【名师制作】2014-2015学年华师大版七年级数学下册 第九章 多边形 章末测试三(含详细解析)

第九章多边形章末测试（三）
总分120分120分钟
一．选择题（共8小题，每题3分）
1．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（）A． 50°B． 30°C． 20°D． 15°
1题2题2．如图，l1∥l2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=（）
A． 20°B． 40°C． 50°D． 60°3．在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，有一部分同学画出下列四种图形，请你判断一下，正确的是（）
A B C D
4．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（）
A． 19cm B． 22cm C． 25cm D． 31cm
4题5题
5．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（）
A． 14 B． 1 C． 2 D． 7 6．一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（）
A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形
7．一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中两个分别为正十二边形、正方形，则另一个为（）
A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形
8．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）
A． 5 B． 5或6 C． 5或7 D． 5或6或7
二．填空题（共6小题，每题3分）
9．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的外角，若∠1+∠2+∠3=250°，则∠4的度数为_________．
9题10题11
题
10．如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于_________度．11．一副三角板，如图叠放在一起，∠1的度数是_________度．
12．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______度．
12题13题
14题
13．如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=_________度．
14．在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=________度．
三．解答题（共10小题）
15．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，EF是经过点O且平行于BC的直线．求∠BOC的度数．
16．（6分）将一副三角板的直角顶点重合放置，如图所示：
（1）写出图中以O为顶点的相等的角；
（2）若∠AOD=125°，求∠BOC的度数；
（3）判断∠AOD与∠BOC之间具有何种数量关系当三角板AOB绕O点旋转时，这种关系是否有变化？请说明理由．
17．（6分）如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B=x°，∠C=y°，求∠DAE的度数．
18（8分）．如图，在△ABC中，已知∠ACB=67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB=45°，求∠ABE和∠BFC的度数．
19．（8分）如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F，∠ECD=30°，求∠FDC的度数．
20．（8分）（1）若一个凸多边形的内角和是2340°，求这个多边形的边数；
（2）一个凸多边形去掉一个内角后，其余所有内角的和为2008°，求这个多边形的边数和去掉的那个内角的度数．
21．（8分）如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD=BD，∠ADC=80°
（1）求∠B的度数；
（2）若∠BAC=70°，判断△ABC的形状，并说明理由．
22．（8分）如图，∠B=60°，∠BAC=80°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
23．（10分）在小学我们知道“三角形的内角和等于180°”，现在把一块含30°角的直角三角板AOB的直角顶点O放置在水平线l上，如图1所示．
（1）填空：∠1+∠2=_________度；
（2）若把三角板AOB绕着点O按逆时针方向旋转，
①填空：当∠1=_________度时，AB∥l．理由：_________．
②在三角板AOB绕着点O按逆时针方向旋转的过程中，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，图2中是否存在相等的角（图2中所有的直角相等不加以考虑，不能再随意添加字母或作出其它线条）？若有，试找出图中所有相等的角，并说明理由；若无，请举例说明．
24．（10分）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，△ABC两内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点E．则∠BEC=90°+∠A．（阅读下面证明过程，并填空．）
证明：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB（角平分线的定义）
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）（_________）
=180°﹣（）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=_________=90°+
（2）如图2，△ABC的内角∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACM的平分线交于点E．
请你写出∠BEC与∠A的数量关系，并证明．
答：∠BEC与∠A的数量关系式：_________．
证明：_________．
（3）如图3，△ABC的两外角∠CBD与∠BCF的平分线交于点E，请你直接写出∠BEC与∠A 的数量关系，不需证明．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数等于（）
A．50°B．30°C．20°D．15°
考点：平行线的性质；三角形的外角性质．.
专题：计算题；压轴题．
分析：首先根据平行线的性质得到∠2的同位角∠4的度数，再根据三角形的外角的性质进行求解．
解答：解：根据平行线的性质，得∠4=∠2=50°．∴∠3=∠4﹣∠1=50°﹣30°=20°．故选C．
点评：本题应用的知识点为：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．两直线平行，同位角相等．
2．如图，l1∥l2，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=（）
A．20°B．40°C．50°D．60°
考点：三角形的外角性质；平行线的性质．.
