近年高考数学一轮复习第七章不等式学案文(2021年整理)

（江苏专版）2019版高考数学一轮复习第七章不等式学案文
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第七章不等式
1
(1）作差法错误!
(2）作商法错误!
2．不等式的基本性质
(1）倒数的性质
①a＞b，ab＞0⇒错误!＜错误!。

②a＜0＜b⇒错误!＜错误!.③a＞b＞0，0＜c＜d⇒错误!＞错误!。

④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒错误!＜错误!＜错误!。

(2)有关分数的性质
若a＞b＞0，m＞0，则：①错误!＜错误!；错误!＞错误!（b－m＞0）．②错误!＞错误!；错误!＜错误!（b－m＞0）.
比较两个数（式)的大
小
[例1］ (1)已知a 1，a 2∈（0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是________． (2）若a ＝错误!，b ＝错误!，则a ________b (填“＞”或“＜”）．
[解析］ （1)M －N ＝a 1a 2－（a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1）（a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，
a 2∈（0,1），∴a 1－1＜0，a 2－1＜0.∴(a 1－1)（a 2－1)＞0,即M －N ＞0。

∴M ＞N .
（2)易知a ,b 都是正数,b
a
＝错误!＝log 89＞1,所以b ＞a . ［答案］ (1)M ＞N (2)＜
[方法技巧］ 比较两个数(式)大小的两种方法
不等式的性
质
[例2] (1）1≤f （－1)≤2，2≤f (1)≤4,则f (－2)的取值范围是________．
(2)下列命题：
①若a ＞b ,c ＞d ，则ac ＞bd ； ②若ac ＞bc ，则a ＞b ； ③若错误!＜错误!，则a ＜b ; ④若a ＞b ，c ＞d ，则a －c ＞b －d . 其中正确命题的序号是________．
（3）(2018·兴化八校联考)“x 1＞3且x 2＞3”是“x 1＋x 2＞6且x 1x 2＞9”的________条件． ［解析］ （1）由题意知f (－1）＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，f （－2）＝4a －2b .
设m （a ＋b ）＋n （a －b )＝4a －2b ，则错误!解得错误!∴f (－2)＝（a ＋b ）＋3（a －b ）＝
f (1）＋3f （－1)．
∵1≤f (－1）≤2,2≤f （1）≤4，
∴5≤f （－2）≤10，即f (－2）的取值范围为[5,10］．
（2)取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知①错误；当c＜0时，ac＞bc⇒a＜b，∴②错误；∵错误!＜错误!，∴c≠0，又c2＞0,∴a＜b，③正确;取a＝c＝2，b＝d＝1,可知④错误．（3)x1＞3,x2＞3⇒x1＋x2＞6,x1x2＞9;反之不成立，例如x1＝错误!，x2＝20，x1＋x2＝错误!＞6，x1x2＝10＞9,但x1＜3.故“x1＞3且x2＞3”是“x1＋x2＞6且x1x2＞9”的充分不必要条件．[答案］（1)[5,10］（2)③（3）充分不必要
[方法技巧]
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用．
(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
1。

错误!错误!错误!错误!________．解析:由题意得，B2－A2＝－2错误!≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B。

答案：A≥B
2。

错误!若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的序号是________．
①－n＜m＜n＜－m;②－n＜m＜－m＜n;③m＜－n＜－m＜n；④m＜－n＜n＜－m.
解析：法一：（特殊值法）令m＝－3，n＝2分别代入各不等式中检验即可．
法二:m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．
答案：④
3。

错误!若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论:①ad＞bc；②错误!＋错误!＜0;③a－c ＞b－d；④a（d－c）＞b(d－c)中，成立的个数是________．
解析：∵a＞0＞b，c＜d＜0,∴ad＜0,bc＞0，∴ad＜bc，故①不成立．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a（－c）＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0,∴错误!＋错误!＝错误!＜0，故②成立．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋（－d)，a－c ＞b－d，故③成立．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c）＞b（d－c),故④成立．成立的个数为3。

