专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总
常用知识点：
一、常见函数的定义域总结如下：
（1）c bx ax y b
kx y ++=+=2一般形式的定义域：x ∈R
（2）x k y =
分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0
（4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0
二、函数的性质
1、函数的单调性
当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。

当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。

2、 函数的奇偶性
定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-）
(1) 偶函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f =-。

(2) 奇函数)(x f ——D x ∈∀，恒有)()(x f x f -=-。

三、基本初等函数
1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。

2、幂函数：u
x y =， (u 是常数)。

它的定义域随着u 的不同而不同。

图形过原点。

3、指数函数
定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。

4、对数函数
定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。

图形过（1,0）点。

5、三角函数
(1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。

(2) 余弦函数: x y cos =.
π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。

(3) 正切函数: x y tan =.
π=T ， },2)
12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f .
(4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f .
5、反三角函数
(1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2
,2[)(ππ-=D f 。

(2) 反余弦函数: x
y a r cc o s =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。

(3) 反正切函数: x y ar ct an =，),()(+∞-∞=f D ，)2
,2()(ππ-=D f 。

(4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。

极限
一、求极限的方法
1、代入法
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。

”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。

2、传统求极限的方法
（1）利用极限的四则运算法则求极限。

（2）利用等价无穷小量代换求极限。

（3）利用两个重要极限求极限。

（4）利用罗比达法则就极限。

二、函数极限的四则运算法则
设A u x =→λlim ， B v x =→λ
lim ，则 （1）B A v u v u x x x ±=±=±→→→λ
λλlim lim )(lim （2）AB v u v u x x x =⋅=⋅→→→λ
λλlim lim )(lim . 推论
（a)v C v C x x λ
λ→→⋅=⋅lim )(lim ， (C 为常数)。

（b ）n
x n x u u )lim (lim λλ→→= （3）B A v u v u x x x ==→→→λ
λλlim lim lim ， (0≠B ). （4）设)(x P 为多项式n n n a x a x a x P +++=- 110)(， 则)()(lim 00
x P x P x x =→
（5）设)(),(x Q x P 均为多项式， 且0)(≠x Q ， 则 )
()()()(lim 000x Q x P x Q x P x x =→ 三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有：当0→x 时，x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arctan ，x x ~arcsin ，x x ~)1ln(+，x e x ~1-，22
1~cos 1x x -。

对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当0 □
→时， □~ □sin ，其余类似。

四、两个重要极限
重要极限I 1sin lim 0=→x
x x 。

它可以用下面更直观的结构式表示：1 □ □sin lim
0 □=→ 重要极限II e x x x =⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∞→11lim 。

其结构可以表示为：e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→
□ □ □11lim 八、洛必达(L ’Hospital)法则 “00”型和“∞∞”型不定式，存在有A x g x f x g x f a x a x ==→→)
()(lim )()(lim ''（或∞）。

一元函数微分学
一、导数的定义
设函数)(x f y =在点0x 的某一邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量∆x （点x x ∆+0仍在该邻域内）时，相应地函数y 取得增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。

如果当0→∆x 时，函数的增量y ∆与自变量x ∆的增量之比的极限
0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x x
x f x x f ∆-∆+)()(00=）（0x f ' 注意两个符号x ∆和0x 在题目中可能换成其他的符号表示。

二、求导公式
1、基本初等函数的导数公式
（1）0)(='C (C 为常数)
（2）1)(-='αααx x （α为任意常数）
（3）a a a x x ln )(=')1,0(≠>a a 特殊情况x x e e =')(
（4）a
x e x x a a ln 1log 1)(log ==')1,0,0(≠>>a a x ， x x 1)(l n =' （5）x x cos )(sin ='
（6）x x sin )(cos -='
（7）x
x 2'
cos 1)(tan = （8）x x 2'sin 1)(cot -= （9）2'11
)(arcsin x x -=)11(〈〈-x
（10）)11(11
)(arccos 2'〈〈---=x x x
（11）2
'
11)(arctan x x += （12）2'11)cot (x x arc +-= 2、导数的四则运算公式
（1）)()(])()([x v x u x v x u '±'='±
（2）)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='
（3）u k ku '='][（k 为常数）
（4）)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ 3、复合函数求导公式：设)(u f y =, )(x u ϕ=，且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为)().('x u f dx
du du dy dx dy ϕ'=⋅=。

