高中数学 每日一题(3月27日-4月2日)理 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题
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3月27日 复数的分类
高考频度:★★★☆☆ 难易程度:★★☆☆☆
已知复数z =22
76
1
a a a -+-2(56)i a a +--,a ∈R . (1)若复数z 为实数,求实数a 的值; (2)若复数z 为虚数,求实数a 的取值范围; (3)是否存在实数a ,使得复数z 为纯虚数? 【参考答案】(1)6;(2)(,1)
(1,1)(1,6)(6,)-∞--+∞;(3)不存在实数a 使得复数z 为纯虚数.
【试题解析】(1)当z 为实数时,有2
560a a --= ①,且22
761
a a a -+-有意义 ②, 由①可得1a =-或6a =,由②可得1a ≠±, 所以6a =,即6a =时,复数z 为实数.
(2)当z 为虚数时,有2
560a a --≠ ③,且22
76
1
a a a -+-有意义 ④, 由③可得1a ≠-且6a ≠,由④可得1a ≠±, 所以1a ≠±且6a ≠, ∴当(,1)
(1,1)(1,6)(6,)a ∈-∞--+∞时,复数z 为虚数.
(3)若复数z 为纯虚数,则222
5607601
a a a a a ⎧--≠⎪
⎨-+=⎪-⎩,无解,
所以不存在实数a 使得复数z 为纯虚数.
【解题必备】(1)依据复数的分类求参时要先确定参数的取值范围,再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意求出的参数的值或取值范围必须使代数式有意义(如本题中的分式,必须使分式有意义). (2)若复数i z a b =+(),a b ∈R 为实数,则0b =; 若复数i z a b =+(),a b ∈R 为虚数,则0b ≠;
若复数i z a b =+(),a b ∈R 为纯虚数,则0a =且0b ≠. (3)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如下图所示:
1.若复数22(2)(2)i z a a a a =-+--为纯虚数,则实数a 的值等于_____________. 2.写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.
4,23i -,0,12
i 23
-
+,53i +,7i . 3.求实数m 的值,使复数22(56)(3)i z m m m m =-++-分别是 (1)实数;(2)纯虚数;(3)零.
1.0 【解析】由题意得,复数22(2)(2)i z a a a a =-+--为纯虚数,则220a a -=且220a a --≠,由220a a -=,解得0a =或2a =;由220a a --≠,解得1a ≠-且2a ≠.综上可得0a =. 2.【解析】4,23i -,0,12i 23-
+,53i +,7i 的实部分别是4,2,0,1
2
-,5,0;虚部分别是0,3-,0,2337.其中,4,0是实数;23i -,12
i 23
-+,53i +,7i 是虚数;7i 是纯
虚数.
3.【答案】(1)0m =或3;(2)2m =;(3)3m =.
【思路分析】(1)根据复数的概念可知,复数的虚部为0即可;(2)复数的实部为0,虚部不等于0即可;(3)复数的实部、虚部都等于0即可.
【解析】(1)若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-为实数,则230m m -=, 解得0m =或3m =,
所以当0m =或3时,复数z 是实数.
(2)若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-为纯虚数,则2560m m -+=且230m m -≠, 由2560m m -+=,解得2m =或3m =; 由230m m -≠,解得0m ≠且3m ≠.
综上可得2m =,所以当2m =时,复数z 是纯虚数.
(3)若复数22(56)(3)i z m m m m =-++-为零,则2560m m -+=且230m m -=, 由2560m m -+=,解得2m =或3m =; 由230m m -=,解得0m =或3m =.
综上可得3m =,所以当3m =时,复数z 是零.
3月28日 复数相等
高考频度:★★★★☆ 难易程度:★★☆☆☆
已知复数2
1(4)i m z m =+-,22cos (3sin )i z θλθ=++,其中m ,λ,θ∈R ,若12z z =,则实数λ的
取值范围是 A .[1,1]-
B .9
[,1]16-
C .9
[,7]16
-
D .9
[,1]16
【参考答案】C
【试题解析】由12z z =,可得2cos m θ=且243sin m λθ-=+, 以上两式联立消去m 可得θλθsin 3cos 442+=-,
当1sin -=θ时,λ取得最大值,为7. 故9
716
λ-
≤≤.故选C . 【解题必备】(1)复数i a b +与i c d +相等的充要条件是a c =且b d =.
