惠州市2013届高三考试数学(理科) 答案

惠州市2013届高三第二次调研考试
数学（理科）参考答案与评分标准
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分
1．【解析】1.提示:因为(1)1z i i i =+=-+,所以(1)1z i i i =+=-+对应的点在复平面的第二象限. 故选B ． 2．【解析】由M
N ≠∅可知39m -=-或33m -=,故选A ．
3．【解析】3133
6()2
s a a ==
+且312a a d =+，14a =，2d ∴=.故选C 4．【解析】由//a b ，得cos 2sin 0αα+=，即1tan 2α=-，所以tan()34
π
α-=-，
故选B
5．【解析】注意,a b 的正负号.故选D ． 6.【解析】椭圆的右焦点为(2,0)F ，22
p
∴
=，即4p
=，故选D 7．【解析】前四年年产量的增长速度越来越慢， 知图象的斜率随x 的变大而变小，
后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，,故选B ．
8.【解析】由题可知(
)11x
f x e =->-，2
2
()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有
()()f a g b =，则()(1,1]g b ∈-
，即2431b b -+->-
，解得22
b <
<A ．
二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只选做一题． 9．(
10．12 11．
3
5
12．9 13． ()∞+,1 14．
159．【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
12660000112log 0log 62
x x
x x x x x >⎧>⎧>⎧⎪⎪
⇒⇒<≤⎨⎨⎨-≥≤⎩⎪⎪≤=⎩⎩。

10．【解析】2
32()x x -的展开式中的常数项即2232
22132()
()T C x x
-+=-。

11．【解析】连接1,DF D F ，则//DF AE ,所以DF 与1D F 所成的角即为异面直线所成的角，
设边长为2，则
1DF D F =1DD F 中13
cos 5
D FD =
=.
12．【解析】222
2,2(),2x x x x h x x x
⎧>=⎨≤⎩，由数形结合可知，当24x <<时, ()2h x x =所以有(3)9h =
13．【解析】目标函数ax y z -=可变为直线y ax z =+，斜率为a ，仅在点()3,5处取得
最小值,只须1a >
14．【解析】直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程()2
2(1)24x y -+-=
AB ∴=
15．【解析】先用切割线定理求出BC 的长度,然后距离d =
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）
解：（1）由题意得3sin cos 1m n A A =-=………2分
2sin()16A π-= ， 1
sin()62
A π-= ………4分
由A 为锐角 ， 得(,)6
63A π
ππ
-
∈-
,,663
A A πππ
-== ………6分
（2）由（1）可得1
cos 2
A = ………7分 所以()cos 22sin f x x x =+ 2
12sin 2sin x x =-+ 2132(sin )22
x =--+ ………9分
因为x R ∈，则sin [1,1]x ∈-，
当1sin 2
x =时，()f x 有最大值3
2. 当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-， ………11分
故所求函数()f x 的值域是3
[3,]2
-. ………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有
39
C 种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有3
5C 种，……2分 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 3
539537
114242
C P C =-=-=
……4分 （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为0，100，200，300。

（单元：元） ……6分
0ξ=表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以311(0)()28
P ξ===，……7分
同理可得 1
2
2233113113(100)()(),(200)()()22
8228P C P C ξξ==⋅=
==⋅=,
311
(300)()28P ξ===
……9分
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
1331
()01002003001501808888
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=< …………11分
故促销方案对商场有利。

…………12分
18．（本小题满分14分）
（1）证明: 连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD ,
∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点.
∵D 为AC 的中点，∴OD 为1AB C ∆的中位线, ∴ 1//OD AB . …… 2分 ∵111,OD BC D AB BC D ⊂⊄平面平面, ∴11//AB BC D 平面. …… 4分 (2)解: 依题意知，12AB BB ==，
∵1111,AA ABC AA AAC C ⊥⊂平面平面,
G
F
E
O
D
C 1
A 1
B 1
C
B
A
∴ 1111,ABC AAC C ABC AAC C AC ⊥=平面平面且平面平面
作BE AC ⊥，垂足为E ，则11BE AAC C ⊥平面， ……6分 设BC a =， 在Rt ABC ∆
中，AC =
AB BC BE AC =
=
∴四棱锥11B AAC D -的体积11111
()32
V AC AD AA BE =⨯+
126a =
=。

