ∩
( ∁R
B)；
(2) 若 A ∩ B = {x | − 1 < x < 4}，求实数 m 的值．
．
11.
已知向量
−→a
=
( 1,
√3)，−→b
=
(√ 3,
1)，则
−→a
与
−→ b
夹角的大小为
．
12. 设函数 f (x) = x3 + (a − 1) x2 + ax．若 f (x) 为奇函数，则曲线 y = f (x) 在点 (0, 0) 处的切线方程为 ．
13. 已知角 α 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有点 A (1, a)，且 cos 2α = 2 ，则
即
S△ABC
=
1 AB
2
×
AC
× sin 60◦ √
1
3
=
2
×5×8 √
×
2
= 10 3.
17. (1) 因为 f (x) = ax3 − 4ax2 + 4ax， 所以 f ′ (x) = 3ax2 − 8ax + 4a = a (3x − 2) (x − 2)．
令 f ′ (x) = 0，得 x = 2 或 x = 2．
即方程 2x ln x + x − 4 ln 2 = 0 在区间 (1, 2) 上有唯一解．
设函数 g (x) = 2x ln x + x − 4 ln 2，则 g′ (x) = 2 ln x + 3．
当 x ∈ (1, 2) 时，g′ (x) > 0，故 g (x) 在区间 (1, 2) 上单调递增．
(2) 若函数 f (x) 有极大值 32，求实数 a 的值．
18.
已知函数
f
(x)
=
cos
x
( cos
x
+
√ 3
sin
x)．
(1) 求 f (x) 的最小正周期；
[ (2) 当 x ∈ 0,
π
] 时，求函数 f (x) 的单调递减区间．
2
19. 已知数列 {an} 是公比为
1 3
的等比数列，且 a2 + 6 是 a1 和 a3 的等差中项．
B. y = 1 x
C. y = lg x
D. y = cos x
3. 执行如图所示的程序框图．若输出的结果是 16，则判断框内的条件是 ( )
A. n > 6?
B. n ⩾ 7?
C. n > 8?
D. n > 9?
4. 在，则 C 为 ( )
(2√
2
)
f (x) = 3 sin 2x + 1 + cos 2x ，
f
(2 (x) = sin 2x +
π
) +
1
2 ，
62
T = 2π = 2π = π，
|ω| 2
f (x) 的最小正周期为 π．
(2) 当 2kπ + π ⩽ 2x + π ⩽ 2kπ + 3π , k ∈ Z 时，函数 f (x) 单调递减，
又因为 0 < A < π，所以 A = 60◦．
(2) 在 △ABC 中，
因为
BC2 = AB2 + AC2 − 2AB × AC × cos 60◦,
BC = 7, AC = 5,
所以 49 = AB2 + 25 − 5AB，
即 AB2 − 5AB − 24 = 0，故 AB = 8 或 AB = −3（舍），
有极大值 32，即 2
3a2(，2而−f2()22)
= =
0， 32，所以
a
=
27．
当a
=
3
(
27 时，由（1）知，f (x) 在 −∞,
2
)3
3 增，在
(
2
,
) 2
递减，符合题设．
3
3
18. (1)
f
(x)√=
√ 3
sin
x
cos
x
+
cos2
x，
f (x) = 3 sin 2x + 1 + cos 2x ，
16. 已知
△ABC
的三个内角分别为
A，B ，C ，且
2sin2
(B
+
C)
=
√ 3
sin
2A．
(1) 求 A 的度数；
(2) 若 BC = 7，AC = 5，求 △ABC 的面积 S．
17. 已知实数 a ̸= 0，函数 f (x) = ax (x − 2)2 (x ∈ R)． (1) 求函数 f (x) 的单调区间；
所以有 42 − 2 × 4 − m = 0，解得 m = 8．
此时 B = {x | − 2 < x < 4}，符合题意，故实数 m 的值为 8．
16.