答案：3
4。

错误!设a，b是实数，则“a＞b＞1"是“a＋错误!＞b＋错误!"的________条件．
解析：因为a＋1
a
－错误!＝错误!，若a＞b＞1，显然a＋错误!－错误!＝错误!＞0，则充分性
成立；当a＝错误!,b＝错误!时，显然不等式a＋错误!＞b＋错误!成立,但a＞b＞1不成立,所以必要性不成立．
答案：充分不必要
突破点(二) 一元二次不等式）
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1．三个“二次"之间的关系
判别式Δ＝b2－
4ac
Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋
bx＋c（a＞0）的图
象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0）
的根有两个相异实根
x
1
，x2(x1＜x2)
有两个相等实根
x
1
＝x2＝－错误!
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a ＞0)的解集｛x|x＜x1或x＞
x
2
｝
错误!R
一元二次不等式
ax2＋bx＋c＜0(a
＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2｝∅∅
(1）不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔错误!或错误!
（2)不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔错误!或错误!
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
一元二次不等式的解
法
[例1] 解下列不等式：
(1）－3x2－2x＋8≥0；
(2）0＜x2－x－2≤4；
(3)ax2－(a＋1）x＋1＜0（a＞0)．
[解］（1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0,
即(3x－4）（x＋2）≤0。

解得－2≤x≤错误!，
所以原不等式的解集为错误!。

(2)原不等式等价于错误!⇔错误!
⇔错误!⇔错误!
借助于数轴,如图所示,
原不等式的解集为错误!.
（3)原不等式变为（ax－1)(x－1）＜0，
因为a＞0，所以a错误!（x－1）＜0。

所以当a＞1，即错误!＜1时，解为错误!＜x＜1；
当a＝1时，解集为∅；
当0＜a＜1，即错误!＞1时,解为1＜x＜错误!。

综上,当0＜a＜1时，不等式的解集为错误!；
当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，不等式的解集为错误!.
［方法技巧]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1）二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0,还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
（2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3）确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系,从而确定解集形式．
由一元二次不等式恒成立求参数
范围
部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．
考法(一）在实数集R上恒成立
[例2] 已知不等式mx2－2x－m＋1＜0，是否存在实数m使得对所有的实数x,不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解］不等式mx2－2x－m＋1＜0恒成立,即函数f（x)＝mx2－2x－m＋1的图象全部在x 轴下方．
当m＝0时，1－2x＜0，则x＞错误!，不满足题意;
当m≠0时，函数f(x）＝mx2－2x－m＋1为二次函数，
需满足开口向下且方程mx2－2x－m＋1＝0无解,
即错误!
不等式组的解集为空集，即m无解．
综上可知不存在这样的实数m使不等式恒成立．
考法(二）在某区间上恒成立
[例3] 设函数f(x)＝mx2－mx－1（m≠0)，若对于x∈［1,3］，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
［解] 要使f(x）＜－m＋5在［1,3］上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即m错误!2＋错误! m－6＜0在x∈[1，3］上恒成立．
法一：令g（x)＝m错误!2＋错误!m－6，x∈[1，3]．
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g（3）＝7m－6＜0.
所以m＜错误!，则0＜m＜错误!.
当m＜0时，g(x）在［1，3]上是减函数，
所以g(x）max＝g（1)＝m－6＜0。

所以m＜6，则m＜0。

综上所述,m的取值范围是错误!。

法二：因为x2－x＋1＝错误!2＋错误!＞0,
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜错误!。

因为函数y＝错误!＝错误!在[1,3］上的最小值为错误!,所以只需m＜错误!即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是mm＜0或0＜m＜错误!.
考法(三）在参数的某区间上恒成立时求变量范围
［例4] 对任意m∈［－1,1],函数f（x)＝x2＋（m－4）x＋4－2m的值恒大于零，求x 的取值范围．
［解] 由f（x）＝x2＋（m－4)x＋4－2m＝（x－2）m＋x2－4x＋4，
令g(m）＝（x－2)m＋x2－4x＋4,
则原问题转化为关于m的一次函数问题．
由题意知在[－1，1]上，g（m）的值恒大于零，
∴错误!
解得x＜1或x＞3.
故当x的取值范围是(－∞，1）∪(3,＋∞)时，对任意的m∈[－1，1],函数f(x)的值恒大于零．
[易错提醒]
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元,谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元,求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数,根据原变量的取值范围列式求解．
1。