三、导数的应用
1、函数的单调性
0)('>x f 则)(x f 在),(b a 内严格单调增加。

0)('<x f 则)(x f 在),(b a 内严格单调减少。

2、函数的极值
0)('=x f 的点——函数)(x f 的驻点。

设为0x
（1）若0x x <时，0)('>x f ；0x x >时，0)('
<x f ，则)(0x f 为)(x f 的极大值点。

（2）若0x x <时，0)('<x f ；0x x >时，0)('>x f ，则)(0x f 为)(x f 的极小值点。

（3）如果)('x f 在0x 的两侧的符号相同，那么)(0x f 不是极值点。

3、曲线的凹凸性 0)(''>x f ，则曲线)(x f y =在),(b a 内是凹的。

0)(''<x f ，则曲线)(x f y =在),(b a 内是凸的。

4、曲线的拐点
（1）当)(''x f 在0x 的左、右两侧异号时，点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点，此时0)(0''=x f .
（2）当)(''x f 在0x 的左、右两侧同号时，点))(,(00x f x 不为曲线)(x f y =的拐点。

5、函数的最大值与最小值
极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。

四、微分公式
dx x f dy )('=，求微分就是求导数。

一元函数积分学
一、不定积分
1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C 的表达形式。

公式可以用求导公式来记忆。

2、不定积分的性质
（1）)(])(['x f dx x f =⎰或dx x f dx x f d )()(=⎰
（2）C x F dx x F +=⎰
)()('或C x F x dF +=⎰)()( （3）⎰⎰⎰
⎰±±±=±±±dx x x dx x f dx x x x f )()()()]()()([ψϕψϕ 。

（4）dx x f k dx x kf ⎰
⎰=)()(（k 为常数且0≠k ）。

2、基本积分公式（要求熟练记忆）
（1）⎰
=C dx 0
（2）)1(111-≠++=
+⎰a C x a dx x a a . （3）C x dx x +=⎰ln 1.
（4）C a a
dx a x x +=⎰ln 1 )1,0(≠>a a （5）C e dx e x x +=⎰
（6）⎰
+-=C x xdx cos sin （7）⎰
+=C x xdx sin cos （8）
C x dx x +=⎰tan cos 12.
（9）C x dx x +-=⎰cot sin 12. （10）C x dx x +=-⎰arcsin 11
2.
（11）C x dx x +=+⎰arctan 112.
3、第一类换元积分法
对不定微分dx x g ⎰
)(，将被积表达式dx x g )(凑成 )()()()]([)('x d x f dx x x f dx x g ϕϕϕϕ==，这是关键的一步。

常用的凑微分的公式有：
（1）)()(1)(b ax d b ax f a
dx b ax f ++=
+ （2）)()(1)(1b ax d b ax f ka dx x b ax f k k k k ++=⋅+- （3）x d x f dx x x f 21)(=⋅
（4）x d x f dx x x f 1)1(1)1(2-=⋅
（5）)()()(x x x x e d e f dx e e f =⋅
（6）)(ln )(ln 1)(ln x d x f dx x
x f =⋅ （7）)(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f =⋅
（8）)(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f -=⋅
（9）)(tan )(tan cos 1)(tan 2x d x f dx x
x f =⋅
（10）)(cot )(cot sin 1)(cot 2x d x f dx x x f -=⋅ （11）)(arcsin )(arcsin 11
)(arcsin 2x d x f dx x
x f =-⋅ （12）)(arccos )(arccos 11
)(arccos 2x d x f dx x x f -=-⋅
（13）)(arctan )(arctan 11)(arctan 2
x d x f dx x x f =+⋅ （14）))((ln )
()('x d dx x x ϕϕϕ= )0)((≠x ϕ 4、分部积分法
⎰⎰-=vdu uv udv
二、定积分公式
1、（牛顿—莱布尼茨公式） 如果)(x F 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的任意一个原函数，则有)()()( a F b F dx x f b
a -=⎰。

