江苏省连云港、徐州、宿迁三市高三数学下学期第三次模

2015年江苏省连云港、徐州、宿迁三市高考数学三模试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程。

请把答案写在答题卡的指定位置上。

1．已知复数z=i（3+4i）（i为虚数单位），则z的模为．
2．已知集合A={﹣1，3}，B={2，4}，则A∩B= ．
3．如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图．根据国家标准，污染指数在区间[0，51）内，空气质量为优；在区间[51，101）内，空气质量为良；在区间[101，151）内，空气质量为轻微污染；…，由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有
天．
4．执行如图所示的程序框图，则输出k的值是．
5．已知集合A={0，1}，B={2，3，4}，若从A，B中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为．
6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5=26，S4=28，则a10的值为．
7．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为．
8．已知双曲线C的离心率为2，它的一个焦点是抛物线x2=8y的焦点，则双曲线C的标准方程为．
9．f（x）=sin（ωx+）（0＜ω＜2），若f（）=1，则函数f（x）的最小正周期为．
10．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．
11．如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为上任
意一点，则•的取值范围是．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是．
13．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m 的最大值是．
14．函数f（x）=a x﹣x2（a＞1）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题，计90分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内。

15．在△ABC在，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，sinA=cosB．
（1）求tanB的值；
（2）若c=，求△ABC的面积．
16．如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD．
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，N为线段CD中点，求证：EN∥平面BDM．
17．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相
垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α（0＜α＜）．
（1）为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；（2）为节省建设成本，试确定E，F的位置，使PE+PF的值最小．
18．如图，已知椭圆M：=1（a＞b＞0），其离心率为，两条准线之间的距离为．B，
C分别为椭圆M的上、下顶点，过点T（t，2）（t≠0）的直线TB，TC分别与椭圆M交于E，F 两点．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）若△TBC的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．
19．设正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n=+a n，n∈N*．正项等比数列{b n}满足：b2=a2，
b4=a6．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求所有正整数m的值，使得
恰好为数列{c n}中的项．
20．已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+b，其中a，b为常数．
（1）当a=﹣1时，若函数f（x）在[0，1]上的最小值为，求b的值；
（2）讨论函数f（x）在区间（a，+∞）上的单调性；
（3）若曲线y=f（x）上存在一点P，使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直，求a的取值范围．
选修4-1：几何证明选讲
21．如图，已知直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．证明：DB=DC．
（选修4-2：矩阵与交换）
22．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=．求曲线xy=1在矩阵A所对应的变换作用下所得的曲线方程．
（选修4-4：坐标系与参数方程）
23．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）
=2．求C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π．
（选修4-5：不等式选讲）
24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．
[必做题]每小题10分，计20分。

请把答案写在答题卡的指定区域内。

25．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点．
（1）求线段PQ长度的最小值；
（2）当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值．
26．设a，b，n∈N*，且a≠b，对于二项式
（1）当n=3，4时，分别将该二项式表示为﹣（p，q∈N*）的形式；
（2）求证：存在p，q∈N*，使得等式=﹣与（a﹣b）n=p﹣q同时成立．
2015年江苏省连云港、徐州、宿迁三市高考数学三模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。