错误!错误!
________．
解析：当x≤错误!时，原不等式化为x2＞3－2x,解得x＜－3或1＜x≤错误!；
当x＞错误!时，原不等式化为x2＞(3－2x）2，解得错误!＜x＜3. 综上，x＜－3或1＜x＜3。

答案：（－∞,－3）∪（1,3)
2.错误!已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B,不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，则a＋b等于________．
解析：由题意得，A＝｛x|－1＜x＜3}，B＝｛x｜－3＜x＜2}，∴A∩B＝｛x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知，a＝－1,b＝－2，则a＋b＝－3。

答案：－3
3。

[考点二·考法一］（2018·无锡期初测试）定义在R上的运算：x＊y＝x（1－y)，若不等式（x－y)＊（x＋y)＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是________．解析：∵（x－y）*（x＋y)＝(x－y)（1－x－y)＝x－x2－y＋y2＜1.∴－y＋y2＜x2－x＋1,要使该不等式对一切实数x恒成立，则需有－y＋y2＜(x2－x＋1)min＝错误!，解得－错误!＜y ＜错误!。

答案：错误!
4。

错误!若不等式x2－（a＋1）x＋a≤0的解集是［－4，3］的子集，则a的取值范围是________．
解析：原不等式为（x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为［a,1］,此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求;当a＞1时，不等式的解集为[1,a］，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3.综上可得－4≤a≤3。

答案：［－4,3]
5。

错误!要使不等式x2＋（a－6）x＋9－3a＞0，当｜a|≤1时恒成立，则x的取值范围为________．
解析：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9＞0.令f（a)＝（x －3）a＋x2－6x＋9。

因为f（a）＞0在｜a｜≤1时恒成立，所以①若x＝3，则f(a)＝0,不符合题意，应舍去．②若x≠3，则由一次函数的单调性，可得错误!即错误!解得x＜2或x＞4.
答案：（－∞，2）∪(4，＋∞)
[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考
1．若a＞b＞0,则下列不等式成立的序号有________．
①错误!＜错误!;②|a｜＞|b｜；
③a＋b＜2错误!；④错误!a＜错误!b。

解析:∵a＞b＞0，∴错误!＜错误!，且｜a|＞|b|,a＋b＞2错误!,又f(x)＝错误!x是减函数，∴错误!a＜错误!b.
答案：①②④
2．(2018·启东中学月考）若不等式2kx2＋kx－错误!＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为________．
解析：当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－错误!＜0对一切实数x都成立，则错误!解得－3＜k＜0。

综上,满足不等式2kx2＋kx－错误!＜0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3，0］．答案：(－3,0]
3．不等式组错误!的解集是________．
解析：∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3。

又∵2x2－7x＋6＞0，∴（x－2)(2x－3)＞0，∴x＜错误!或x＞2,∴原不等式组的解集为错误!∪（2,3)．
答案：错误!∪(2，3)
4．已知关于x的不等式ax2＋2x＋c＞0的解集为－1
3
，错误!，则不等式－cx2＋2x－a＞0
的解集为________．
解析：依题意知，错误!∴解得a＝－12，c＝2，∴不等式－cx2＋2x－a＞0,即为－2x2＋2x ＋12＞0，即x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3。

所以不等式的解集为（－2，3）．答案：(－2，3）
［练常考题点——检验高考能力］
一、填空题
1．设集合A＝｛x|x2＋x－6≤0}，集合B为函数y＝
1
x－1
的定义域，则A∩B＝________。