(2)复数相等的充要条件是化复为实的主要依据,多用来求解参数的值或取值范围.步骤是:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解. 1.下列说法正确的是
A .如果两个复数的实部的差与虚部的差都等于0,那么这两个复数相等
B .i a 是纯虚数()a ∈R
C .如果复数i x y +(,)x y ∈R 是实数,则0x =且0y =
D .复数i a b +(),a b ∈R 不是实数
2.已知a ,b 为实数,若复数12i ()i a b a b +=-++,则ab =_____________.
3.已知x ,y ∈R ,若(2)i 3(19)i x y x y x y ++-=--+-,则i x y +=_____________.
1.A 【解析】两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等,即它们的实部的差与虚部的差都为0,故A 正确;当0a =时,i a 是实数0,故B 不正确;i x y +是实数,只需0y =即可,故C 不正确;当0b =时,复数i a b +为实数,故D 不正确.故选A .
2.34 因为a ,b ∈R ,所以利用两复数相等的充要条件可得12a b a b -=⎧⎨+=⎩,解得32
12
a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以34ab =.
3.45i -+ 【解析】因为x ,y ∈R ,所以利用两复数相等的充要条件可得3219x y x x y y +=--⎧⎨-=-⎩,解得4
5
x y =-⎧⎨=⎩,
所以i 45i x y +=-+.
3月29日 复数与复平面内的点的一一对应
高考频度:★★★★☆ 难易程度:★★☆☆☆
设复数22(4)i z m m =+-,当实数m 取何值时,复数z 对应的点: (1)位于实轴上? (2)位于第一、三象限?
(3)位于以原点为圆心、4为半径的圆上? 【参考答案】(1)2m =±;(2)(,2)
(0,2)-∞-;(3)0m =或2±.
【试题解析】(1)若复数z 对应的点位于实轴上,则240m -=,解得2m =±, 所以当2m =±时,复数z 对应的点位于实轴上.
(2)若复数z 对应的点位于一、三象限,则22(4)0m m ->,即(2)(2)0m m m -+<, 解得2m <-或02m <<, 所以当(,2)
(0,2)m ∈-∞-时,复数z 对应的点位于第一、三象限.
(3)若复数z 对应的点位于以原点为圆心、4为半径的圆上, 则2222(2)(4)4m m +-=,解得0m =或2m =±,
所以当0m =或2±时,复数z 对应的点位于以原点为圆心、4为半径的圆上. 【解题必备】(1)复数的实质是有序实数对. (2)复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i .
(3)当0a =,0b ≠时,i 0i i a b b b +=+=是纯虚数,所以虚轴上的点()()0,0b b ≠都表示纯虚数. (4)复数i z a b =+中的z ,书写时应小写;复平面内点,()Z a b 中的Z ,书写时应大写.
(5)在复平面上,点,()Z a b 和复数i z a b =+(,)a b ∈R 一一对应,所以复数可以用复平面上的点来表示,这就是复数的几何意义.复数几何化后就可以进一步把复数与向量沟通起来,从而使复数问题可通过画图来解决,即实现了数与形的转化.由此将抽象问题变成了直观的几何图形,更直接明了.
(6)如果Z 是复平面内表示复数i z a b =+(,)a b ∈R 的点,则①当0a >,0b >时,点Z 位于第一象限;当0a <,0b >时,点Z 位于第二象限;当0a <,0b <时,点Z 位于第三象限;当0a >,0b <时,点
Z 位于第四象限.②当0b >时,点Z 位于实轴上方的半平面内;当0b <时,点Z 位于实轴下方的半平面
内.
1.复数22cos
isin 33
z ππ=+在复平面内对应的点在 A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限
D .第四象限
2.已知两个不相等的复数1i z a b =+(,)a b ∈R ,2i(,)z c d c d =+∈R ,若复数1z 与2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,则a ,b ,c ,d 之间的关系为 A .a c =-,b d = B .a c =-,b d =- C .a c =,b d =-
D .a c ≠,b d ≠
3.已知复数22lg(214)(6)i z m m m m =+-+--. (1)若复数z 是实数,求实数m 的值;
(2)若复数z 对应的点位于复平面的第二象限,求实数m 的取值范围.
1.B 【解析】由题意可知,21
cos 32π=-,23sin 3π=132z =-,对应的点在第二象限.故选B .
2.A 【解析】复数1i z a b =+(,)a b ∈R 对应的点为(,)P a b ,复数2i(,)z c d c d =+∈R 对应的点为(,)Q c d ,因为点P 与点Q 关于y 轴对称,所以a c =-,b d =.故选A . 3.(1)3;(2)(5,115)---.