专题：计算题；压轴题．
分析：先延长∠1和∠2的公共边交l1于一点，利用两直线平行，同旁内角互补求出∠4的度数，再利用外角性质求解．
解答：解：如图，延长∠1和∠2的公共边交l1于一点，
∵l1∥l2，∠1=120°，
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣120°=60°，
∴∠3=∠2﹣∠4=100°﹣60°=40°．
故选B．
点评：本题主要考查作辅助线构造三角形，然后再利用平行线的性质和外角性质求解．
3．在数学课上，同学们在练习画边AC上的高时，有一部分同学画出下列四种图形，请你判断一下，正确的是（）
A．B．
C．D．
考点：三角形的角平分线、中线和高．.
分析：根据三角形的高的概念直接观察图形进行判断即可得出答案．
解答：解：AC边上的高应该是过B作垂线段AC，符合这个条件的是C；
A，B，D都不过B点，故错误；
故选C．
点评：本题主要考查了利用基本作图做三角形高的方法，比较简单．
4．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（）
A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm 考点：三角形的角平分线、中线和高．.
分析：根据三角形中线的定义可得BD=CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
解答：解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD和△ACD周长的差=（AB+BD+AD）﹣（AC+BD+CD）=AB﹣AC，
∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，
∴△ACD周长为：25﹣6=19cm．
故选A．
点评：本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC 的长度的差是解题的关键．
5．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（）
A．14 B．1C．2D．7
考点：三角形的角平分线、中线和高．.
分析：由三角形中线的定义推知BD=DC；然后根据三角形的周长的定义知△ABD与△ADC 的周长之差为（AB﹣AC）．
解答：解：∵如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，
∴BD=C D．
∵△ABD的周长=AB+AD+BD，△ADC的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD，
∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB﹣AC=8﹣6=2．
故选C．
点评：本题考查了三角形的中线的定义，三角形周长的计算．解题时，根据三角形的周长的计算方法得到：△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
6．一个多边形的每个内角均为108°，则这个多边形是（）
A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形
考点：多边形内角与外角．.
分析：首先求得外角的度数，然后利用360除以外角的度数即可求解．
解答：解：外角的度数是：180﹣108=72°，
则这个多边形的边数是：360÷72=5．
故选C．
点评：本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理
7．一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中两个分别为正十二边形、正方形，则另一个为（）
A．正三角形B．正四边形C．正五边形D．正六边形
考点：平面镶嵌（密铺）．.
分析：正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
解答：解：∵正十二边形和正方形内角分别为150°，90°，
又∵360°﹣150°﹣90°=120°，
∴另一个为正六边形．
故选D．
点评：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．解决此类题，可以记住几个常用正多边形的内角．
8．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）
A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或7
考点：多边形内角与外角．.
分析：首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
解答：解：设内角和为720°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180=720，
解得：n=6．
则原多边形的边数为5或6或7．
故选D．
点评：本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
二．填空题（共6小题）
9．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是四边形ABCD的外角，若∠1+∠2+∠3=250°，则∠4的度数为110°．
考点：多边形内角与外角．.
分析：根据多边形的外角和定理即可求解．
解答：解：∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°，
∴∠4=360°﹣（∠1+∠2+∠3）=360°﹣250°=110°．
故答案是：110°
点评：本题考查了多边形的外角和定理，理解定理是关键．
10．如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于72度．
考点：多边形内角与外角．.
分析：先分别求出正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，再根据圆周角是360度求解即可．
解答：解：正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，
所以∠α=360°﹣108°﹣90°﹣90°=72°．
点评：主要考查了多边形的内角和．多边形内角和公式：（n﹣2）•180°．
11．一副三角板，如图叠放在一起，∠1的度数是75度．
考点：三角形的外角性质．.
分析：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠1=30°+45°=75°．
解答：解：由图示知，∠1=30°+45°=75°．（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）点评：本题利用三角形外角的性质直接求解即可．
12．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=270度．
考点：三角形内角和定理；多边形内角与外角．.