解析:A＝{x｜x2＋x－6≤0}＝｛x｜－3≤x≤2}，由x－1＞0得x＞1，即B＝{x｜x＞1｝,所以A∩B＝{x｜1＜x≤2}．
答案：｛x|1＜x≤2}
2．已知a,b，c∈R，则下列命题正确的序号是________．
①ac2＞bc2⇒a＞b；②错误!＞错误!⇒a＞b；
③错误!⇒错误!＞错误!;④错误!⇒错误!＞错误!.
解析:当ac2＞bc2时,c2＞0，所以a＞b,故①正确；当c＜0时，错误!＞错误!⇒a＜b，故②错误；因为错误!－错误!＝错误!＞0⇔错误!或错误!故④错误，③正确．
答案：①③
3．已知a＞0，且a≠1,m＝aa2＋1,n＝a a＋1，则m,n的大小关系是________．
解析：由题易知m＞0，n＞0，两式作商,得错误!＝a（a2＋1）－（a＋1）＝a a（a－1），当a＞1时,a（a－1)＞0，所以a a(a－1)＞a0＝1,即m＞n;当0＜a＜1时，a（a－1）＜0，所以a a（a－1)＞a0＝1，即m＞n.综上，对任意的a＞0，a≠1,都有m＞n.
答案：m＞n
4．若不等式组错误!的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．
解析:不等式x2－2x－3≤0的解集为[－1，3]，假设错误!的解集为空集，则不等式x2＋4x －(a＋1）≤0的解集为集合｛x｜x＜－1或x＞3}的子集，因为函数f（x）＝x2＋4x－(a＋1)的图象的对称轴方程为x＝－2，所以必有f(－1)＝－4－a＞0，即a＜－4，则使错误!的解集不为空集的a的取值范围是a≥－4.
答案：[－4，＋∞）
5．若不等式x2＋ax－2＞0在区间［1,5］上有解，则a的取值范围是________．
解析：由Δ＝a2＋8＞0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5］上有解的充要条件是f（5）＞0,解得a＞－错误!，故a的取值范围为错误!。

答案：错误!
6．（2018·无锡中学模拟)在R上定义运算：错误!＝ad－bc，若不等式错误!≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
解析:由定义知，不等式错误!≥1等价于x2－x－(a2－a－2）≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立．∵x2－x＋1＝错误!2＋错误!≥错误!,∴a2－a≤错误!，解得－错误!≤a≤错误!，
则实数a的最大值为3 2 .
答案：错误!
7．(2018·姜堰中学月考）若关于x的不等式（2x－1)2＜kx2的解集中整数恰好有2个,则实数k的取值范围是________．
解析：因为原不等式等价于（－k＋4)x2－4x＋1＜0，从而方程(－k＋4)x2－4x＋1＝0的判别式Δ＝4k＞0，且有4－k＞0，故0＜k＜4.又原不等式的解集为错误!＜x＜错误!，且错误!＜错误!＜错误!，则1，2一定为所求的整数解，所以2＜错误!≤3，得k的取值范围为错误!。

答案:错误!
8．若0＜a＜1，则不等式(a－x)错误!＞0的解集是________．
解析：原不等式为(x－a）错误!＜0，由0＜a＜1得a＜错误!,∴a＜x＜错误!。

答案：错误!
9．已知函数f（x）＝错误!为奇函数,则不等式f(x)＜4的解集为________．
解析：若x＞0，则－x＜0，则f(－x)＝bx2＋3x.因为f（x)为奇函数，所以f(－x）＝－f （x)，即bx2＋3x＝－x2－ax，可得a＝－3,b＝－1，所以f（x)＝错误!当x≥0时,由x2－3x＜4解得0≤x＜4；当x＜0时，由－x2－3x＜4解得x＜0，所以不等式f(x）＜4的解集为（－∞,4)．答案:(－∞,4)
10．(2018·盐城中学月考)已知函数f(x）是定义在R上的奇函数,且当x≤0时，f(x）＝－x2－3x，则不等式f(x－1）＞－x＋4的解集是________．
解析：由题意得f(x）＝错误!
f(x－1)＝错误!
即f（x－1)＝错误!
所以不等式f（x－1）＞－x＋4可化为错误!
或错误!解得x＞4。

答案：(4，＋∞)
二、解答题
11．已知f（x)＝－3x2＋a（6－a）x＋6。

(1)解关于a的不等式f（1)＞0；
（2）若不等式f(x)＞b的解集为（－1,3），求实数a，b的值．
解：（1)∵f(x）＝－3x2＋a（6－a)x＋6，
∴f（1）＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，
即a2－6a－3＜0,解得3－23＜a＜3＋2错误!。

