10.3电磁感应中的综合性问题

10.3 电磁感应中的综合性问题
一 电磁感应中的力学问题
感应电流在磁场中受到 的作用，因此电磁感应问题往往跟 学问题联系在一起。

解决这类问题需要综合应用电磁感应规律（法拉第电磁感应定律）及力学中的有关规律（力的平衡、牛顿运动定律、动量守恒定律、动量定理、动能定理等），分析时要特别注意 、速度v 达 的特点。

电磁感应中产生的感应电流在磁场中将受到安培力的作用，从而影响导体棒的受力情况和运动情况。

这类问题的分析思路如下：
（一）平衡问题
1. （2020·黑龙江双鸭山·高三三模）如图所示，两根平行金属导轨置于水平面内，导轨之
间接有电阻R 。

金属棒ab 与两导轨垂直并保持良好接触，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向下。

现使磁感应强度随时间均匀增大，ab 始终保持静止，下列说法正确的是（ ） A ．ab 中的感应电流方向由a 到b B ．ab 中的感应电流大小保持不变 C ．ab 所受的安培力大小保持不变 D ．ab 所受的静摩擦力大小逐渐减小
2. （多选）如图，固定倾斜的平行导轨上端连接一个电阻R ，金属杆ab 垂直放在导轨上，
处于静止状态。

从0t =时刻开始，加一垂直于斜面向上的磁场，磁感应强度从0开始均匀增大，1t t =时杆开始运动。

在10t 的这段时间内（ ）
A ．金属杆中的感应电流方向从b 到a
B ．金属杆中的感应电流逐渐增大
C ．金属杆所受安培力不断增大
D ．金属杆受到的摩擦力不断增大
合外 力
运动导体所受的安培力
F=BIL
感应电流
确定电源（E ，r ） r R E
I +=
临界状态
态 v 与a 方向关系
运动状态的分
a 变化情况 F=ma 为零
不为零 处于平衡状态
3.（多选）（2020·安徽高三月考）如图所示，abcd是由导体做成的框架，其平面与水平面
成θ角。

质量为m的导体棒PQ与ab、cd垂直且接触良好，回路的总电阻为R。

整个装置放在垂直于框面的匀强磁场中，磁感强度B随时间t变化关系如图乙所示，PQ始终处于静止状态。

在0~t1时间内，下列关于PQ与框架间摩擦力f的说法中，有可能正确的是（）
A．f一直在增大B．f一直在减小
C．f先减小后增大D．f先增大后减小
（二）非平衡问题
4.如图所示，质量均为m的金属棒ab、cd与足够长的水平金属导轨垂直且接触良好，两
金属棒与金属导轨间的动摩擦因数为μ，磁感应强度为B的匀强磁场的方向竖直向下．则ab棒在恒力F＝2μmg作用下向右运动的过程中，有()
A．安培力对ab棒做正功
B．安培力对cd棒做正功
C．ab棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
D．cd棒做加速度逐渐减小的加速运动，最终匀速运动
5.(多选)如图所示，两根足够长、电阻不计且相距L＝0.2 m的平行金属导轨固定在倾角θ
＝37°的绝缘斜面上，顶端接有一盏额定电压U＝4 V的小灯泡，两导轨间有一磁感应强度大小B＝5 T、方向垂直斜面向上的匀强磁场．今将一根长为L、质量为m＝0.2 kg、电阻r＝1.0 Ω的金属棒垂直于导轨放置在顶端附近无初速度释放，金属棒与导轨接触良好，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.25，已知金属棒下滑到速度稳定时，小灯泡恰能正常发光，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则() A．金属棒刚开始运动时的加速度大小为3 m/s2
B．金属棒刚开始运动时的加速度大小为4 m/s2
C．金属棒稳定下滑时的速度大小为9.6 m/s
D．金属棒稳定下滑时的速度大小为4.8 m/s
6. （2020·运城市景胜中学月考）如图甲所示，间距为L 的光滑导轨水平放置在竖直向下
的匀强磁场中，磁感应强度为B ，轨道左侧连接一定值电阻R 。