专题：应用题．
分析：根据三角形的内角和与平角定义可求解．
解答：解：如图，根据题意可知∠5=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠2=180°+180°﹣（∠3+∠4）=360°﹣90°=270°．
点评：本题主要考查了三角形的内角和定理和内角与外角之间的关系．要会熟练运用内角和定理求角的度数．
13．如图，已知AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，则∠C=20度．
考点：三角形内角和定理；平行线的性质．.
专题：计算题；压轴题．
分析：根据平行线的性质和三角形的内角和定理求得．
解答：解：∵AE∥BD，∠1=130°，∠2=30°，
∴∠CBD=∠1=130°．
∵∠BDC=∠2，
∴∠BDC=30°．
在△BCD中，∠CBD=130°，∠BDC=30°，
∴∠C=180°﹣130°﹣30°=20°．
点评：本题应用的知识点为：三角形的外角与内角的关系及两直线平行，同位角相等．
14．在如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=230度．
考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．.
分析：利用三角形内角和外角的关系计算．
解答：解：由于∠1和∠2是三角形的外角，
所以∠1=∠4+50°，∠2=∠3+50°，
所以∠1+∠2=∠4+50°+∠3+50°=（∠4+50°+∠3）+50°=180°+50°=230°．
点评：此题利用了三角形内角和外角的关系，属于基础题，比较简单．
三．解答题（共10小题）
15．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，EF 是经过点O且平行于BC的直线．求∠BOC的度数．
考点：平行线的性质；三角形内角和定理．.
分析：由在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，根据角平分线的性质，即可求得∠OBC与∠OCB的度数，继而求得答案．
解答：解：∵在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=∠OBC=×50°=25°，∠OCB=∠ACB=30°，
∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=125°．
点评：此题考查了角平分线的定义与三角形内角和定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
16．将一副三角板的直角顶点重合放置，如图所示：
（1）写出图中以O为顶点的相等的角；
（2）若∠AOD=125°，求∠BOC的度数；
（3）判断∠AOD与∠BOC之间具有何种数量关系当三角板AOB绕O点旋转时，这种关系是否有变化？请说明理由．
考点：三角形内角和定理．.
分析：（1）图中有两个直角，再根据同角的余角相等即可找出；
（2）若∠AOD=125°，则∠AOC或∠BOD即可求出，然后根据余角的性质即可求出∠BOC；（3）根据三角形内角和外角的关系解答．
解答：解：（1）∵∠AOB与∠COD为直角，
∴∠AOB=∠COD
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB﹣∠COB=∠COD﹣∠COB，即∠AOC=∠BOD；
（2）∵∠AOB+∠BOD=∠AOD，
又∵∠AOB=90°，∠AOD=125°，
∴∠BOD=35°，
∵∠BOD+∠BOC=90°，
∴∠BOC=55°；
（3）∠BOC与∠AOD互补．
当三角板AOB绕O点旋转时，这种互补关系没有变化，理由如下：
当∠BOC在∠AOD内部时
∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC
=∠COD+∠AOB
=90°+90°=180°
当∠BOC在∠AOD外部时，如下图
∠AOD+∠BOC=360°﹣∠AOB﹣∠COD=180°
∴∠BOC与∠AOD互补．
点评：①几何计算题中，如果依据题设和相关的几何图形的性质列出方程（或方程组）求解的方法叫做方程的思想；
②求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；
③三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决．
17．如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线．
（1）若∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B=x°，∠C=y°，求∠DAE的度数．
考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．.
分析：（1）在直角△ACD中，求得∠CAD，然后利用角平分线的定义求得∠CAE的度数，根据∠DAE=∠CAE﹣∠CAD可以求解；
（2）与（1）的解法相同．
解答：解：（1）∵AD是高线，
∴在直角△ACD中，∠CAD=90°﹣∠C=90°﹣50°=40°；
∵在△ABC中，∠CAB=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣30°﹣50°=100°，
∵AE是角的平分线，
∴∠CAE=∠CAB=50°，
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=50°﹣40°=10°；
（2）根据（1）可以得到：∠CAD=（90﹣y）°，
∠CAE=∠CAB=（180﹣x﹣y）°．
∴∠DAE=∠CAE﹣∠CAD=（180﹣x﹣y）﹣（90﹣y）°=（y﹣x）°．
点评：本题考查了三角形的内角和等于180°，以及角平分线的定义，是基础题．
18．如图，在△ABC中，已知∠ACB=67°，BE是AC上的高，CD是AB上的高，F是BE和CD的交点，∠DCB=45°，求∠ABE和∠BFC的度数．
考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．.