【思路分析】(1)要使复数z 是实数,应满足对数的真数大于零且虚部等于零;(2)复数z 对应的点位于复平面的第二象限应满足实部小于零,即“真数大于零且小于1”,同时虚部大于零,列出不等式组即可求得实数m 的取值范围.
【解析】(1)因为若复数z 是实数,所以2
260
2140m m m m ⎧--=⎪⎨+->⎪⎩
,解得3m =,
所以当3
m=时,复数z是实数.
(2)因为复数z对应的点位于复平面的第二象限,所以
2
2
lg(214)0
60
m m
m m
⎧+-<
⎪
⎨
-->
⎪⎩
,
即
2
2
02141
60
m m
m m
⎧<+-<
⎪
⎨
-->
⎪⎩
,即
2
2
2
2140
2150
60
m m
m m
m m
⎧+->
⎪
+-<
⎨
⎪-->
⎩
所以当(5,1
m∈--时,复数z对应的点位于复平面的第二象限.
3月30日 复数与平面向量的一一对应
高考频度:★★☆☆☆ 难易程度:★★☆☆☆
已知平面直角坐标系中O 是原点,向量OA ,OB 对应的复数分别为23i -,32i -+,那么向量BA 对应的复数是 A .55i -+ B .55i - C .55i +
D .55i --
【参考答案】B
【试题解析】向量OA ,OB 对应的复数分别为23i -,32i -+,根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量(2,3)OA =-,(3,2)OB =-.由向量减法的坐标运算可得向量(5,5)BA OA OB =-=-,根据复数与复平面内的点一一对应,可得向量BA 对应的复数是55i -.故选B .
【解题必备】(1)根据复数与平面向量的对应关系,可知当平面向量的起点为原点时,向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后,从原点引出的指向该点的有向线段,即为复数对应的向量.
(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时,一般以复数与复平面内的点一一对应为工具,实现复数、复平面内的点、向量之间的转化.
1.若向量(1,3)OZ =-,则向量OZ 对应的复数为 A .1
B .3i -
C .13i -
D .3i
2.在复平面内,O 为原点,向量OA 对应的复数为12i -+,若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ,则向量OB 对应的复数为 A .2i -- B .2i -+ C .12i +
D .12i -+
3.在复平面内,O 是原点,若向量OA ,OC ,AB 表示的复数分别为2i -+,32i +,15i +,则向量BC 表示的复数为 A .44i - B .44i + C .44i --
D .44i -+
1.C 【解析】向量OZ 对应的复数是1(3)i 13i +-=-.故选C .
2.B 【解析】复数12i -+对应的点为(1,2)A -,点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -,所以向量OB 对应的复数为2i -+.故选B .
3.A 【解析】由题可得(2,1)OA =-,(3,2)OC =,(5,1)AC OC OA =-=,而(4,4)BC AC AB =-=-,故向量BC 表示的复数为44i -.故选A .
3月31日 复数的模
高考频度:★★★★☆ 难易程度:★★☆☆☆
已知02a <<,复数z 的实部为a ,虚部为1,则||z 的取值范围是 A .(1,5)
B .(1,3)
C .(1,5)
D .(1,3)
【参考答案】C
【试题解析】由02a <<,可得204a <<,2115a <+<,则2115a <+<, 因为复数z 的实部为a ,虚部为1,所以2||1z a =+,1||5z <<,故选C .
【解题必备】向量OZ 的模r 叫做复数i z a b =+的模,记作||z 或|i |a b +.如果0b =,那么i z a b =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值).由模的定义可知:22||||(0i ,)z r a a b b r r ===+≥∈+R .
1.设复数1i()z b b =+∈R 且||2z =,则复数z 的虚部为 A .3 B .3± C .1±
D .3i ±
2.若复数21(1)i z a a =-+-是纯虚数,则||z = A .1 B .2 C .3
D .4
3.若复数2(1)i z a =++,且||22z <,则实数a 的取值范围是______________.
1.B 2212b +=,所以3b =±z 的虚部为3±B .
2.B 【解析】由21(1)i z a a =-+-是纯虚数,可得210a -=且10a -≠,所以1a =-,故2i z =-,所以||2z =,故选B .
3.(3,1)- 【解析】因为复数2(1)i z a =++,且||22z <所以24(1)22a ++<,即24(1)8a ++<,
解得31a -<<,故实数a 的取值范围是(3,1)-.