水平外力F 平行于导轨，随时间t 按图乙所示变化，导体棒在F 作用下沿导轨运动，始终垂直于导轨，在0~t 0时间内，从静止开始做匀加速直线运动。

图乙中t 0、F 1、F 2为已知量，不计ab 棒、导轨电阻。

则（ ）
A ．在t 0以后，导体棒一直做匀速直线运动
B ．在t 0以后，导体棒一直做匀加速直线运动
C ．在0~t 0时间内，导体棒的加速度大小为
()2122
2F F R
B L t - D ．在0~t 0时间内，通过导体棒横截面的电荷量为()210
2F F t BL
-
二 电磁感应中的能量问题
电磁感应的过程实质上是 的转化过程，电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到 力的作用，因此，要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服 力做功。

此过程中，其他形式的能量转化为 能。

“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为 能。

当感应电流通过用电器时， 能又转化为其他形式的能量。

安培力做功的过程是 的过程。

安培力做了多少功就有多少电能转化为其他形式的能。

解决这类问题的方法是：
1. 用法拉第电磁感应定律和紧接着要学到的楞次定律确定感应电动势的大小和方向。

2. 画出等效电路，求出回路中电阻消耗电功率的表达式。

3. 分析导体机械能的变化，用能量守恒关系得到机械功率的改变所满足的方程。

7. 竖直平面内有一形状为抛物线的光滑曲面轨道，如图所示，抛物线方程是y ＝x 2，轨道
下半部分处在一个水平向外的匀强磁场中，磁场的上边界是y ＝a 的直线(图中虚线所示)，一个小金属环从抛物线上y ＝b (b >a )处以速度v 沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，金属环沿抛物线下滑后产生的焦耳热总量是(
)
A ．mgb
B ．1
2
mv 2
C ．mg (b －a )
D ．mg (b －a )＋1
2
mv 2
8. （多选）如图所示，足够长且电阻不计的光滑平行金属导轨MN 、PQ 竖直放置，间距
为L ＝0.5 m ，一匀强磁场磁感应强度B ＝0.2 T 垂直穿过导轨平面，导轨的上端M 与P 间连接阻值为R ＝0.40 Ω的电阻，质量为m ＝0.01 kg 、电阻不计的金属棒ab 垂直紧贴在导轨上。

现使金属棒ab 由静止开始下滑，经过一段时间金属棒达到稳定状态，这段时间内通过R 的电荷量为0.3 C ，则在这一过程中（g 取10 m/s 2） （ ） A ．棒ab 所受安培力的最大值为0.05 N
B ．这段时间内，棒ab 下降的高度1.2 m
C ．重力的最大功率为0.1 W
D ．电阻R 上产生的焦耳热为0.04 J
三 电磁感应中的力学综合问题
利用动量、能量的观点解决电磁感应问题，会根据相关条件分析双杆切割磁感线运动问题，会用“三大观点”解决此类问题。

动力学观点：通常情况下一个金属杆做加速度逐渐减小的加速运动，而另一个金属杆做加速度逐渐减小的减速运动，最终两金属杆以共同的速度匀速运动
能量观点：其中一个金属杆机械能的减少量等于另一个金属杆机械能的增加量与回路中产生的焦耳热之和
动量观点：对于两导体棒在平直的光滑导轨上运动的情况，如果两棒所受的外力之和为零，则考虑应用动量守恒定律处理问题；由BIL ·Δt ＝m ·Δv 、q ＝I ·Δt 可知，当题目中涉及电荷量或平均电流时，可应用动量定理来解决问题
9.如图所示，电阻不计的相同的光滑弯折金属轨道MON与M′O′N′均固定在竖直平面内，
二者平行且正对，间距为L＝1 m，构成的斜面ONN′O′跟水平面夹角均为α＝30°，两侧斜面均处在垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小均为B＝0.1 T。

t＝0时，将长度也为L＝1 m，电阻R＝0.1 Ω的金属杆ab在轨道上无初速释放。

金属杆与轨道接触良好，轨道足够长。

重力加速度g＝10 m/s2；不计空气阻力，轨道与地面绝缘。

(1)求t＝2 s时杆ab产生的电动势E的大小并判断a、b两端哪端电势高？
(2)在t＝2 s时将与ab完全相同的金属杆cd放在MOO′M′
上，发现cd杆刚好能静止，求ab杆的质量m以及放上cd杆后
ab杆每下滑位移s＝1 m回路产生的焦耳热Q。

10.(2020·浙江宁波模拟)如图甲所示，绝缘水平面上固定着两根足够长的光滑金属导轨P Q、
MN, 相距为L＝0.5 m，ef右侧导轨处于匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下，磁感应强度B的大小如图乙变化。