不需写出解答过程。

请把答案写在答题卡的指定位置上。

1．已知复数z=i（3+4i）（i为虚数单位），则z的模为 5 ．
考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
解答：解：复数z=i（3+4i）=3i﹣4．
∴|z|==5．
故答案为：5．
点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．
2．已知集合A={﹣1，3}，B={2，4}，则A∩B= {2} ．
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：根据交集的运算定义计算即可．
解答：解：集合A={﹣1，3}，B={2，4}，
∴A∩B={2}；
故答案为：{2}
点评：本题考查了交集的运算，属于基础题．
3．如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图．根据国家标准，污染指数在区间[0，51）内，空气质量为优；在区间[51，101）内，空气质量为良；在区间[101，151）内，空气质量为轻微污染；…，由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有28 天．
考点：频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：根据频率和为1，利用频率=，求出对应的频率与频数即可．
解答：解：根据频率分布直方图，得；
该市11月份空气污染指数在100内的频率为
1﹣×10=，
∴该市11份空气质量为优或良的天数有：
30×=28．
故答案为：28．
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．
4．执行如图所示的程序框图，则输出k的值是 4 ．
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=12时不满足条件S＜12，退出循环，输出k的值为4．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
k=1，S=0
满足条件S＜12，S=2，k=2
满足条件S＜12，S=6，k=3
满足条件S＜12，S=12，k=4
不满足条件S＜12，退出循环，输出k的值为4．
故答案为：4．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基础题．
5．已知集合A={0，1}，B={2，3，4}，若从A，B中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：集合合A={0，1}，B={2，3，4}，从A，B中各取任意一个数，取法总数为6，这两个数之和不小于4的情况有2种，由此能求出两个数之和不小于4的概率
解答：解：集合A={0，1}，B={2，3，4}，从A，B中各取任意一个数，
取法总数为：2×3=6，
这两个数之和不小于4的情况有，0+4，1+3，1+4共3种，
∴这两个数之和不小于4的概率p==，
故答案为：
点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意古典概型概率计算公式的合理运用6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3+a5=26，S4=28，则a10的值为37 ．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，再由等差数列的通项公式求得a10的值．
解答：解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，
由a3+a5=26，S4=28，得：
，解得：．
∴a10 =a1+9d=1+36=37．
故答案为：37．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．
7．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为﹣2 ．
考点：分段函数的应用；函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：直接利用分段函数化简求解即可．
解答：解：函数f（x）=，
则f（﹣1）=，
f（f（﹣1））=f（）=log2=﹣2．
故答案为：﹣2．
点评：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．
8．已知双曲线C的离心率为2，它的一个焦点是抛物线x2=8y的焦点，则双曲线C的标准方程为y2﹣．
考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用抛物线的焦点坐标得到双曲线的焦距，然后利用离心率求出a，b，即可求解双曲线方程．
解答：解：抛物线x2=8y的焦点为（0，2），双曲线C的一个焦点是抛物线x2=8y的焦点，
所以c=2，双曲线C的离心率为2，所以a=1，则b=，
所求双曲线方程为：y2﹣．
故答案为：y2﹣．
点评：本题考查圆锥曲线方程的综合应用，考查计算能力．
9．f（x）=sin（ωx+）（0＜ω＜2），若f（）=1，则函数f（x）的最小正周期为4π．
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：由条件求得ω=，f（x）=sin（x+），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．
解答：解：由于f（x）=sin（ωx+）（0＜ω＜2），f（）=sin（+）=1，
∴+=2kπ+ k∈z，即ω=3k+，∴ω=，f（x）=sin（x+），
故函数f（x）的最小正周期为=4π，
故答案为：4π．
点评：本题主要考查根据三角函数的值求角，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．
10．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：由等积法证明，然后利用棱锥的体积公式求得答案．解答：解：如图，
连接B 1C，则，
又，
∴，
∵AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，
∴．
点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题．
11．如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为上任意一点，则•的取值范围是[，] ．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由题意，设∠AOM=θ，将所求用向量表示，利用向量的数量积公式表示
为θ的代数式，利用正弦函数的有界性求范围．
解答：解：由题意，设∠AOM=θ，
则•=（）（）=
=+4﹣2cosθ﹣2cos（120°﹣θ）
=﹣cosθ﹣sinθ
=﹣2sin（θ+30°），
因为θ∈[0，120°]，所以（θ+30°）∈[30°，150°]，
所以sin（θ+30°），
所以•的取值范围是[，]；
故答案为：[，]．
点评：本题考查了向量的数量积运算以及三角函数的恒等变形求范围；关键是将所求用向量的夹角表示，借助于三角函数的有界性求范围．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是0≤a≤3 ．
考点：点与圆的位置关系；两点间的距离公式．
专题：计算题；直线与圆．
分析：设M（x，y），利用MA2+MO2=10，可得M的轨迹方程，利用圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，可得两圆相交或相切，建立不等式，即可求出实数a的取值范围．
解答：解：设M（x，y），
∵MA2+MO2=10，
∴x2+（y﹣2）2+x2+y2=10，
∴x2+（y﹣1）2=4，
∵圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，
∴两圆相交或相切，
∴1≤≤3，
∴0≤a≤3．
故答案为：0≤a≤3．
点评：本题考查轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，确定M的轨迹方程是关键．
13．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m 的最大值是．
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可．
解答：解：由题意知：可行域如图，
又∵m（x2+y2）≤（x+y）2在可行域内恒成立．
且m≤=1+=1+=1+，故只求z=的最大值即可．
设k=，则有图象知A（2，3），
则OA的斜率k=，BC的斜率k=1，
由图象可知即1≤k≤，
∵z=k+在1≤k≤，
上为增函数，
∴当k=时，z取得最大值z=+=，
此时1+=1+=1+=，
故m≤，
故m的最大值为，
故答案为：
点评：本题主要考查线性规划、基本不等式、还有函数知识考查的综合类题目．在解答过程当中，同学们应该仔细体会数形结合的思想、函数思想、转化思想还有恒成立思想在题目中的体现．
14．函数f（x）=a x﹣x2（a＞1）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是1＜a＜．
考点：函数的零点与方程根的关系．
专题：综合题；导数的综合应用．
分析： x＜0时，必有一个交点，x＞0时，由a x﹣x2=0，可得lna=，构造函数，确定函
数的单调性，求出1＜a＜时有两个交点，即可得出结论．
解答：解：x＞0时，由a x﹣x2=0，可得a x=x2，∴xlna=2lnx，
∴lna=，
令h（x）=，则h′（x）==0，可得x=e，
∴函数在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减，
∴h（x）max=h（e）=，
∴lna＜，
∴1＜a＜时有两个交点；
又x＜0时，必有一个交点，
∴1＜a＜时，函数f（x）=a x﹣x2（a＞1）有三个不同的零点，
故答案为：1＜a＜．
点评：本题考查函数的零点，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
二、解答题：本大题共6小题，计90分。

