人教版数学高二A版选修2-1学案 3.1.5空间向量运算的坐标表示

3．1.5 空间向量运算的坐标表示
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．
2.掌握空间
向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直． 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．
[学生用书P60]
1．空间向量的坐标运算
设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)， λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)， a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3．
2．空间向量的平行、垂直及模、夹角 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，
则a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；
|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23
； cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23 b 21＋b 22＋b 23 . 3．空间中两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则A ，B 两点间的距离d AB ＝|AB →|
＝（a 2－a 1）2＋（b 2－b 1）2＋（c 2－c 1）2.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)即使建立的坐标系不同，同一向量的坐标仍相同．( ) (2)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，a ∥b ，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3
b 3
.( )
(3)若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.( ) (4)若
A (x 1，y 1，z 1)，
B (x 2，y 2，z 2)，则|AB →
|＝
AB →·AB
→＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＋（z 2－z 1）2.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( ) A ．a ＋b ＝(10，－5，－6) B ．a －b ＝(2，－1，－6) C ．a ·b ＝10 D.|a |＝6
答案：D
与向量m ＝(0，1，－2)共线的向量是( ) A ．(2，0，－4) B ．(3，6，－12) C ．(1，1，－2) D.⎝⎛⎭
⎫0，1
2，－1 答案：D
已知a ＝(2，1，3)，b ＝(－4，5，x )，若a ⊥b ，则x ＝________． 答案：1
已知A 点的坐标是(－1，－2，6)，B 点的坐标是(1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA →与OB →
的夹角是________．
答案：π
探究点1 空间向量的坐标运算[学生用书P61]
(1)已知a ＝(2，－1，－2)，b ＝(0，－1，4)，求a ＋b ，a －b ，a ·b ，(2a )·(－b )，
(a ＋b )·(a －b )；
(2)已知O 是坐标原点，且A ，B ，C 三点的坐标分别是(2，－1，2)，(4，5，－1)，(－2，2，3)，求适合下列条件的点P 的坐标：
①OP →＝12(AB →－AC →)；②AP →＝12
(AB →－AC →)．
【解】 (1)a ＋b ＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2，2)；
a －
b ＝(2，－1，－2)－(0，－1，4)＝(2－0，－1＋1，－2－4)＝(2，0，－6)； a ·b ＝(2，－1，－2)·(0，－1，4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a )·(－b )＝－2(a ·b )＝－2×(－7)＝14；
(a ＋b )·(a －b )＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8. (2)由题意知，AB →＝(2，6，－3)，AC →
＝(－4，3，1)．
①OP →＝12(AB →－AC →)＝1
2(6，3，－4)＝(3，32，－2)，则点P 的坐标为(3，32
，－2)．
②设P(x，y，z)，
则AP→＝(x－2，y＋1，z－2)．
因为AP→＝1
2(AB
→－AC→)＝(3，3
2
，－2)，
所以
⎩⎪
⎨
⎪⎧x－2＝3
y＋1＝
3
2
，
z－2＝－2
解得x＝5，y＝1
2
，z＝0，
则点P的坐标为(5，1
2
，0)．
关于空间向量坐标运算的两类问题
(1)直接计算问题
首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算．
(2)由条件求向量或点的坐标
首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程(组)，解方程(组)求出其坐标．
1.已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，c＝(1，0，1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝()
A．－1 B．1
C．0 D.－2
解析：选A.因为p＝a－b＝(1，0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0，3，1)，所以p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.
2．已知△ABC中，A(2，－5，3)，AB
→
＝(4，1，2)，BC
→
＝(3，－2，5)，求顶点B、C 的坐标及CA
→
.
解：设B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以AB→＝(x－2，y＋5，z－3)，BC→＝(x1－x，y1－y，z1－z)．
因为AB→＝(4，1，2)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝4y ＋5＝1z －3＝2，解得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝6y ＝－4z ＝5，
所以B 的坐标为(6，－4，5)． 因为BC →
＝(3，－2，5)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－6＝3y 1
＋4＝－2z 1
－5＝5，解得⎩⎪⎨⎪
⎧x 1＝9y 1
＝－6z 1
＝10
，
所以C 的坐标为(9，－6，10)，CA →
＝(－7，1，－7)． 探究点2 坐标形式下的平行与垂直[学生用书P61]
已知空间三点A (－2，0，2)、B (－1，1，2)、C (－3，0，4)．设a ＝AB →，b ＝AC →
. (1)设|c |＝3，c ∥BC →
，求c ；
(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .
【解】 (1)因为BC →＝(－2，－1，2)且c ∥BC →
， 所以设c ＝λBC →
＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R )， 所以|c |＝ （－2λ）2＋（－λ）2＋（2λ）2＝3|λ|＝3.
解得λ＝±1.
所以c ＝(－2，－1，2)或c ＝(2，1，－2)． (2)因为a ＝AB →＝(1，1，0)，b ＝AC →
＝(－1，0，2)， 所以k a ＋b ＝(k －1，k ，2)， k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． 因为(k a ＋b )⊥(k a －2b )， 所以(k a ＋b )·(k a －2b )＝0，
即(k －1，k ，2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52
.
[变条件]将本例(2)中“若k a＋b与k a－2b互相垂直”改为“若k a＋b与a＋k b互相平行”，其他条件不变，求k的值．
解：a＝(－1＋2，1－0，2－2)＝(1，1，0)，
b＝(－3＋2，0－0，4－2)＝(－1，0，2)，
所以k a＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)．
a＋k b＝(1，1，0)＋(－k，0，2k)＝(1－k，1，2k)，
因为k a＋b与a＋k b平行，
所以k a＋b＝λ(a＋k b)，
即(k－1，k，2)＝λ(1－k，1，2k)，
所以
⎩⎪
⎨
⎪⎧k－1＝λ（1－k），
k＝λ·1，
2＝λ·2k，
则
⎩⎪
⎨
⎪⎧k＝－1，
λ＝－1
或
⎩⎪
⎨
⎪⎧k＝1，
λ＝1.
判断空间向量垂直或平行的步骤
(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行．
(2)对于a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，根据两向量坐标间的关系判断两向量是否垂
直；根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)或x1
x2
＝y1
y2
＝z1
z2(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行．
1.已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则()
A．x＝
1
3，y＝1 B．x＝
1
2，y＝－4
C．x＝2，y＝－
1
4 D.x＝1，y＝－1
解析：选B.由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．
因为(a＋2b)∥(2a－b)，所以存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ，4－y ＝λ（－2y －2），解得⎩⎨⎧λ＝4
3
，x ＝12
，y ＝－4.
2．已知空间三点O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (0，1，1)，若直线OA 上的一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为________．
解析：设H (x ，y ，z )，则OH →＝(x ，y ，z )，BH →＝(x ，y －1，z －1)，OA →
＝(－1，1，0)．因为BH ⊥OA ，所以BH →·OA →
＝0，即－x ＋y －1＝0 ①，又点H 在直线OA 上，
所以OA →＝λOH →
，即 ⎩⎪⎨⎪
⎧－1＝λx ，1＝λy ，0＝λz
②，联立①②解得⎩⎨⎧
x ＝－12
，
y ＝12，
z ＝0.
所以点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，1
2，0. 答案：⎝⎛⎭
⎫－12，1
2，0 探究点3 向量夹角与长度的计算[学生用书P62]
如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，在底面△ABC 中，CA ＝CB
＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，N 是A 1A 的中点．
(1)求BN →
的模；
(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→
〉的值．
【解】 如图，以C 为坐标原点，分别以CA →，CB →，CC 1→
为正交基底建立空间直角坐标系Cxyz .
(1)依题意得B (0，1，0)，N (1，0，1)． 所以|BN →|＝
（1－0）2＋（0－1）2＋（1－0）2＝ 3.
(2)依题意得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)． 所以BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→
＝(0，1，2)， 所以BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝ 5. 所以cos 〈BA 1→，CB 1→
〉＝BA 1→·CB 1→
|BA 1→||CB 1
→|＝3010.
利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系． (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标． (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算． (4)转化：转化为夹角与距离问题．
已知空间三点A (1，2，3)，B (2，－1，5)，C (3，2，－5)．
求：(1)向量AB →，AC →
的模； (2)向量AB →，AC →
夹角的余弦值．
解：(1)因为AB →
＝(2，－1，5)－(1，2，3)＝(1，－3，2)， AC →
＝(3，2，－5)－(1，2，3)＝(2，0，－8)， 所以|AB →|＝ 12＋（－3）2＋22＝14，
|AC →|＝
22＋02＋（－8）2＝217.