(所1)以因2为sin22sAin=2 (2B√+3
C) sin
=
√ 3
sin
2A，
A cos A，
又即所因以ta为nsiAnsiA=n A=√̸=√3，30c，os A，
证明如下：首先证明：当 x > 1 时，f (x) > −x − 1．
设 h (x) = f (x) − (−x − 1) = x2 ln x − x + 1，则 h′ (x) = x + 2x ln x − 1．
当 x > 1 时，x − 1 > 0，2x ln x > 0，所以 h′ (x) > 0，故 h (x) 在 (1, +∞) 上单调递增，
所以 A = {x | −
当m 所以
=3 A∩
(时，B) ∁RB
1 < x ⩽ 5}． = {x | − 1 < x = {x | 3 ⩽ x ⩽
< 3}，则 5}．
∁RB
=
{ x
|
x
⩽
−1
或
x
⩾
3}，
(2) 因为 A = {x | − 1 < x ⩽ 5}，A ∩ B = {x | − 1 < x < 4}，
π
,
x
∈
) R
的部分图象如图所示，则函数表达
2
式为 ( A. y =
−4
) sin
(
π
x−
π
)
B. y = −4 sin ( π x + π )
C.
y
= 4 sin ( π
8 x−
π
4)
D.
y
( = 4 sin
8 π x+
π 4)
84
84

8. 已知函数
f
(x)
=
x2 − 2x log2 x,
+
所以当 n = 3 或 n = 4 时，Tn 取得最大值，
Tn 的最大值为 T3 = T4 = a1 · a2 · a3 = 729．
20.
(1) 函数 f (x) = x2 ln x−2x 的定义域是 (0, +∞)，导函数为 f ′ (x) = 2x ln x+x−2．所以 f ′ (1) = −1，
2,
x ⩽ 2 ，若 ∃x0 ∈ R，使得 f (x0) ⩽ 5m − 4m2 成立，则实数 m 的取值范 x>2
围为[ ( A. −1,
1 ])
4
B.
[
1
] ,1
4
C.
[ −2,
1]
4
D.
[
1
] ,1
3
9.i 为虚数单位，计算 (−3 − i) i =
．
10. 命题“∃x ∈ (0, +∞)，使得 lg x > 0 成立”的否定是
所以 x > 1 时，有 h (x) > h (1) = 0，即当 x > 1 时，有 f (x) > −x − 1．
所以 f (1.01) > −1.01 − 1 = −2.01．
(1) 求 {an} 的通项公式；
(2) 设数列 {an} 的前 n 项之积为 Tn，求 Tn 的最大值．
20. 已知函数 f (x) = x2 ln x − 2x． (1) 求曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； (2) 求证：存在唯一的 x0 ∈ (1, 2)，使得曲线 y = f (x) 在点 (x0, f (x0)) 处的切线的斜率为 f (2) − f (1)； (3) 比较 f (1.01) 与 −2.01 的大小，并加以证明．
x = 0 ，则下列等式正确的是 ( x<0
)
A. sin x · sgn (x) = sin |x|
B. sin x · sgn (x) = |sin x|
C. |sin x| · sgn (x) = sin |x|
D. sin |x| · sgn (x) = |sin x|
( 7. 函数 y = A sin (ωx + φ) ω > 0, |φ| <
北京四中高三上学期文科数学期中考试试卷
1. 设函数 y
=
√ x
−
2018
的定义域为
M
，函数
y
=
ex
的值域为
P ，则 M
∩P
=(
)
A. (0, +∞)
B. [2018, +∞)
C. [0, +∞)
D. (2018, +∞)
2. 在下列函数中，是偶函数，且在 (0, 1) 内单调递减的是 ( )
A. y = 2x
又 f (1) = −2，所以曲线 y = f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y = −x − 1．
(2) 由已知 f (2) − f (1) = 4 ln 2 − 2．
所以只需证明方程 2x ln x + x − 2 = 4 ln 2 − 2 在区间 (1, 2) 上有唯一解．
因所为以数2 (列a3{1a+n}6是) 公= 比a1为+
1 的等比数列， 3 a1 ， 9
解得 a1 = 27，
所以 an = a1 · qn−1 =
(2)
令
an
⩾
1，即
(
1 3
(
1
)n−4 ．
)n3−4
⩾ 1，得
n
⩽
4，
故正项数列 {an} 的前 3 项大于 1，第 4 项等于 1，以后各项均小于 1，