开始时ab棒和cd棒锁定在导轨如图甲位置，ab棒与cd棒平行，ab棒离水平面高度为h＝0.2 m，cd棒与ef之间的距离也为L，ab棒的质量为m1＝0.2 kg，有效电阻R1＝0.05 Ω，cd棒的质量为m2＝0.1 kg，有效电阻为R2＝0.15 Ω.(设a、b棒在运动过程始终与导轨垂直，两棒与导轨接触良好，导轨电阻不计)。

问：
(1)0～1 s时间段通过cd棒的电流大小与方向；
(2)假如在1 s末，同时解除对ab棒和cd棒的锁定，稳定后ab棒和cd棒将以相同的速度做匀速直线运动，试求这一速度；
(3)对ab棒和cd棒从解除锁定到开始以相同的速度做匀速运动，ab棒产生的热量为多少？
随堂练习
1.如图所示，电阻为R，其他电阻均可忽略，ef是一电阻不计的水平放置的导体棒，质量
为m，棒的两端分别与ab、cd保持良好的接触，又能沿框架无摩擦下滑，整个装置放在与框架垂直的匀强磁场中，当ef从静止下滑经一段时间后闭合S，则S闭合后
A．ef的加速度可能小于g
B．ef的加速度一定大于g
C．ef最终速度随S闭合时刻的不同而不变
D．ef的机械能与回路内产生的电能之和一定增大
2.如图，在光滑水平桌面上有一边长为L、电阻为R的正方形导线框；在导线框右侧有一
宽度为d(d＞L )的条形匀强磁场区域，磁场的边界与导线框的一边平行，磁场方向竖直向下．导线框以某一初速度向右运动．t＝0时导线框的右边恰与磁场的左边界重合，随后导线框进入并通过磁场区域．下列v－t图象中，能正确描述上述过程的是()
3.如图所示，金属杆a在高为h处从静止开始沿弧形轨道下滑，导轨平行的水平部分有竖
直向下的匀强磁场，水平部分导轨上原来放有一根金属杆b，两杆质量相同，水平导轨足够长，不计摩擦，关于两杆最终的运动状态，下列说法正确的是（）
A2gh
B2gh
C．杆a静止，杆b2gh
D．杆a静止，杆b2gh
4.如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长．从置于垂直纸面
向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN.第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则()
A．Q1>Q2q1＝q2
B．Q1>Q2q1>q2
C．Q1＝Q2q1＝q2
D．Q1＝Q2q1>q2
5.(多选)一空间有垂直纸面向里的匀强磁场B，两条电阻不计的平行光滑导轨竖直放置在
磁场内，如图所示，磁感应强度B＝0.5 T，导体棒ab、cd长度均为0.2 m，电阻均为
0.1 Ω，重力均为0.1 N，现用力向上拉动导体棒ab，使之匀速上升(导体棒ab、cd与导
轨接触良好)，此时cd静止不动，则ab上升时，下列说法正确的是()
A．ab受到的拉力大小为2 N
B．ab向上运动的速度为2 m/s
C．在2 s内，拉力做功，有0.4 J的机械能转化为电能
D．在2 s内，拉力做功为0.6 J
6.(多选)（2020·四川一模）如图所示在竖直平面内有垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应
强度B=1T；间距L=0.1m、电阻不计的光滑导轨MN、PQ竖直放置，且之间连接一电阻R=0.5Ω，一长度也为L、电阻r=0.1Ω的导体棒ab紧贴导轨从静止开始下滑，一直到ab棒速度v=3.8m/s的过程中，ab棒产生的焦耳热Q=0.016J，流过ab棒的电荷量为q，ab棒质量m=0.01kg，重力加速度为g=10m/s2。

则下列说法正确的是（）
A．导体棒下滑的最大速度v m=6m/s
B．导体棒下滑的最大速度v m=5m/s
C．电阻R产生的热量为0.08J
D．q约为0.28C
7.(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab(仅
标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上．已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g.已知金属棒ab匀速下滑．求
(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；
(2)金属棒运动速度的大小.
8.如图所示，两根间距为l的光滑金属导轨(不计电阻)，由一段圆弧部分与一段无限长的
水平部分组成，其水平段加有方向竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。

