2020-2021初三数学上期中第一次模拟试题(含答案)

2020-2021初三数学上期中第一次模拟试题(含答案)
一、选择题
1．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
2．如图A ，B ，C 是上的三个点，若，则等于（ ）
A ．50°
B ．80°
C ．100°
D ．130° 3．用配方法解方程2410x x -+=，配方后的方程是 ( ) A ．2(2)3x +=
B ．2(2)3x -=
C ．2(2)5x -=
D ．2(2)5x += 4．抛物线y=﹣（x +2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是
（ ） A ．（﹣5，﹣3） B ．（﹣2，0） C ．（﹣1，﹣3） D ．（1，﹣3）
5．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ）
A ．0a ≥
B ．10a +>
C ．10a -<
D ．210a +<
6．如图所示的暗礁区，两灯塔A ，B 之间的距离恰好等于圆的半径，为了使航船（S ）不进入暗礁区，那么S 对两灯塔A ，B 的视角∠ASB 必须（ ）
A ．大于60°
B ．小于60°
C ．大于30°
D ．小于30°
7．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y ＝14
x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（ ）
A ．252元/间
B ．256元/间
C ．258元/间
D ．260元/间 8．抛物线y ＝2(x －3)2＋4的顶点坐标是( )
A ．(3，4)
B ．(－3，4)
C ．(3，－4)
D ．(2，4)
9．若关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）
A ．12k >且k ≠1
B ．12k >
C ．12k ≥且k ≠1
D ．12
k < 10．如图，图案由三个叶片组成，且其绕点O 旋转120°后可以和自身重合，若三个叶片的总面积为12平方厘米，∠AOB=120°，则图中阴影部分的面积之和为（）平方厘米．
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 11．如图，△ABC 绕点A 旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是
（ ）
A ．DE=3
B ．AE=4
C ．∠ACB 是旋转角
D ．∠CA
E 是旋转角
12．一元二次方程x 2＋2x ＋2＝0的根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．只有一个实数根
D ．没有实数根 二、填空题
13．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=5cm ，BC=12cm ，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为_______cm ．
14．已知一元二次方程x 2＋kx －3＝0有一个根为1，则k 的值为__________．
15．圆锥的底面半径为14cm ，母线长为21cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为_____ 度．
16．若关于x 的一元二次方程()2
2 26k x kx k --+=有实数根，则k 的最小整数值为__________．
17．如图，Rt ABC ∆中，已知90C =o ∠，55B ∠=o ，点D 在边BC 上，
2BD CD =．把线段BD 绕着点D 逆时针旋转α（0180α<<o o ）度后，如果点B 恰好落在Rt ABC ∆的边上，那么α=__________．
18．a 、b 、c 是实数，点A （a+1、b ）、B （a+2，c ）在二次函数y=x 2﹣2ax+3的图象上，则b 、c 的大小关系是b ____c （用“＞”或“＜”号填空）
19．女生小琳所在班级共有40名学生，其中女生占60%.现学校组织部分女生去市三女中参观，需要从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，那么小琳被抽到的概率是 ．
20．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转
90°得到△A'B′C'，其中点B 的运动路径为¼BB
'，则图中阴影部分的面积为_____．
三、解答题
21．如图，AB 为⊙O 的直径，AC 、DC 为弦，∠ACD=60°，P 为AB 延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．
22．关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）当k 为正整数时，求此时方程的根．
23．解方程：2411231
x x x -=+-- 24．我国古代数学著作《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题:“直田积八百六十四步,之云阔不及长十二步,问长阔各几何?”其大意是:“一个矩形田地的面积等
于864平方步,且它的宽比长少12步,问长与宽的各是多少步?”试用列方程解应用题的方法求出问题的解。

25．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0，1)、B(3，3)、C(1，3).
(1) 画出△ABC关于点O的中心对称图形△A1B1C1
(2) 画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2，直接写出点C2的坐标为______.