∴不等式的解集为{a|3－23＜a＜3＋2错误!}．
(2）∵f(x)＞b的解集为（－1，3）,
∴方程－3x2＋a（6－a）x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴错误!解得错误!
故a的值为3＋错误!或3－错误!，b的值为－3.
12．已知函数f（x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y ＝f x
x
(x＞0)的最小值;
（2）对于任意的x∈[0，2］，不等式f（x）≤a成立，试求a的取值范围．
解：（1）依题意得y＝错误!＝错误!＝x＋错误!－4。

因为x＞0，所以x＋错误!≥2.
当且仅当x＝错误!时，即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2。

所以当x＝1时，y＝错误!的最小值为－2。

（2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1,
所以要使得“对任意的x∈[0,2］，不等式f（x)≤a成立"只要“x2－2ax－1≤0在［0,2］恒成立”．
不妨设g(x）＝x2－2ax－1,
则只要g（x）≤0在［0,2］上恒成立即可．
所以｛g0≤0
g2≤0，
即错误!
解得a≥错误!。

则a的取值范围为错误!.
第二节二元一次不等式(组）与简单的线性规划问题本节主要包括3个知识点：
1。

二元一次不等式组表示的平面区域；
2.简单的线性规划问题;
3.线性规划的实际应用。

基础联通抓主干知识的“源"与“流”1
不等式表示区域
Ax＋By＋C＞0直线Ax＋By＋C＝0某
一侧的所有点组成的平
面区域不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分
2
以上简称为“直线定界,特殊点定域”。

考点贯通抓高考命题的“形"与“神”
求平面区域的面
积
1.
2．求平面区域的面积问题,平面区域形状为三角形的居多，尤其当△ABC为等腰直角三角形(A为直角）时，点B到直线AC的距离即△ABC的腰长|AB|。

由点到直线的距离公式求得|AB|，面积便可求出．
［例1］不等式组错误!表示的平面区域的面积为________．
［解析］
不等式组错误!表示的平面区域如图所示(阴影部分)，△ABC的面积即所求．求出点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B(2，2)，C(3，0）,则△ABC的面积为S＝错误!×(2－1)×2＝1。

[答案］1
[方法技巧］
解决求平面区域面积问题的方法步骤
(1)画出不等式组表示的平面区域；
（2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长（三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割
补法求解．
[提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
根据平面区域满足的条件求
参数
的区域的分界线是一条变动的直线,此时要根据参数的取值范围确定这条直线的变化趋势、倾斜角度、上升还是下降、是否过定点等，确定区域的可能形状,进而根据题目要求求解；如果是一条曲线与平面区域具有一定的位置关系，可以考虑对应的函数的变化趋势,确定极限情况求解；如果目标函数中含有参数，则要根据这个目标函数的特点考察参数变化时目标函数与平面区域的关系，在运动变化中求解．
［例2］若不等式组错误!表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．［解析］不等式组错误!表示的平面区域如图所示(阴影部分)．由错误!得A错误!,错误!；由错误!得B（1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中a的取值范围是0＜a≤1或a≥错误!.
［答案] (0，1］∪错误!
[易错提醒］
此类问题的难点在于参数取值范围的不同导致平面区域或者曲线位置的改变，解答的思路可能会有变化，所以求解时要根据题意进行必要的分类讨论及对特殊点、特殊值的考虑．能力练通抓应用体验的“得”与“失”
错误!错误!
共部分为线段AB，则以AB为直径的圆的面积的最大值为________．
解析:作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，AB长度的最大值为4，则以AB为直径的圆的面积为最大值S＝π×错误!2＝4π。

答案:4π
2。

错误!若不等式组错误!表示的平面区域为三角形，且其面积等于错误!，则m的值为________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，
易求A，B，C，D的坐标分别为A（2，0)，B（1－m，1＋m),C错误!，错误!，D(－2m,0）．S
＝S△ADB－S△ADC＝错误!|AD|·｜y B－y C|＝错误!(2＋2m）错误!＝(1＋m)错误!＝错误!，解得m＝1△ABC
或m＝－3(舍去)．
答案：1
3.错误!不等式组错误!表示的平面区域的面积为________．
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝错误!×2×(2＋2)
＝4.
答案：4
4.错误!若满足条件错误!的整点(x，y）恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,
则整数a的值为________．
解析：
不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a＝0时，只有4个整点(1,1）,(0，0)，
(1，0)，（2,0）;当a＝－1时,增加了（－1，－1),（0，－1）,(1，－1)，（2，－1),（3，－
1）共5个整点，此时,整点的个数共9个，故整数a＝－1.
答案:－1
突破点（二) 简单的线性规划问题
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
1
名称意义
约束条件由变量x,y组成的不等式（组）
线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数关于x,y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解（x，y）
可行域所有可行解组成的集合
最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最
小值问题
2。