解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内。

15．在△ABC在，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，sinA=cosB．
（1）求tanB的值；
（2）若c=，求△ABC的面积．
考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：（1）由cosC=，C∈（0，π），可得sinC=，由A+B+C=π，可得sinA=sin
（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，又sinA=cosB．即可得出tanB．
（2）由（1）知tanB=，可得sinB，cosB．利用正弦定理得，又sinA=cosB，
利用S=bcsinA即可得出．
解答：解：（1）∵cosC=，C∈（0，π），
∴sinC==，
∵A+B+C=π，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=，
又sinA=cosB．
∴cosB=，
∴tanB=．
（2）由（1）知tanB=，∴，cosB=．
由正弦定理得，=，
又sinA=cosB=，
S=bcsinA==．
点评：本题考查了正弦定理、两角和差的正弦函数、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
16．如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD．
（1）求证：AB⊥平面ADE；
（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，N为线段CD中点，求证：EN∥平面BDM．
考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）证明AB⊥AE，AB⊥AD，利用直线与平面垂直的判定定理证明AB⊥平面ADE．（2）连AN交BD于F点，连接FM，证明EN∥FM，利用直线与平面平行的判定定理证明EN∥平面BDM．
解答：证明：（1）∵AE⊥平面ECD，CD⊂平面ECD．
∴AE⊥CD．又∵AB∥CD，∴AB⊥AE．…（2分）
在矩形ABCD中，AB⊥AD，…（4分）
∵AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ADE，
∴AB⊥平面ADE．…（6分）
（2）连AN交BD于F点，连接FM，…（8分）
∵AB∥CD且AB=2DN，
∴AF=2FN，…（10分）
又AM=2ME∴EN∥FM，…（12分）
又EN⊄平面BDM，FM⊂平面BDM．
∴EN∥平面BDM．…（14分）
点评：本题考查直线与平面平行的判定定理以及直线与平面垂直的判定定理的应用，考查逻辑推理能力．
17．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相
垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α（0＜α＜）．
（1）为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；（2）为节省建设成本，试确定E，F的位置，使PE+PF的值最小．
考点：三角形中的几何计算．
专题：解三角形．
分析：（1）借助三角函数求出△PAE与△PFB的面积，利用基本不等式性质，求出E，F的位置；
（2）借助三角函数求出PE+PF，利用导数求出当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．解答：（1）在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，AP=8，则AE=8tanα．
所以S△APE=PA×AE=32tanα．…（2分）
同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，PB=1，则BF=
所以S△PBF=PB×BF=．…（4分）
故△PAE与△PFB的面积之和为32tanα+…（5分）
32tanα+≥2=8
当且仅当32tanα=，即tanα=时取等号，
故当AE=1km，BF=8km时，△PAE与△PFB的面积之和最小．…（6分）
（2）在Rt△PAE中，由题意可知∠APE=α，则PE=
同理在Rt△PBF中，∠PFB=α，则PF=
令f（α）=PE+PF=+，0＜α＜…（8分）
则f′（α）==（10分）
f′（α）=0得tanα=
所以tanα=，f（α）取得最小值，…（12分）
此时AE=AP•tanα=8×=4，BF=
当AE为4km，且BF为2km时，PE+PF的值最小．…（14分）
点评：本题考查了学生解三角形的能力，基本不等式的性质和导数的应用，本题对学生的综合应用知识的能力有较高的要求．
18．如图，已知椭圆M：=1（a＞b＞0），其离心率为，两条准线之间的距离为．B，
C分别为椭圆M的上、下顶点，过点T（t，2）（t≠0）的直线TB，TC分别与椭圆M交于E，F 两点．
（1）求椭圆M的标准方程；
（2）若△TBC的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．
考点：椭圆的简单性质．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a，b，c的关系，计算即可得到；（2）分别求出直线PB，TC的方程，代入椭圆方程，求得交点E，F的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值．