(3) 若△ABC内一点P(m，n)绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为______.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
试题分析：A选项既是轴对称图形，也是中心对称图形；
B选项中该图形是轴对称图形不是中心对称图形；
C选项中既是中心对称图形又是轴对称图形；
D选项中是中心对称图形又是轴对称图形.
故选B．
考点: 1.轴对称图形；2.中心对称图形．
2．D
解析：D
【解析】
试题分析：根据圆周的度数为360°，可知优弧AC的度数为360°-100°=260°，然后根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可求得∠B=130°．
故选D
考点：圆周角定理
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据配方法可以解答本题．
【详解】
x 2−4x ＋1＝0，
（x−2）2−4＋1＝0，
（x−2）2＝3，
故选：B ．
【点睛】
本题考查解一元二次方程−配方法，解答本题的关键是解一元二次方程的方法．
4．D
解析：D
【解析】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）。

故选D
5．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】
解：A 、∵任何数的绝对值都是非负数，∴0a ≥是必然事件，不符合题意；
B 、∵0a <，∴1a +的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题意；
C 、∵0a <，∴a-1＜-1＜0是必然事件，故C 不符合题意；
D 、∵21a +>0,∴210a +<是不可能事件，故D 不符合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6．D
解析：D
【解析】
试题解析：连接OA ，OB ，AB ，BC ，如图：
∵AB=OA=OB ，即△AOB 为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵∠ACB 与∠AOB 所对的弧都为»AB ，
∴∠ACB=12
∠AOB=30°， 又∠ACB 为△SCB 的外角，
∴∠ACB ＞∠ASB ，即∠ASB ＜30°．
故选D
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据：总利润=每个房间的利润×入住房间的数量-每日的运营成本，列出函数关系式，配方成顶点式后依据二次函数性质可得最值情况．
【详解】
设每天的利润为W 元，根据题意，得：
W=（x-28）（80-y ）-5000
()128804245000x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦⎭ 2112984164
x x =-+- ()2125882254
x =--+， ∵当x=258时，12584222.54y =
⨯-=，不是整数， ∴x=258舍去，
∴当x=256或x=260时，函数取得最大值，最大值为8224元，
又∵想让客人得到实惠，
∴x=260（舍去）
∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元． 故选：B ．
【点睛】
本题考查二次函数的实际应用，利用数学知识解决实际问题，解题的关键是建立函数模型，利用配方法求最值．
8．A
解析：A
【解析】
根据2()y a x h k =-+ 的顶点坐标为(,)h k ，易得抛物线y=2（x ﹣3）2+4顶点坐标是
（3，4）.故选A.
9．A
解析：A
【解析】
【分析】
由根的判别式求出k 的取值范围，再结合一元二次方程的定义，即可得到答案．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程2(1)220k x x -+-=有两个不相等的实数根， ∴224(1)(2)0k ∆=-⨯-⨯->， 解得：12
k >， ∵10k -≠，则1k ≠， ∴k 的取值范围是12k >
且k≠1； 故选：A ．
【点睛】
本题考查了利用根的判别式求参数的取值范围，以及一元二次方程的定义，解题的关键是正确求出k 的取值范围．
10．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据旋转的性质和图形的特点解答．
【详解】
∵图案绕点O 旋转120°后可以和自身重合，∠AOB 为120° ∴图形中阴影部分的面积是图形的面积的
13
， ∵图形的面积是12cm 2，
∴图中阴影部分的面积之和为4cm 2；
故答案为B ．
【点睛】
本题考查了图形的旋转与重合，理解旋转对称图形的定义是解决本题的关键． 11．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据旋转的定义和三角形的性质即可求解．
【详解】
∵△ABC 绕点A 旋转一定角度得到△ADE ，BC=4，AC=3.
∴DE=BC=4；AE=AC=3；∠CAE是旋转角.
故答案选D.
【点睛】
本题考查的知识点是旋转的性质，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质.