简单线性规划问题的图解法
在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答"．即
考点贯通抓高考命题的“形”与“神"
线性目标函数的最
值
[例1］（1）错误!则z＝x＋2y的最大值是________．
（2）(2017·全国卷Ⅱ）设x，y满足约束条件错误!则z＝2x＋y的最小值是________．［解析］（1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示，将直线y＝－错误!＋错误!进行平移,显然当该直线过点A时z取得最大值，由错误!解得错误!即A（－3,4),所以z max＝－3＋8＝5。

（2)法一：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．易求得可行域的顶点A（0，1)，B(－6，－3），C（6，－3），当直线z＝2x＋y过点B（－6,－3)时，z取得最小值，z min＝2×（－6）－3＝－15.
法二：易求可行域顶点A(0，1），B（－6，－3），C(6,－3），分别代入目标函数，求出对应的z的值依次为1,－15,9，故最小值为－15。

[答案] (1）5 (2）－15
［方法技巧]
求解线性目标函数最值的常用方法
线性目标函数的最优解一般在平面区域的顶点或边界处取得，所以对于一般的线性规划问题，若可行域是一个封闭的图形,我们可以直接解出可行域的顶点,然后将坐标代入目标函数求出相应的数值，从而确定目标函数的最值；若可行域不是封闭图形还是需要借助截距的几何意义来求最值．
非线性目标函数的最
值
错误!错误!
________．
(2）若变量x，y满足错误!则x2＋y2的最大值是________．
[解析] （1）画出可行域如图所示，错误!等价于点（x，y)到点（2,0）连线的斜率，又k AB＝－2,k BO＝0，从而错误!∈[－2,0]．
(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内点到原点距离的平方，由错误!得A(3,－1),由图易得(x2＋y2)max ＝|OA｜2＝32＋(－1）2＝10。

［答案] （1）［－2,0] (2)10
［方法技巧]
非线性目标函数最值问题的常见类型及求法
(1）距离平方型：目标函数为z＝（x－a)2＋（y－b)2时，可转化为可行域内的点（x，y)与点（a，b）之间的距离的平方求解．
(2）斜率型：对形如z＝错误!(ac≠0）型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z＝错误!·
错误!的形式，将问题化为求可行域内的点（x，y）与点错误!连线的斜率的错误!倍的取值范围、最值等．
（3）点到直线距离型：对形如z＝｜Ax＋By＋C｜型的目标函数,可先变形为z＝错误!·错误!的形式，将问题化为求可行域内的点（x，y）到直线Ax＋By＋C＝0的距离的错误!倍的最值.
线性规划中的参数问
题
错误!
y的最大值为4,则a＝________。

[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z＝ax ＋y的最大值为4,则最优解为x＝1,y＝1或x＝2，y＝0，经检验知x＝2，y＝0符合题意，∴2a＋0＝4，此时a＝2。

[答案］2
[方法技巧］
求解线性规划中含参问题的两种基本方法
（1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或范围；
(2）先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件,确定最优解的位置，从而求出参数．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
1。

(2017·全国卷Ⅰ)设，满足约束条件错误!则＝3－2的最小值为________．
解析：
画出不等式组错误!
所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线y＝错误!x－错误!过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由错误!解得错误!
∴z min＝－5.
答案：－5
2。

错误!已知(x,y）满足错误!则k＝错误!的最大值为________．
解析：
如图,不等式组错误!表示的平面区域为△AOB的边界及其内部区域，k＝错误!＝错误!表示平面区域内的点(x，y)和点(－1，0）连线的斜率．由图知，平面区域内的点（0，1）和点(－1,0）连线的斜率最大,所以k max＝错误!＝1.
答案：1
3。

