数学_2011年上海市某校高考数学模拟试卷(文科)_(含答案)

2011年上海市某校高考数学模拟试卷（文科）
一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）
1. 已知集合I ={0, 1, 2, 3, 4}，A ={0, 2, 3}，B ={1, 3, 4}，则∁I A ∩B =________．
2. 设复数z 1=1−i ，z 2=−4−3i ，则z 1⋅z 2在复平面内对应的点位于第________象限．
3. 函数y =lg
3x−13−x
的定义域为________．
4. 一个四面体的所有棱长都是√2，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为________．
5. 二项式(x +1
2x )8展开式中的常数项是________．
6. 函数y =sin2x +√3cos2x ，x ∈[0, π]的单调递增区间是________．
7. 阅读如图的程序框图，若输入m =4，n =6，则输出的a 等于________．
8. 过点A(2, −3)且方向向量d →
=(−1,2)的直线方程为________．
9. 计算：lim
n →∞(1n 2+1+2n 2+1
+⋯+n n 2+1)=________．
10. 已知二次函数f(x)=ax 2+2x +c(x ∈R)的值域为[0, +∞)，则f(1)的最小值为________． 11. 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈P ，都有a +b 、a −b 、ab 、a
b ∈
P （除数b ≠0）则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：
①数域必含有0，1两个数； ②整数集是数域；
③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域； ④数域必为无限集．
其中正确的命题的序号是________．（把你认为正确的命题的序号都填上）
12.
如图，若正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面边长为2，高为4，则异
面直线BD 1与AD 所成角的大小是________（结果用反三角函数值表示）．
13. 若矩阵A =[
cos60
∘
−sin60∘
sin60∘
cos60
∘]，B =[−
1
2
−
√32
√3
2
−1
2
]，则AB =________．
14. 已知从装有n +1个球（其中n 个白球，1个黑球）的口袋中取出m 个球(0<m <
n, n, m ∈N)，共有C n+1m 种取法．在这C n+1m
种取法中，可以分成两类：一类是取出的m 个球
全部为白球，另一类是取出一个黑球和(m −1)个白球，共有C 10C n m +C 11C n m−1
种取法，即有
等式C n m +C n m−1=C n+1m 成立．试根据上述思想，化简下列式子：C n m
+C k 1C n m−1+
C k 2C n m−2
+...+C k k C n m−k =________．(1≤k <m ≤n, k, m, n ∈N)
二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分） 15. “x(x −5)<0成立”是“|x −1|<4成立”的（ ）
A 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C 充分必要条件
D 既不充分也不必要条件
16. 一组数据4，5，12，7，11，9，8，则下面叙述正确的是( )
A 它们的中位数是7，总体均值是8
B 它们的中位数是7，总体方差是52
C 它们的中位数是8，总体方差是52
8
D 它们的中位数是8，总体方差是52
7
17. 已知函数f(x)＝sin(πx −π
2
)−1，则下列命题正确的是（ ）
A f(x)是周期为1的奇函数
B f(x)是周期为2的偶函数
C f(x)是周期为1的非奇非偶函数
D f(x)是周期为2的非奇非偶函数
18. 在直角坐标系xoy 中，已知△ABC 的顶点A(−1, 0)和C(1, 0)，顶点B 在椭圆x 24
+
y 23
=1
上，则
sinA+sinC sinB
的值是（ ）
A √3
2 B √
3 C
4 D 2
三、解答题（共5小题，满分78分）
19. 某工厂制造甲、乙两种家电产品，其中每件甲种家电需要在电器方面加工6小时，装配加工1小时，每件甲种家电的利润为200元；每件乙种家电需要在外壳配件方面加工5小时，在电器方面加工2小时，装配加工1小时，每件乙种家电的利润为100元．已知该工厂可用于外壳配件方面加工的能力为每天15小时，可用于电器方面加工的能力为每天24小时，可用于装配加工的能力为每天5小时．问该工厂每天制造两种家电各几件，可使获取的利润最大（设每天制造的家电件数为整数）． 20. 关于x 的不等式|
x +a 2
1x
|<0的解集为(−1, b)． （1）求实数a 、b 的值；
（2）若z 1=a +bi ，z 2=cosα+isinα，且z 1z 2为纯虚数，求cos(2α−π
3)的值． 21. 已知数列{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 6=55，a 2+a 7=16 （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=b1
2+b2
22
+b3
23
+⋯+b n
2n
(n∈N∗)，求数列{b n}的前n
项和S n．
22. 已知曲线C:x2
4+y2
b2
=1(b>0)．
（1）曲线C经过点(√3，1
2
)，求b的值；
（2）动点(x, y)在曲线C，求x2+2y的最大值；
（3）由曲线C的方程能否确定一个函数关系式y=f(x)？如能，写出解析式；如不能，再加什么条件就可使x、y间建立函数关系，并写出解析式．
23. 已知函数f(x)=x+a
x 的定义域为(0, +∞)，且f(2)=2+√2
2
．设点
P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值．
（2）问：|PM|⋅|PN|是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．
2011年上海市某校高考数学模拟试卷（文科）答案
1. {1, 4}
2. 二
3. (1
3
，3)
4. 3π
5. 35
8
6. [0,π
12]∪[7π
12
,π]
7. 12
8. 2x+y−1=0
9. 1
2
10. 4
11. ①④
12. arctan√5
13. [−10
0−1
] 14. C n+k
m
15. A 16. D 17. B 18. D
19.