2、计算平面图形的面积
如果某平面图形是由两条连续曲线)(),(21x f y x g y ==及两条直线a x =1和b x =2所
围成的（其中1y 是下面的曲线，2y 是上面的曲线），则
其面积可由下式求出： .)]()([dx x g x f S b
a ⎰-= 3、计算旋转体的体积
设某立体是由连续曲线)0)()((≥=x f x f y 和直
线
)(,b a b x a x <==及x 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。

则该旋转体的体积V 可由下式求出：
.)()(22dx x f dx x f V b
a b a x ⎰⎰==ππ
多元函数微分学
1、 偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。

2、全微分公式：y B x A y x df dz ∆+∆==),(。

3、复合函数的偏导数——利用函数结构图
如果),(y x u ϕ=、),(y x v ψ=在点),(y x 处存在连续的偏导数x u ∂∂ ，y u ∂∂，x v ∂∂ ，y
v ∂∂，且在对应于),(y x 的点),(v u 处，函数),(v u f z =存在连续的偏导数
u z ∂∂，v z ∂∂，则复合函数)],(),,([y x y x f z ψϕ=在点),(y x 处存在对x 及y 的连续偏导数，且
x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂，y
v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂。

4、隐函数的导数
对于方程0),(=y x F 所确定的隐函数)(x f y =，可以由下列公式求出y 对x 的导数'
y ： ),(),('''
y x F y x F y y x -=， 2、隐函数的偏导数
对于由方程0),,(=z y x F 所确定的隐函数),(y x f z =，可用下列公式求偏导数：
),,(),,(''z y x F z y x F x z z x -=∂∂， )
,,(),,('
'z y x F z y x F y z
z y -=∂∂， 5、二元函数的极值
设函数),(00y x f z =在点),(00y x 的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数，且
0),(00'=y x f x ，0),(00'=y x f y 又设A y x f xx =),(00'
'，B y x f xy
=),(00''，C y x f yy =),(00''， 则：
（1）当02
<-AC B 时，函数),(y x f 在点),(00y x 处取得极值，且当0<A
时有极大值，当0>A 时有极小值。

（2）当02
>-AC B 时，函数),(y x f 在点),(00y x 处无极值。

（3）当02
=-AC B 时，函数),(y x f 在点),(00y x 处是否有极值不能确定，要用其它方
法另作讨论。

平面与直线
1、平面方程
（1）平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点),,(0000z y x M ，以},,{C B A n =为法向量的平面方程为
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 称之为平面的点法式方程
（2）平面的一般式方程
0=+++D Cz By Ax 称之为平面的一般式方程 2、特殊的平面方程
0=++Cz By Ax 表示过原点的平面方程 0=++D By Ax 表示平行于Oz 轴的平面方程
0=+By Ax 表示过Oz 轴的平面方程
0=+D Cz 表示平行于坐标平面xOy 的平面方程
3、两个平面间的关系
设有平面 0:11111=+++D z C y B x A π
0:22222=+++D z C y B x A π
平面1π和2π互相垂直的充分必要条件是：0212121=++C C B B A A
4、直线的方程
（1）直线的标准式方程 过点),,(0000z y x M 且平行于向量},,{p n m s =的直线方程
常称},,{p n m s =为所给直线的方向向量
（2）直线的一般式方程
⎩⎨
⎧=+++=+++0
22221111D z C y B x A D z C y B x A 称之为直线的一般式方程 5、两直线间关系
设直线1l ，2l 的方程为
直线1l ，2l 互相垂直的充分必要条件为0212121=++p p n n m m 6、直线l 与平面π间的关系
设直线l 与平面π的方程为
0)()()(:000=-+-+-z z C y y B x x A π
直线l 与平面π平行的充分必要条件为：⎩⎨
⎧≠+++=++00
00D Cp Bn Am Cp Bn Am o
直线l 落在平面π上的充分必要条件为⎩⎨
⎧
=+++=++0
00D Cp Bn Am Cp Bn Am o
将初等函数展开成幂级数
1、定理: 设)(x f 在),(0δx U 内具有任意阶导数,且
称上式为)(x f 在点0x 的泰勒级数。