解答：解：（1）由题意得e==，=，
解得a=2，c=，b=1，
则椭圆方程为+y2=1；
（2）由B（0，1），C（0，﹣1），T（t，2），
则直线TB：y=x+1，代入椭圆方程可得，（1+）x2+x=0，
解得x E=，
直线TC：y=x﹣1，代入椭圆方程可得x F=，
k====•=•
=，
令t2+12=m＞12，则k==1+﹣≤，
当且仅当m=24，即t=±2时，取得“=”，
所以k的最大值为．
点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程和椭圆方程，求得交点，同时考查三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．
19．设正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n=+a n，n∈N*．正项等比数列{b n}满足：b2=a2，
b4=a6．
（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（2）设c n=，数列{c n}的前n项和为T n，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{c n}中的项．
考点：数列的求和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）利用递推式、等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）由题意得c n=，可得T2m=（a1+a3+…+a2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）=3m+m2﹣1．T2m﹣1=T2m﹣b2m=3m﹣1+m2﹣1，可得≤3，故若使得恰好为数列{c n}中的项，只
能为c1，c2，c3．分类讨论即可得出．
解答：解：（1）∵a n＞0，当n=1时，a1=+，解得a1=1．
由S n=+a n，
当n≥2，S n﹣1=，
两式相减，得=0．
又∵a n＞0，∴a n+a n﹣1≠0，
∴a n﹣a n﹣1=1，
∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1，
∴a n=1+（n﹣1）=n．
由b2=a2，b4=a6．
∴q2===3，q＞0．
∴q=，
∴b n==．
（2）由题意得c n=，
∴T2m=（a1+a3+…+a2m﹣1）+（b2+b4+…+b2m）
=+
=3m+m2﹣1．
T2m﹣1=T2m﹣b2m=3m+m2﹣1﹣2×3m﹣1=3m﹣1+m2﹣1，
∴==3﹣≤3，
故若使得恰好为数列{c n}中的项，只能为c1，c2，c3．
（i）若3﹣=1，则3m﹣1=0，∴m无解．
（ii）若3﹣=2，可得3m﹣1+1﹣m2=0，
显然m=1不符合题意，m=2符合题意．
当m≥3时，即f（m）=3m﹣1+1﹣m2，则f′（m）=3m﹣1ln3﹣2m，
设g（m）=3m﹣1ln3﹣2m，则g′（m）=3m﹣1（ln3）2﹣2＞0，
即f′（m）为增函数，故f′（m）≥f′（3）＞0，即f（m）为增函数，
故f（m）＞f（3）=1＞0，
故当m≥3时，方程3m﹣1+1﹣m2=0无解，即m=2是方程唯一解．
（iii）若3﹣=3，则m2=1，即m=1．
综上所述：m=1或m=2．
点评：本题考查了递推式、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列的单调性，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．
20．已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+b，其中a，b为常数．
（1）当a=﹣1时，若函数f（x）在[0，1]上的最小值为，求b的值；
（2）讨论函数f（x）在区间（a，+∞）上的单调性；
（3）若曲线y=f（x）上存在一点P，使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直，求a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）当a=﹣1时，求出函数的导数，利用函数f（x）在[0，1]上单调递减，推出b 的关系式，求解b即可．（2）利用导函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a，求出
极值点两个不等实根x1，2=，①当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上无实根
时，②当方程f′（x）=0在区间（﹣∞，a]与（a，+∞）上各有一个实根时，③当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上有两个实根时，分别求解a的范围即可．
（3）设P（x1，f（x1）），则P点处的切线斜率m1=x12+2ax1﹣1，推出Q点处的切线方程，化简，得x1+2x2=﹣3a，通过两条切线相互垂直，得到（4x22+8ax2+3a2﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1．求解x22+2ax2﹣1≥﹣（a2+1），然后推出a的范围即可．
解答：解：（1）当a=﹣1时，f′（x）=x2﹣2x﹣1，所以函数f（x）在[0，1]上单调递减，…（2分）