专题：计算题．
分析：根据三角形高的定义得到∠CDB=90°，∠BEC=90°，先利用三角形内角和定理得
∠DBC=180°﹣90°﹣45°=45°，∠EBC=180°﹣∠ECB﹣∠BEC=180°﹣67°﹣90°=23°，
则∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=45°﹣23°=22°，然后利用三角形外角性质可计算
∠BFC=22°+90°=112°．
解答：解：∵CD是AB上的高，
∴∠CDB=90°，
∵∠CDB+∠DBC+∠DCB=180°，
∴∠DBC=180°﹣90°﹣45°=45°，
∵BE是AC上的高，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=180°﹣∠ECB﹣∠BEC=180°﹣67°﹣90°=23°，
∴∠ABE=∠ABC﹣∠EBC=45°﹣23°=22°；
∵∠BFC=∠FDB+∠DBF，
∴∠BFC=22°+90°=112°．
点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．也考查了三角形外角性质以及三角形的高．
19．如图，∠ABC=∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF=∠F，∠ECD=30°，求∠FDC的度数．
考点：三角形的外角性质；角平分线的定义．.
分析：根据∠ECD=30°，结合已知和角平分线的定义，可求∠DBC，∠F和∠BCD的度数；根据三角形的外角的性质可得∠FDC的度数．
解答：解：∵CE平分∠ACB，且∠ECD=30°，
∴∠ACB=∠ABC=2∠ECD=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBF=∠ABC=30°，
即∠DBF=∠F=30°，
∴∠FDC=∠ACB﹣∠F=60°﹣30°=30°．
点评：根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系的转化再求解．
20．（1）若一个凸多边形的内角和是2340°，求这个多边形的边数；
（2）一个凸多边形去掉一个内角后，其余所有内角的和为2008°，求这个多边形的边数和去掉的那个内角的度数．
考点：多边形内角与外角．.
分析：（1）n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
（2）n边形的内角和是（n﹣2）•180°，因而内角和一定是180度的倍数，而多边形的内角一定大于0，并且小于180度．因而内角和去掉一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数n﹣2要大，大的值小于1．则用内角和于内角的和除以180所得值，加上2，比这个数大的最小的整数就是多边形的边数．
解答：解：（1）设这个多边形的边数是n．
由题意得：（n﹣2）×180°=2340°，
解得n=15．
所以这个多边形的边数是15．
（2）设这个多边形的边数是m，去掉的那个内角为α．
则（m﹣2）×180°=2008°+α，
由于0°＜α＜180°，
所以0°＜（m﹣2）×180°﹣2008°＜180°，
整理得2008＜（m﹣2）×180＜2008+180，
即＜n﹣2＜+1，11＜m﹣2＜12．
因为m是正整数，所以m﹣2=12，m=14，所以这个多边形的边数为14，
去掉的那个内角为α=（14﹣2）×180°﹣2008°=152°．
点评：本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．21．如图，D是△ABC的BC边上的一点，AD=BD，∠ADC=80°
（1）求∠B的度数；
（2）若∠BAC=70°，判断△ABC的形状，并说明理由．
考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．.
分析：（1）由AD=BD，根据等边对等角的性质，可得∠B=∠BAD，又由三角形外角的性质，即可求得∠B的度数；
（2）由∠BAC=70°，易求得∠C=∠BAC=70°，根据等角对等边的性质，可证得△ABC是等腰三角形．
解答：解：（1）∵在△ABD中，AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=80°，
∴∠B=∠ADC=40°；
（2）△ABC是等腰三角形．
理由：∵∠B=40°，∠BAC=70°，
∴∠C=180°﹣∠B﹣∠BAC=70°，
∴∠C=∠BAC，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形．
点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，∠B=60°，∠BAC=80°，AD⊥BC，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
考点：三角形的外角性质．.