(2)因为AB →·AC →
＝(1，－3，2)·(2，0，－8) ＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14， 所以cos 〈AB →，AC →
〉＝AB →·AC →
|AB →||AC →|
＝
－14
14×217＝－23834.
因此，向量AB →，AC →
夹角的余弦值为－23834
.
1．已知向量a ＝(0，－1，1)，b ＝(4，1，0)，|λa ＋b |＝29，且λ＞0，则λ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4
D.5
解析：选 B.λa ＋b ＝λ(0，－1，1)＋(4，1，0)＝(4，1－λ，λ)，由已知得|λa ＋b |＝42＋（1－λ）2＋λ2＝29，且λ＞0，解得λ＝3.
2．已知点A (－1，3，1)，B (－1，3，4)，若AP →＝2PB →
，则点P 的坐标是________． 解析：设点P (x ，y ，z )，则由AP →＝2PB →
，得(x ＋1，y －3，z －1)＝2(－1－x ，3－y ，4－z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－2－2x ，y －3＝6－2y ，z －1＝8－2z ，解得⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝－1，y ＝3，z ＝3，即P (－1，3，3)． 答案：(－1，3，3)
3．已知向量a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)，c ＝(2，x ，－4)． (1)判断a ，b 的位置关系； (2)若a ∥c ，求|c |；
(3)若b ⊥c ，求c 在a 方向上的投影的长． 解：(1)因为a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)， 所以b ＝－2a ，所以a ∥b .
(2)因为a ∥c ，所以21＝x 2＝－4
－2，解得x ＝4.
所以c ＝(2，4，－4)，从而|c |＝
22＋42＋（－4）2＝6.
(3)因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即(－2，－4，4)·(2，x ，－4)＝－4－4x －16＝0，解得x ＝－5，
所以c ＝(2，－5，－4)． 所以c 在a 方向上的投影的长为
|c |cos 〈a ，c 〉＝|c |×a ·c |a ||c |＝1×2－2×5＋2×412＋22＋（－2）
2＝2－10＋83＝0.
[学生用书P63]
知识结构深化拓展
对空间向量坐标运算的两点说明
(1)类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、
数乘和数量积与平面向量的类似，学习中可以类比
推广．推广时注意利用向量的坐标表示，即向量在
平面上是用惟一确定的有序实数对表示，即a＝(x，
y)．而在空间中则表示为a＝(x，y，z)．
(2)运算结果：空间向量的加法、减法、数乘坐标运
算结果依然是一个向量；空间向量的数量积坐标运
算的结果是一个实数.
[学生用书P135(单独成册)]
[A基础达标]
1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则a－b＋2c＝()
A．(－9，－3，0) B．(0，2，－1)
C．(9，3，0) D.(9，0，0)
解析：选 C.a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)．
2．已知△ABC的三个顶点为A(3，3，2)，B(4，－3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为()
A．2 B．3
C．4 D.5
解析：选B.设BC边的中点为D，
则AD→＝1
2(AB
→＋AC→)＝(－1，－2，2)，
所以|AD→|＝1＋4＋4＝3.
3．若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x的值为()
A．2 B．－2
C．0 D.1
解析：选A.因为c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，
所以(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝2－2x ＝－2. 所以x ＝2.
4．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1，2，－3k )，B (－2，1，0)，C (4，0，－2k )，则k 的值为( )
A.10 B ．－10 C ．2 5
D.±10
解析：选D.CB →＝(－6，1，2k )，CA →
＝(－3，2，－k )， 则CB →·CA →＝(－6)×(－3)＋2＋2k ×(－k ) ＝－2k 2＋20＝0， 所以k ＝±10.
5．(2018·四川南充高二(下)月考)已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D.150°
解析：选 C.a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝
12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝
a ·c |a ||c |＝－1
2
，〈a ，c 〉＝120°. 6．已知点A (λ＋1，μ－1，3)，B (2λ，μ，λ－2μ)，C (λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＝________，μ＝________．
解析：因为AB →＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC →＝(2，－2，6)，由A ，B ，C 三点共线，得AB →
∥AC →
，即λ－12＝－12＝λ－2μ－36
，解得λ＝0，μ＝0.