或称上式为将)(x
f 展开为0x x =的幂级数。

2、几个常用的标准展开式
常微分方程
1、一阶微分方程
（1）可分离变量的微分方程
若一阶微分方程0),,(='y y x F 通过变形后可写成dx x f dy y g )()(= 或 )()(y g x f y ='则称方程0),,(='y y x F 为可分离变量的微分方程. 2、、可分离变量微分方程的解
方程dx x f dy y g )()(=必存在隐式通解C x F y G +=)()(。

其中：
⎰=dy y g y G )()(,⎰=dx x f x F )()(.
即两边取积分。

（2）一阶线性微分方程
1、定义：方程 )()(x Q y x P y =+' 称为一阶线性微分方程. (1) 非齐次方程——0)(≠x Q ； (2) 齐次方程 —— 0)(=+'y x P y .
2、求解一阶线性微分方程
（1）先求齐次方程0)(=+'y x P y 的通解：⎰=-dx x P Ce y )(, 其中C 为任意常数。

（2）将齐次通解的C 换成)(x u 。

即 ⎰=-dx
x P e x u y )()(
（3）代入非齐次方程)()(x Q y x P y =+', 得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰
=⎰
-C dx e x q e y dx
x P dx x P )()()( 2、二阶线性常系数微分方程 （1）可降阶的二阶微分方程 1、)(x f y =''型的微分方程 例3： 求方程x e y x sin 212-=
''的通解.分析：12cos 4
1
C x e dx y y x ++=''='⎰； 212sin 8
1
C x C x e dx y y x +++='=⎰.
2、),(y x f y '=''型的微分方程 解法：
(1) 令y p '=，方程化为 ),(p x f p ='； (2) 解此方程得通解 ),(1C x p ϕ=； (3) 再解方程 ),(1C x y ϕ=' 得原方程的通解 21),(C dx C x y +=⎰
ϕ.
3、),(y y f y '=''型的微分方程 解法：
(1) 令y p '=, 并视p 为y 的函数, 那么dy
dp
p
dx dy dy dp dx dp y =⋅==
'', (2) 代入原方程, 得 ),(p y f dy
dp
p
= (3) 解此方程得通解 ),(1C y p ϕ=；
(4) 再解方程 ),(1C y y ϕ=' 得原方程的通解
21),(C x C y dy
+=⎰ϕ.
例4：求方程02='-''y y y 的通解.
分析：(1) 令y p '=, 并视p 为y 的函数, 那么dy
dp
p
dx dy dy dp dx dp y =⋅==
'', (2) 代入原方程, 得 02=-p dy dp yp
或 y
dy p dp =
(3) 解上方程, 得 C y p ln ||ln ||ln += ⇒ y C p 1=, (C C ±=1). (4) 再解方程 y C y 1=' ⇒
1C y
y ='
⇒ 2
1||ln C x C y '+=. (5) 于是原方程的通解为 x
C e C y 12=, (22C e C '
±=)
（2）常系数线性微分方程
（1）、二阶常系数齐次线性方程0=+'+''qy y p y 的解。

写出特征方程并求解
02=++q pr r .
下面记q p 42
-=∆,21,r r 为特征方程的两个根.
（1）042
>-=∆q p 时, 则齐次方程通解为：
x r x r e C e C y 2121+=。

（2）042
=-=∆q p 时, 则齐次方程通解为
)(2121111x C C e xe C e C y x r x r x r +=+=.
（3）042
<-=∆q p 时,有,1βαi r +=)0( 2≠-=ββαi r ,则齐次方程通解为
).sin cos (21x C x C e y x ββα+=
（2）二阶常系数非齐次方程解法
方程的形式：)(x f qy y p y =+'+'' 解法步骤：
(1) 写出方程的特征方程 02=++q pr r ； (2) 求出特征方程的两个根21,r r ； (3) 原方程的通解如下表所示:
(4) 再求出非齐次方程的一个特解 )(*
x y ；
(5)那么原方程的通解为 )()()(*
2211x y x y C x y C y ++=。