…… 8分
依题意得，3a =，即3BC =. …… 9分 (以下求二面角1C BC D --的正切值提供两种解法) 解法1:∵11,,AB BC AB BB BC
BB B ⊥⊥=,
11BC BB C C ⊂平面，111BB BB C C ⊂平面，∴11AB BB C C ⊥平面.…… 10分
取BC 的中点F ，连接DF ，则//DF AB ,且1
12
DF AB ==. ∴11DF BB C C ⊥平面.
作1FG BC ⊥，垂足为G ，连接DG ，由于1DF BC ⊥，且DF FG F =，
∴1BC DFG ⊥平面. 又∵DG DFG ⊂平面,∴1BC DG ⊥.
∴1DGF C BC D ∠--为二面角的平面角. …… 12分
由
1Rt BGF
Rt BCC ∆∆,得
11GF BF
CC BC =,
得1132
2BF CC GF BC ⨯==
=, 在Rt DFG ∆中, tan DF DGF GF ∠=
=∴二面角1C BC D --. …… 14分
解法2: ∵11,,AB BC AB BB BC
BB B ⊥⊥=,11BC BB C C ⊂平面，
1
BB ⊂平面11BB C C ， ∴11AB BB C C ⊥平面. …… 10分
以点1B 为坐标原点,分别以11111,,B C B B B A y 轴和z 轴,建立空间直角坐标系1B xyz -.
则(0,2,0)B ,1(3,0,0)C ,(0,2,2)A ,3
(,2,1)2
D .
∴1(3,2,0)BC =-,3
(,0,1)2
BD =
设平面1BC D 的法向量为(,,)n x y z =,
由10n BC ⋅=及0n BD ⋅=,得320302
x y x z -=⎧⎪
⎨+=⎪⎩
令2x =,得3,3y z ==-.
故平面1BC D 的一个法向量为(2,3,3)n =-, …… 11分 又平面1BC C 的一个法向量为(0,0,2)AB =-, ∴cos ,n AB n AB
<>=
=. …… 12分
∴sin ,1n AB <>==
…… 13分 ∴13tan ,n AB <>=
∴二面角1C BC D --. …… 14分 19．（本小题满分14分）
解：设A 、B 两点的坐标分别为11(,)A x y ，22(,)
B x y
（1）由AM BM =-知M 是AB 的中点， ………………1分
由2222101
x y x y a
b +-=⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 得：2222222()20a b x a x a a b +-+-=…………………4分
212222a x x a b +=+，2
121222
2()2b y y x x a b +=-++=+ …………5分 M ∴点的坐标为22
2222
(,)a b a b a b ++
又M 点在直线上：22
2222
20a b a b a b ∴-=++
…6分 222222()a b a c ∴==- 222a c ∴=
2c e a ∴=
=
……7分 （2）由（1）知b c =，不妨设椭圆的一个焦点坐标为(,0)F b ， 设(,0)F b 关于直线 1
:2
l y x =
的对称点为00(,)x y ，………………8分 则有0000011220
22
y x b x b y -⎧=-⎪-⎪⎨+⎪-⨯=⎪⎩解得：003545x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ……………11分
由已知22001x y +=， 2234()()155b b +=， 2
1b ∴=. ………13分
所求的椭圆的方程为2
212x y +=
……………14分 20．（本小题满分14分）
（1）证明：当1n =时，111(1)a S m ma ==+-，解得11a =．…………………1分 当2n ≥时，11n n n n n a S S ma ma --=-=-．即1(1)n n m a ma -+=．…………………2分 又m 为常数，且0m >，∴
1(2)1n n a m
n a m
-=≥+．………………………3分 ∴数列{}n a 是首项为1，公比为
1m
m
+的等比数列．……………………4分
（2）解：1122b a ==． ………………………5分 ∵11
1n n n b b b --=
+，∴1111n n b b -=+，即111
1(2)n n n b b --=≥．………………7分
∴1n b ⎧⎫⎨
⎬
⎩⎭
是首项为1
2，公差为1的等差数列．………………………………………8分 ∴
1121
(1)122
n n n b -=+-⋅=
，即2()21n b n N n *=∈-．……………………………9分
（3）解：由（2）知221n b n =-，则1
22(21)n n n
n b +=-．
所以234
1
123122222n n n n n
T b b b b b +-=+++
++
， …10分 即12312123252(23)2(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯-+⨯-， ① ……11分 则234122123252(23)2(21)n n n T n n +=⨯+⨯+⨯+
+⨯-+⨯-， ②………12分
②－①得13412(21)2222n n n T n ++=⨯------，……………………13分
故311
12(12)
2
(21)22(23)612
n n n n T n n -++-=⨯---=⨯-+-．……………………14分
21．（本小题满分14分）
解：（1）)(x f 是奇函数，所以)()(x f x f -=-，即
|)|ln (||ln )()(b x x ax b x x x a ++-=+--+- ……1分，
所以||ln ||ln b x b x +=+-，从而0=b ……2分，
此时||ln )(x x ax x f +=，||ln 1)(/
x a x f ++= ……3分， 依题意32)(/
=+=a e f ，所以1=a ……4分
（2）当1>x 时，设1
ln 1)()(-+=-=x x
x x x x f x g ， 则2
/
)
1(ln 2)(---=
x x
x x g ……5分 设x x x h ln 2)(--=，则01
1)(/
>-
=x
x h ，)(x h 在) , 1(∞+上是增函数 因为03ln 1)3(<-=h ，04ln 2)4(>-=h ，
所以)4 , 3(0∈∃x ，使0)(0=x h ……7分
) , 1(0x x ∈时，0)(<x h ，0)(/<x g ，即)(x g 在) , 1(0x 上为减函数；
同理)(x g 在0( , )x +∞上为增函数 从而)(x g 的最小值为000
0001
ln )(x x x x x x g =-+=
所以)4 , 3(0∈<x k ，k 的最大值为3 ……9分。

（3）要证m n n m mn nm )()(>，即要证n mn m m m mn n n ln ln ln ln +>+……10分， 即证m n m n m n ln )1(ln )1(->-，1
ln 1ln -<
-m m
m n n n ……11分， 设1
ln )(-=
x x
x x ϕ，1>x ……12分， 则2
/
)
1(ln 1)(---=
x x
x x ϕ 设x x x g ln 1)(--=，则01
1)(/
>-
=x
x g ，)(x g 在) , 1(0∞+上为增函数， 1>∀x ，01ln 11)1()(=--=>g x g ，
从而0)(/
>x ϕ，)(x ϕ在(1 , )+∞上为增函数 因为1>>n m ，所以)()(m n ϕϕ<，
1
ln 1ln -<-m m
m n n n ， 所以m
n n
m mn nm )()(> ……14分。