错误!（2018·银川模拟）设z＝x＋y，其中实数x，y满足错误!若z的最大值为6,则z 的最小值为________．
解析：
作出实数x,y满足的平面区域,如图中阴影部分所示,由图知，当目标函数z＝x＋y经过点C(k，k）时，取得最大值，且z
＝k＋k＝6，得k＝3.当目标函数z＝x＋y经过点B(－6，3)
max
时，取得最小值,且z min＝－6＋3＝－3.
答案：－3
4。

错误!（2018·苏州月考）设x，y满足条件错误!若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为2，则错误!＋错误!的最小值为________．
解析：
不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax＋by＝z(a＞0，b＞0）过直线x－y ＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点（4，6）时,目标函数z＝ax＋by（a＞0，b＞0）取得最大值2，即2a＋3b＝1，而错误!＋错误!(2a＋3b）＝13＋6错误!≥25。

答案：25
5。

错误!设x，y满足约束条件错误!则z＝(x＋1)2＋y2的最大值为________．
解析：
作出不等式组错误!表示的平面区域，如图中阴影部分所示．
(x＋1）2＋y2可看作点（x,y）到点P（－1，0）的距离的平方，由图可知可行域内的点A 到点P(－1，0)的距离最大．
解方程组错误!得A点的坐标为(3，8），
代入z＝(x＋1）2＋y2，得z max＝(3＋1)2＋82＝80.
答案：80
突破点(三）线性规划的实际应用
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
解线性规划应用题的一般步骤
考点贯通抓高考命题的“形”与“神"
线性规划的实际应
用
［典例］A 需要甲材料1。

5 kg,乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0。

3 kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为________元．
［解析］设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为错误!即错误!
目标函数为z＝2 100x＋900y,
由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．
作直线2 100x＋900y＝0，即7x＋3y＝0并上下平移,易知当直线经过点M时，z取得最大值，联立错误!解得B(60，100)．
则z max＝2 100×60＋900×100＝216 000（元)．
[答案] 216 000
[方法技巧］
求解线性规划应用题的三个注意点
（1）明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x,y 是否为整数、是否为非负数等．
(3）正确地写出目标函数,一般地,目标函数是等式的形式．
能力练通抓应用体验的“得”与“失”
错误!
年计划招聘教师最多x名,则x＝________。

解析：
如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线b＋a＝0,并平移，结合a,b∈N，可知当a＝6,b＝7时，a＋b取最大值,故x＝6＋7＝13。

答案:13
2．A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时;B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时,乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．
解析：设生产A产品x件，B产品y件，则x，y满足约束条件错误!生产利润为z＝300x ＋400y。

画出可行域，如图中阴影部分(包含边界）内的整点，显然z＝300x＋400y在点M或其附近的整数点处取得最大值，
由方程组错误!解得错误!则z max＝300×3＋400×2＝1 700。

故最大利润是1 700元．
答案：1 700
3．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为________万元。

甲乙原料限额
A（吨)3212
B（吨）128
解析：
设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有错误!z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示,
由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值,最大值为3×2＋4×3＝18。

答案:18
4．制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100％和50％，可能的最大亏损率分别为30％和10％，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1。

8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元才能使可能的盈利最大？
解：设分别向甲、乙两项目投资x万元，y万元，由题意知错误!目标函数z＝x＋0。

5y,作出可行域如
图所示，作直线l0：x＋0。

5y＝0，并作平行于直线l0的一组直线x＋0。

5y＝z，z∈R，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x＋0.5y＝0的距离最大,这里M点是直线x＋y＝10和0。

3x＋0。

1y＝1。

8的交点,解方程组错误!解得x＝4，y＝6，此时z＝1×4＋0。

5×6＝7（万元) ∵ 7＞0，∴当x＝4，y＝6时z取得最大值．
∴投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1。

8万元的前提下，使可能的盈利最大．
[课时达标检测］重点保分课时——一练小题夯双基,二练题点
过高考
1．不等式组错误!所表示的平面区域的面积等于________．解析：平面区域如图中阴影部分所示．。