由f （1）=，即﹣1﹣1+b=，解得b=2．…（4分）
（2）f′（x）=x2+2ax﹣1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴为x=﹣a，
因为△=4a2+4＞0，f′（x）=0有两个不等实根x1，2=，…（5分）
①当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上无实根时，有
解得．…（6分）
②当方程f′（x）=0在区间（﹣∞，a]与（a，+∞）上各有一个实根时，
有：f′（a）＜0，或，解得．…（8分）
③当方程f′（x）=0在区间（a，+∞）上有两个实根时，有，
解得．
综上：当时，f（x）在区间（a，+∞）上是单调增函数；
当时，f（x）在区间（a，）上是单调减函数，在区间（，+∞）上是单调增函数
当时，f（x）在区间（a，），（，+∞）上是单调增函数，在区间（，）上是单调减函数． (10)
（3）设P（x1，f（x1）），则P点处的切线斜率m1=x12+2ax1﹣1，
又设过P点的切线与曲线y=f（x）相切于点Q（x2，f（x2）），x1≠x2，则Q点处的切线方程为y﹣f（x2）=（ x22+2ax2﹣1）（x﹣x2），
所以f（x1）﹣f（x2）=（ x22+2ax2﹣1）（x1﹣x2），
化简，得x1+2x2=﹣3a．…（12分）
因为两条切线相互垂直，所以（x12+2ax1﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1，
即（4x22+8ax2+3a2﹣1）（x22+2ax2﹣1）=﹣1．
令t=x22+2ax2﹣1≥﹣（a2+1），则关于t的方程t（4t+3a2+3）=﹣1在t∈[﹣（a2+1），0）上有解，…（14分）
所以3a2+3=﹣4t﹣≥4（当且仅当t=﹣时取等号），
解得a2≥，
故a的取值范围是．…（16分）
点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，函数的零点的应用，考查转化思想以及计算能力．
选修4-1：几何证明选讲
21．如图，已知直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．证明：DB=DC．
考点：与圆有关的比例线段；弦切角．
专题：推理和证明．
分析：连接DE，交BC于点G．通过弦切角定理，得∠ABE=∠BCE，然后利用勾股定理可得DB=DC．解答：证明：如图，连接DE，交BC于点G．
由弦切角定理，得∠ABE=∠BCE．…（4分）
而∠ABE=∠CBE，故∠CBE=∠BCE，所以BE=CE．…（6分）
又因为DB⊥BE，所以DE为圆的直径，
所以∠DCE=90°，由勾股定理可得DB=DC．…（10分）
点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线的应用，勾股定理的应用，考查推理能力．（选修4-2：矩阵与交换）
22．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=．求曲线xy=1在矩阵A所对应的变换作用下所得的曲线方程．
考点：逆变换与逆矩阵．
专题：矩阵和变换．
分析：根据矩阵变换的特点代入计算即可．
解答：解：设xy=1上任意一点（x，y）在矩阵A所对应的变换作用下对应的点（x′，y′），则=A﹣1=，
由此得，
代入方程xy=1，得y′2﹣x′2=2．
所以xy=1在矩阵A所对应的线性变换作用下的曲线方程为y2﹣x2=2．
点评：本题考查矩阵的变换等知识，注意解题方法的积累，属于基础题．
（选修4-4：坐标系与参数方程）
23．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）
=2．求C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π．
考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：运用同角的平方关系，可得C1的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C2的直角坐标方程，联立方程组，可得交点，再由直角坐标和极坐标的关系，即可得到所求点的极坐标．
解答：解：将消去参数α，得（x﹣2）2+y2=4，
所以C1的普通方程为：x2+y2﹣4x=0．
由ρcos（θ+）=2，即为（ρcosθ﹣ρsinθ）=2，
则曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0．
由，解得或，
所以C1与C2交点的极坐标分别为（4，0）或（2，）．
点评：本题考查参数方程，极坐标方程和普通方程的互化，同时考查曲线交点的求法，考查运算能力，属于基础题．
（选修4-5：不等式选讲）
24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．
考点：不等式的证明．
专题：证明题；不等式的解法及应用．
分析：利用基本不等式，再相加，即可证得结论．
解答：证明：∵a，b，c都是正数，
∴a2b2+b2c2≥2ab2c，a2b2+c2a2≥2a2bc，c2a2+b2c2≥2abc2
∴2（a2b2+b2c2+c2a2）≥2ab2c+2a2bc+2abc2
∴a2b2+b2c2+c2a2≥ab2c+a2bc+abc2
∴≥abc．
点评：本题考查利用基本不等式证明不等式，考查学生的计算能力，属于基础题．
[必做题]每小题10分，计20分。