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
求出b2-4ac的值，根据b2-4ac的正负即可得出答案．
【详解】
x2+2x+2=0，
这里a=1，b=2，c=2，
∵b2−4ac=22−4×1×2=−4<0，
∴方程无实数根，
故选D.
【点睛】
此题考查根的判别式，掌握运算法则是解题关键
二、填空题
13．【解析】【分析】【详解】∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到
△BDE∴△ABC≌△BDE∠CBD=60°∴BD=BC=12cm∴△BCD为等边三角形
∴CD=BC=BD=12cm在Rt△ACB中AB
解析：【解析】
【分析】
【详解】
∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，
∴△ABC≌△BDE，∠CBD=60°，
∴BD=BC=12cm，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD=BC=BD=12cm，
在Rt△ACB中，=13，
△ACF与△BDF的周长之和=AC+AF+CF+BF+DF+BD=AC+AB+CD+BD=5+13+12+12=42（cm），
故答案为42．
考点：旋转的性质．
14．2【解析】【分析】把x=1代入已知方程列出关于k的新方程通过解新方程来求k的值【详解】∵方程x2+kx−3=0的一个根为1∴把x=1代入得
12+k×1−3=0解得k=2故答案是：2【点睛】本题考查了
解析：2
【解析】
【分析】
把x=1代入已知方程，列出关于k的新方程，通过解新方程来求k的值．
【详解】
∵方程x2+kx−3=0的一个根为1，
∴把x=1代入，得
12+k×1−3=0，
解得，k=2.
故答案是：2.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的知识点，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程解的应用. 15．240【解析】【分析】根据弧长=圆锥底面周长=28πcm圆心角=弧长180母线长π计算【详解】解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×
解析：240
【解析】
【分析】
根据弧长=圆锥底面周长=28πcm，圆心角=弧长⨯180÷母线长÷π计算.
【详解】
解：由题意知：弧长＝圆锥底面周长＝2×14π＝28πcm，
扇形的圆心角＝弧长×180÷母线长÷π＝28π×180÷21π＝240°．
故答案为：240．
【点睛】
此题主要考查弧长=圆锥底面周长及弧长与圆心角的关系，熟练掌握公式及关系是解题关键．
16．3【解析】【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0即可得出关于k的一元一次不等式组解之即可得出k的取值范围【详解】（k-2）x2-
2kx+k-6=0∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx
解析：3
【解析】
【分析】
根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．
【详解】
（k-2）x2-2kx+k-6=0，
∵关于x的一元二次方程（k-2）x2-2kx+k=6有实数根，
∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨----≥⎩
V ＝ ， 解得：k≥32
且k≠2． ∴k 的最小整数值为3.
故答案为：3．
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
17．或【解析】【分析】分两种情况：①当点落在AB 边上时②当点落在AB 边上时分别求出的值即可【详解】①当点落在AB 边上时如图
1∴DB=DB′∴∠B=∠DB′B=55°∴∠BDB′=180°-55°-55°
解析：70o 或120o
【解析】
【分析】
分两种情况：①当点B 落在AB 边上时，②当点B 落在AB 边上时，分别求出α的值，即可．
【详解】
①当点B 落在AB 边上时，如图1，
∴DB=DB ′，
∴∠B=∠DB ′B=55°，
∴α=∠BDB ′=180°-55°-55°=70°；
②当点B 落在AB 边上时，如图2，
∴DB=DB ′=2CD ，
∵90C =o ∠，
∴∠CB ′D=30°，
∴α=∠BDB ′=30°+90°=120°．
故答案是：70o 或120o ．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质和直角三角形的性质定理，画出图形分类讨论，是解题的关键．
18．＜【解析】试题分析：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3则它的对称轴是x=a抛物线开口向上所以在对称轴右边y随着x的增大而增大点A点B均在对称轴右边且a+1<a+2所以b<
解析：＜
【解析】
试题分析：将二次函数y＝x2－2ax＋3转换成y＝(x-a)2-a2＋3,则它的对称轴是x=a,抛物线开口向上，所以在对称轴右边y随着x的增大而增大，点A点B均在对称轴右边且
a+1<a+2,所以b<c.
