苏教版高中数学选修(2-1)-3.2典型例题：空间向量处理距离问题

空间向量处理距离问题
1．求点点距离
设111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则
||(
AB AB AB x =⋅=
即 ,A B d =
其中,A B d 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。

例1：已知正方体''''ABCD A B C D -，M 、N 分别为'BD 和'CC 中点且MN 是'BD 和'CC 的公垂线段。

求直线'BD 与'CC 间的距离。

证明：不妨设正方体的边长为1，建立空间直角坐标系D xyz -
，则相关各点
坐标为111(,,)222M ，1(0,1,)2
N 。

||
MN =
2
=
=， ∴直线'BD 与'CC 间的距离是
2。

例2：已知平行六面体''''ABCD A B C D -，4AB =，3AD =，'5AA =，
90BAD ∠=︒，''60BAA DAA ∠=∠=︒，求体对角线'AC 长。

解：∵''AC AB AD AA
=++， ∴2|'|(')AC AB AD
AA =++
==∴体对角线'AC 。

例3：已知正方形ABCD 的边长是13，平面ABCD 外的一点P 到正方形各顶
B
C
A
B'
D
C'
A'
D'
点的距离都为13，M 、N 分别是PA 、BD 上的点，且::5:8PM MA BN ND ==。

求线段MN 的长。

解：如图所示，以DB 中点O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -，则相关各
点坐标为A
，B
，(0,D
，(0,0,2P 。

∵::5:8PM MA BN ND ==，
∴0
2)51188M +++
，18
N +，
即M
，N
，(MN =-。

∵25||7MN =
=， ∴线段MN 的长为7。

★异面直线上两点距离公式EF =其中，d 是异面直线a 和b 的距离，θ为a 和b 所成的角，m 、n 分别是异面直线a 、b 上的点E 、
F 到公垂线'AA 与a 、b 的交点A 、'A 的距离。

如果点F (或E )在点A (或'A )的另一侧时，则公式中取“+”号。

例4：如图，在直二面角l αβ--，点A 、B l ∈，AC α⊂且AC l ⊥，BD β⊂且BD l ⊥，若6AC =，8AB
=，24BD =，求线段CD 的长。

解：
CD
==26=， ∴26CD =。

2．求点线距离
B
β
l α
A
D
C。