请把答案写在答题卡的指定区域内。

25．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点．
（1）求线段PQ长度的最小值；
（2）当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值．
考点：直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：取BD中点E，连结AE，CE，说明CE⊥BD，证明AE⊥CE，得到AE⊥平面BCD，以EB，EC，EA分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
（1）设P（a，0，0）求出向量表达式，然后求解模的最值．
（2）由（1）知，求出平面ACD的一个法向量为，然后利用向量的
数量积，求解故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值．
解答：解：取BD中点E，连结AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，AE=CE=，
∵AC=，∴AE2+CE2=AC2，∴△ACE为直角三角形，∴AE⊥CE，
∴AE⊥平面BCD…（2分）
以EB，EC，EA分别为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（0，，0），A（0，0，），…（3分）
（1）设P（a，0，0），，
则
，
==…（5分）
当a=0，时，PQ长度最小值为…（6分）
（2）由（1）知，设平面ACD的一个法向量为=（x，y，z），
由，得，化简得，取
设PQ与平面ACD所成角为θ，则==．
故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为…（10分）
点评：本题考查直线与平面所成角的求法，空间距离公式的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．
26．设a，b，n∈N*，且a≠b，对于二项式
（1）当n=3，4时，分别将该二项式表示为﹣（p，q∈N*）的形式；
（2）求证：存在p，q∈N*，使得等式=﹣与（a﹣b）n=p﹣q同时成立．
考点：二项式定理的应用．
专题：二项式定理．
分析：（1）当n=3，4时，利用二项式定理把二项式表示为﹣（p，q ∈N*）的形式．
（2）分n为奇数、n为偶数两种情况，分别把展开，综合可得结论；同理可得=+，从而证得p﹣q=（a﹣b）n．
解答：（1）当n=3时，=（a+3b）﹣（b+3a）=﹣；
当n=4时，=a2﹣4a+6ab﹣4b+b2=（a2+6ab+b2）﹣4（a+b）=﹣，
显然是﹣（p，q∈N*）的形式．
（2）证明：由二项式定理得=•（﹣1）i•••，
若n为奇数，则=[•+••b+…+••]﹣[•+•+…+•]，分析各项指数的奇偶性易知，可将上式表示为μ﹣λ的形式，其中μ，λ∈N*，
也即=﹣=﹣，其中 p、q∈N*．
若n为偶数，则=[•+••b+…+•]﹣[•+•+…++…+••]，类似地，可将上式表示为μ′﹣λ′的形式，其中μ′，λ′∈N*，
也即=﹣=﹣，其中 p、q∈N*．
所以存在p，q∈N*，使得等式=﹣，
同理可得可以表示为=+，
从而有p﹣q=（﹣）（﹣）=•=（a﹣b）n，
综上可知结论成立．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。