答案：0 0
7．在空间直角坐标系中，已知点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 一定是________三角形．
解析：因为AB →＝(3，4，－8)，AC →＝(5，1，－7)，BC →＝(2，－3，1)，所以|AB →|＝32＋42＋（－8）2＝89，|AC →
|＝
52＋12＋（－7）2＝53，|BC →
|＝
22＋（－3）2＋1＝
14，所以|AC →|2＋|BC →|2＝|AB →
|2，所以△ABC 一定为直角三角形． 答案：直角
8．若a ＝(x ，2，2)，b ＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________．
解析：a·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，设a ，b 的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cos θ＝a·b |a ||b |
＜0，又|a |＞0，|b |＞0，所以a·b ＜0，即2x ＋4＜0，所以x ＜－2.又a ，b 不会反向，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
9．已知向量a ＝(x ，4，1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，且a ∥b ，b ⊥c .
(1)求向量a ，b ，c ；
(2)求向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角的余弦值．
解：(1)因为a ∥b ，
所以x －2＝4y ＝1－1
， 解得x ＝2，y ＝－4，
此时a ＝(2，4，1)，b ＝(－2，－4，－1)．
又由b ⊥c 得b·c ＝0，
故(－2，－4，－1)·(3，－2，z )＝－6＋8－z ＝0，
得z ＝2，此时c ＝(3，－2，2)．
(2)由第一问得，
a ＋c ＝(5，2，3)，
b ＋
c ＝(1，－6，1)，
因此向量a ＋c 与向量b ＋c 所成角θ的余弦值为cos θ＝5－12＋338×38
＝－219. 10．已知四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1，1，－
3)，D (3，－5，3)，求证：四边形ABCD 是一个梯形．
证明：因为AB →＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，
CD →＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，
且－24＝3－6＝－36
，所以AB →与CD →共线． 又因为AB 与CD 不共线，所以AB ∥CD .
又因为AD →＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，
BC →＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，
且0－2≠－4－1≠1－2
，所以AD →与BC →不平行． 所以四边形ABCD 为梯形．
[B 能力提升]
11．从点P (1，2，3)出发，沿着向量v ＝(－4，－1，8)方向取点Q ，使|PQ |＝18，则Q 点的坐标为( )
A ．(－7，0，19)
B ．(9，4，－13)
C ．(－7，0，19)或(9，4，－13)
D ．(－1，－2，3)或(1，－2，－3)
解析：选C.设Q (x 0，y 0，z 0)，则PQ →＝λv ，即
(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝λ(－4，－1，8)．
由|PQ |＝18得
（－4λ）2＋（－λ）2＋（8λ）2＝18，
所以λ＝±2，
所以(x 0－1，y 0－2，z 0－3)＝±2(－4，－1，8)，
所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－7，y 0＝0，z 0＝19或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝9，y 0＝4，z 0＝－13.
12．已知O 为坐标原点，OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直
线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )
A.⎝⎛⎭⎫12，34，13
B.⎝⎛⎭⎫12，23，34
C.⎝⎛⎭⎫43，43，83
D.⎝⎛⎭⎫43，43，73
解析：选C.设OQ →＝λOP →，则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λOP →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝OB
→－OQ →＝OB →－λOP →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以QA →·QB →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，
2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝2[3(λ－43)2－13
]． 所以当λ＝43时，QA →·QB →最小，此时OQ →＝43OP →＝(43，43，83)，即点Q 的坐标为(43，43，83
)． 13．已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．
(1)求分别以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；
(2)若向量a 与向量AB →，AC →均垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．
解：(1)因为AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，
所以|AB →|＝
（－2）2＋（－1）2＋32＝14， |AC →|＝12＋（－3）2＋22＝14，
所以cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12
， 所以S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.
(2)设a ＝(x ，y ，z )，
则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，
|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，
解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，
所以a ＝(1，1，1)或(－1，－1，－1)．
14．(选做题)如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°.设AB ＝AP ，在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由．
解：因为P A ⊥平面ABCD ，且AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD .
又AB ⊥AD ，所以AP ，AB ，AD 两两垂直．
以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz .
假设在线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等．连接GB ，
GC，GP，
设AB＝AP＝t，则B(t，0，0)，G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则P(0，0，t)，D(0，4－t，0)．
因为∠CDA＝45°，所以C(1，3－t，0)．
所以GC→＝(1，3－t－m，0)，GD→＝(0，4－t－m，0)，GP→＝(0，－m，t)．
由|GC→|＝|GD→|，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，
即t＝3－m.①
由|GD→|＝|GP→|，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②
由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝0.③
由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，C，D 的距离都相等．。