导轨水平段上静止放置一金属棒cd，质量为2m，电阻为2r。

另一质量为m、电阻为r的金属棒ab，从圆弧段M处由静止释放下滑至N处进入水平段，棒与导轨始终垂直且接触良好，圆弧段MN半径为R，所对圆心角为60°。

求：
(1)ab棒在N处进入磁场区速度是多大？此时棒中电流是
多少？
(2)cd棒能达到的最大速度是多大？
(3)cd棒由静止到达最大速度过程中，系统所能释放的热量是多少？
参考答案
1. B
2. AC
3. AC
4. C
5. BC
6. D
7. D
8. BD
9. 解析：(1)只放ab 杆在导轨上做匀加速直线运动，根据右手定则可知a 端电势高；
ab 杆加速度为：a ＝g sin α t ＝2 s 时刻速度为：v ＝at ＝10 m/s
ab 杆产生的感应电动势的大小：E ＝BLv ＝0.1×1×10 V ＝1 V 。

(2)t ＝2 s 时ab 杆产生的回路中感应电流：I ＝E 2R ＝12×0.1A ＝5 A
对cd 杆有：mg sin 30°＝BIL 解得cd 杆的质量：m ＝0.1 kg 则知ab 杆的质量为0.1 kg
放上cd 杆后，ab 杆做匀速运动，减小的重力势能全部产生焦耳热 根据能量守恒定律则有：Q ＝mgh ＝mgs ·sin 30°＝0.1×10×1×0.5 J ＝0.5 J 。

10. 解析: (1) 0～1 s 时间内由于磁场均匀变化，根据法拉第电磁感应定律E ＝ΔΦΔt ＝ΔBS
Δt
＝
ΔBL 2Δt 和闭合电路欧姆定律I ＝E
R 1＋R 2，代入数据可解得：I ＝1.25 A 。

cd 棒中电流由d →c 。

(2)1 s 末后由磁场不变，ab 棒从高为h 处滑下到ef 过程，由动能定理可知， m 1gh ＝1
2
m 1v 02
得v 0＝2gh ＝2×10×0.2 m/s ＝2 m/s ，
从ab 棒刚到ef 处至两棒达共同速度过程，由动量守恒定律得， m 1v 0＝(m 1＋m 2)v 即0.2×2＝(0.1＋0.2)v
解得v ＝4
3
m/s 。

(3)对ab 棒和cd 棒从解除锁定到开始以相同的速度做匀速运动过程，由能量守恒可知， m 1gh ＝1
2(m 1＋m 2)v 2＋Q
代入数据解得：Q ＝4
30
J
由于ab 和cd 棒串联，所以产生的热量之比等于电阻之比，所以 Q ab ＝R 1R 1＋R 2Q ＝0.050.05＋0.15×430 J ＝1
30 J 。

随堂练习: 1. A 2. D 3. A 4. A 5. BC 6. ACD
7. 解析： (1)设两根导线的总的张力的大小为T ，右斜面对ab 棒的支持力的大小为N 1，
作用在ab 棒上的安培力的大小为F ，左斜面对cd 棒的支持力大小为N 2.对于ab 棒，由力的平衡条件得2mg sin θ＝μN 1＋T ＋F N 1＝2mg cos θ
对于cd 棒，同理有mg sin θ＋μN 2＝T N 2＝mg cos θ
联立①②③④式得F ＝mg (sin θ－3μcos θ)． (2)由安培力公式得F ＝BIL 这里I 是回路abdca 中的感应电流 ab 棒上的感应电动势为E ＝BLv 式中，v 是ab 棒下滑速度的大小 由欧姆定律得I ＝E
R
联立⑤⑥⑦⑧式得v ＝(sin θ－3μcos θ)mgR
B 2L 2.
8. 解析：(1)ab 棒由M 下滑到N 过程中机械能守恒，有
11
mgR (1－cos 60°)＝12
mv 2 解得v ＝gR
进入磁场瞬间，回路中电流强度
I ＝E 2r ＋r ＝Bl gR 3r 。

(2)ab 棒在安培力作用下做减速运动，cd 棒在安培力作用下做加速运动，当两棒速度达到相同速度v ′时，电路中电流为零，安培力为零，cd 棒达到最大速度。

由动量守恒定律得mv ＝(2m ＋m )v ′
解得v ′＝13
gR 。

(3)系统释放的热量应等于系统机械能的减少量，
故Q ＝12mv 2－12
·3mv ′2 解得Q ＝13
mgR 。