解：设该工厂每天制造甲、乙两种家电
分别为x 件、y 件，则W =2x +y （百元）
满足{
6x +2y ≤24x +y ≤55y ≤15xy 为非负整数
可行域如右图：O(0, 0)、A(0, 3)、 B(2, 3)、C(72,3
2)、D(4, 0)
可行域内还有如下一些整点E(3, 2)等 故当{x =3y =2或{x =4y =0时W max =8（百元） 工厂每天制造甲3件，乙2件或仅制造甲4件． 20. 解：（1）原不等式等价于(x +a)x −2<0， 即x 2+ax −2<0 由题意得，{−1+b =−a
−1×b =−2
解得a =−1，b =2．
（2）z 1=−1+2i ，z 1z 2=(−cosα−2sinα)+i(2cosα−sinα) 若z 1z 2为纯虚数，则{cosα+2sinα=0
2cosα−sinα≠0
，
解得tanα=−1
2
cos(2α−π3)=1
2cos2α+
√3
2
sin2α=1
2×1−tan 2α
1+tan 2α+
√3
2×2tanα1+tan 2α
=
3−4√3
10
． 21. 解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，
则依题意可知d >0由a 2+a 7=16， 得2a 1+7d =16①
由a 3a 6=55，得(a 1+2d)(a 1+5d)=55② 由①②联立方程求得
得d =2，a 1=1或d =−2，a 1=207
（排除）
∴ a n =1+(n −1)⋅2=2n −1 （2）令c n =
b n 2n
，则有a n =c 1+c 2+...+c n
a n+1=c 1+c 2+...+c n+1 两式相减得
a n+1−a n =c n+1，由（1）得a 1=1，a n+1−a n =2 ∴ c n+1=2，即c n =2(n ≥2)， 即当n ≥2时，
b n =2n+1，又当n =1时，b 1=2a 1=2
∴ b n ={2,(n =1)
2n+1，(n ≥2)
于是S n =b 1+b 2+b 3+...+b n =2+23+24+...2n+1=2n+2−6，n ≥2， S n ={2n =1
2n+2−6n ≥2
．
22. 解：(1)√3
2
4
+1
4b 2=1(b >0)∴ b =1；
（2）根据x 2
4+y 2
b 2=1(b >0)得x 2=4(1−y 2
b 2)，∴ x 2+2y =4(1−y 2
b 2)+2y =−4
b 2(y −
b 24
)2+
b 24
+4(−b ≤y ≤b)，当
b 24≥b 时，即b ≥4时(x 2+2y)max =2b +4，
当
b 24
≤b 时，即0≤b ≤4时(x 2
+2y)max =
b 24
+4，
∴ (x 2
+2y)max ={
2b +4,b ≥4
b 24
+4，0≤b <4
；
（3）不能，如再加条件xy <0就可使x 、y 之间建立函数关系，
解析式y =
{
−√1−x 2
b
2x >0
√1−x 2
b 2，x <0
（不唯一，也可其它答案）．
23. 解：（1）∵ f(2)=2+a 2
=2+
√2
2
，∴ a =√2．
（2）设点P 的坐标为(x 0, y 0)，则有y 0=x 0+√2
x 0，x 0>0，
由点到直线的距离公式可知，|PM|=
00√2
=
1x 0
，|PN|=x 0，
∴ 有|PM|⋅|PN|=1，即|PM|⋅|PN|为定值，这个值为1． （3）由题意可设M(t, t)，可知N(0, y 0)． ∵ PM 与直线y =x 垂直，
∴ k PM ⋅1=−1，即y 0−t x 0
−t =−1．解得t =1
2(x 0+y 0)．
又y 0=x 0+√2x 0
，∴ t =x 0+√2
2x 0
．
∴ S△OPM=1
2x02+√2
2
，S△OPN=1
2
x02+√2
2
．
∴ S
四边形OMPN =S△OPM+S△OPN=1
2
(x02+1
x02
)+√2≥1+√2．
当且仅当x0=1时，等号成立．
此时四边形OMPN的面积有最小值：1+√2．。