19．；【解析】【分析】先求出小琳所在班级的女生人数再根据概率公式计算可得【详解】∵小琳所在班级的女生共有40×60=24人∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加小琳被抽到的概率是故答案为
解析：1 24
；
【解析】
【分析】
先求出小琳所在班级的女生人数，再根据概率公式计算可得．【详解】
∵小琳所在班级的女生共有40×60%=24人，
∴从小琳所在班级的女生当中随机抽取一名女生参加，小琳被抽到的概率是1 24
．
故答案为1 24
．
20．【解析】分析：连接DBDB′先利用勾股定理求出DB′=A′B′=再根据S阴=S扇形B DB′-S△DBC-
S△DB′C计算即可详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△AB′C此时点A′在斜边
解析：3 2π
【解析】
分析：连接DB、DB′，先利用勾股定理求出，，再根据S阴=S扇形BDB′-S△DBC-S△DB′C，计算即可．
详解：△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，
连接DB、DB′，
则DB′=2212=5+，A′B′=2222=22+，
∴S 阴=9052531222222=36042
（）ππ⨯-⨯÷--⨯÷-. 故答案为5
342
π-． 点睛：本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）
2933()22
cm p -. 【解析】
【分析】
（1）连接OD ，求出∠AOD ，求出∠DOB ，求出∠ODP ，根据切线判定推出即可． （2）求出OP 、DP 长，分别求出扇形DOB 和△ODP 面积，即可求出答案．
【详解】
解：（1）证明：连接OD ，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD ⊥DP ．
∵OD 为半径，
∴DP 是⊙O 切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm ，
∴OP=6cm ，由勾股定理得：． ∴图中阴影部分的面积
2
2160333()23602
ODP DOB S S S cm p p 创=-=创=V 扇形 22．（1）k ＜2（2）120,2x x ==-
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式即可求出k 的取值范围； （2）根据（1）中的k 的取值范围和k 为正整数得出k 的值，再解方程即可，
【详解】
（1）∵关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴()2
2410k ∆=-->， =8－4k >0.，
∴2k <；
（2）∵k 为正整数，
∴k =1，
解方程220x x +=得，
120,2x x ==-．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程.利用一元二次方程根的判别式与根的关系列出不等式是解题的关键.
23．4x =-
【解析】
【分析】
方程左右两边同时乘以(x+3)(x-1)，将分式方程转化为整式方程，解出x 的值，并检验即可．
【详解】 解：4(3)(1)x x +-－1＝11
x -， 去分母，得：2
4(23)3x x x -+-=+，
整理，得：x 2＋3x －4＝0，
解得：x 1＝－4，x 2＝1．
经检验：x 2＝1是增根，舍去，
∴原方程的解是4x =-．
【点睛】
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根．
24．该矩形长36步，宽24步.
【解析】试题分析：如果设矩形田地的长为x步,那么宽就应该是（x-12）步,根据矩形面积864=矩形的长×矩形的宽4,即可得出方程求解即可.
解：设矩形长为x步，宽为（x-12）步
x（x-12）=864
x2-12x-864=0
解得x1=36，x2=-24（舍）
∴x-12=24
答：该矩形长36步，宽24步
25．（1）作图见解析；（2）作图见解析，（﹣3，1）；（3）（﹣n，m）．
【解析】
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点连线即可；（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到点C2的坐标；
（3）利用（2）中对应点的规律写出Q的坐标．
【详解】
（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，点C2的坐标为（﹣3，1）；
（3）若△ABC内一点P（m，n）绕原点O逆时针旋转90°的对应点为Q，则Q的坐标为（﹣n，m）．
故答案为：（﹣3，1），（﹣n，m）．
【点睛】
本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．。