分析：根据角平分线的定义可得∠BAE=∠BAC，根据垂直的定义可得∠ADE=90°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式表示出∠AEC即可得解．
解答：解：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=×80°=40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
∴∠AEC=∠ADE+∠DAE=∠B+∠BAE，
即90°+∠DAE=60°+40°，
解得∠DAE=10°．
点评：本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，垂直的定义，熟记性质与概念是解题的关键．
23．在小学我们知道“三角形的内角和等于180°”，现在把一块含30°角的直角三角板AOB的直角顶点O放置在水平线l上，如图1所示．
（1）填空：∠1+∠2=90度；
（2）若把三角板AOB绕着点O按逆时针方向旋转，
①填空：当∠1=60度时，AB∥l．理由：内错角相等，两直线平行．
②在三角板AOB绕着点O按逆时针方向旋转的过程中，作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，图2中是否存在相等的角（图2中所有的直角相等不加以考虑，不能再随意添加字母或作出其它线条）？若有，试找出图中所有相等的角，并说明理由；若无，请举例说明．
考点：三角形内角和定理；平行线的性质．.
分析：（1）根据平角的定义即可求解；
（2）①根据平行线的判定即可求解；
②根据同角的余角相等即可求解．
解答：解：（1）∠1+∠2=180°﹣90°=90°；
（2）①当∠1=60°时，AB∥l．理由：内错角相等，两直线平行．
②图中所有相等的角分别为：∠1=∠OBD，∠2=∠OA C．
理由如下：
∵AC⊥l，BD⊥l
∴∠ACO=90°，∠BDO=90°，
在三角形ACO中，∠ACO+∠1+∠OAC=180°，
在三角形OBD中，∠BDO+∠2+∠OBD=180°
∴∠1+∠OAC=90°，∠2+∠OBD=90°，
又∵∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠OBD，∠2=∠OA C．
故答案为：90；60，内错角相等，两直线平行．
点评：考查了平角的定义，平行线的判定和性质，同角的余角相等，三角形内角和定理，有一定的综合性．
24．某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，△ABC两内角∠ABC与∠ACB的平分线交于点E．则∠BEC=90°+∠A．（阅读下面证明过程，并填空．）
证明：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB（角平分线的定义）
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）（三角形内角和定理）
=180°﹣（）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=180°﹣90°+∠A=90°+
（2）如图2，△ABC的内角∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACM的平分线交于点E．
请你写出∠BEC与∠A的数量关系，并证明．
答：∠BEC与∠A的数量关系式：∠BEC=∠A．
证明：如下．
（3）如图3，△ABC的两外角∠CBD与∠BCF的平分线交于点E，请你直接写出∠BEC与∠A 的数量关系，不需证明．
考点：三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．.
分析：（1）根据题目解答过程填写即可；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，然后整理即可得到∠BEC与∠E的关系；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出
∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．
解答：（1）证明：∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠ACB（角平分线的定义）
∴∠BEC=180°﹣（∠EBC+∠ECB）（三角形内角和定理）
=180°﹣（），
=180°﹣（∠ABC+∠ACB），
=180°﹣（180°﹣∠A），
=180°﹣90°+∠A，
=90°+；
（2）探究2结论：∠BEC=∠A，
理由如下：
∵BE和CE分别是∠ABC和∠ACM的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACM，
又∵∠ACM是△ABC的一外角，
∴∠ACM=∠A+∠ABC，
∴∠2=（∠A+∠ABC）=∠A+∠1，
∵∠2是△BEC的一外角，
∴∠BEC=∠2﹣∠1=∠A+∠1﹣∠1=∠A；
（3）探究3：∠EBC=（∠A+∠ACB），∠ECB=（∠A+∠ABC），
∠BEC=180°﹣∠EBC﹣∠ECB，
=180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），
=180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），
结论∠BEC=90°﹣∠A．
点评：本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．。