4月1日 周六培优特训
高考频度:★★★★☆ 难易程度:★★☆☆☆
是纯虚数,则tan()θ-π的值为
A B C D 【参考答案】C
【试题解析】4
05θ-≠,
C .
【解题必备】本题主要考查了复数的基本概念,属于基础题.纯虚数是一个易错概念,同学们往往只关注实部为零的要求,而忽略了虚部不能为零的限制.本题要求同学们基础知识必须清楚,复数的分类根据虚
1.若a ,b ∈R ,i 是虚数单位,则“0ab =”是“复数i a b -为纯虚数”的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件
D .即不充分也不必要条件
2.下列命题中,正确命题的个数是
①若x ,y ∈C ,则i 1i x y +=+的充要条件是1x y ==; ②若a ,b ∈R 且a b >,则i i a b +>+; ③若220x y +=,则0x y ==. A .0 B .1 C .2
D .3
3.已知复数22(56)(215)i z m m m m =+++--,当实数m 为何值时: (1)复数z 为实数; (2)复数z 为虚数;
(3)复数z 为纯虚数;
(4)复数z 对应的点Z 在第四象限.
1.B 【解析】当0ab =时,0a =或0b =,复数i a b -为纯虚数时,0a =且0b ≠,那么“0ab =”是“复数i a b -为纯虚数”的必要不充分条件,故选B .
2.A 【解析】对①,由于x ,y ∈C ,所以x ,y 不一定是i x y +的实部和虚部,故①是假命题;对②,由于两个虚数不能比较大小,故②是假命题;③是假命题,如221i 0+=,但10≠,i 0≠.故正确命题的个数是0.故选A .
3.(1)3m =-或5;(2)3m ≠-且5m ≠;(3)2m =-;(4)(2,5)m ∈-.
【思路分析】复数z 由两部分组成,分为实部与虚部,若想要z 为实数,就需要虚部等于0;若想要z 为虚数,则需要虚部不等于0;若想要z 为纯虚数,则满足的条件是实部等于0、虚部不等于0;点Z 在第四象限的条件是:实部为正数、虚部为负数,所以对于复数z 就有:实部大于零且虚部小于零.根据题中要求,对应列出方程(组),求出结果即可.
【解析】(1)因为复数22(56)(215)i z m m m m =+++--为实数, 所以22150m m --=,解得3m =-或5m =, 所以当3m =-或5时,复数z 为实数.
(2)因为复数22(56)(215)i z m m m m =+++--为虚数, 所以22150m m --≠,解得3m ≠-且5m ≠, 所以当3m ≠-且5m ≠时,复数z 为虚数.
(3)因为复数22(56)(215)i z m m m m =+++--为纯虚数,
所以2
25602150
m m m m ⎧++=⎪⎨--≠⎪⎩,解得2m =-,
所以当=2m -时,复数z 为纯虚数. (4)因为复数z 对应的点Z 在第四象限,
所以
2
2
560
2150
m m
m m
⎧++>
⎪
⎨
--<
⎪⎩
,解得25
m
-<<,
所以当(2,5)
m∈-时,复数z对应的点Z在第四象限.
4月2日 周日培优特训
高考频度:★★★★☆ 难易程度:★★☆☆☆
已知虚数2i(,)y x x y -+∈R 的模为3,则y
x
的最大值是_____________. 【参考答案】3
【试题解析】因为复数2i(,)y x x y -+∈R 的模为3,所以22(2)3x y -+=.
根据
y
x
的几何意义:表示动点(,)x y 到定点(0,0)的斜率可知,当直线y kx =与圆22(2)3x y -+=相切于第一象限时,y
x
取得最大值,如图,由圆的半径为3,圆心到原点的距离为2,构造直角三角形易得
22
3
32(3)k =
=-,故y x 的最大值是3.
【解题必备】根据复数的几何意义及复数模的定义可知,复数i(,)z a b a b =+∈R 的模的几何意义就是复平面内点(,)a b 到原点的距离.解决复数模的几何意义问题,需把握两个关键点:一是||z 表示点Z 到原点的距离,可依据||z 满足的条件判断点Z 的集合表示的图形;二是利用复数模的定义,把模的问题转化为几何问题来解决.
【方法点晴】本题主要考查了复数的基本概念、复数的模、简单的线性规划,着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用、属于中档试题,本题的解答中,先由复数的模得22(2)3x y -+=,把根据y
x
的几何意义转化为动点(,)x y 到定点(0,0)的斜率,利用数形结合的方法,即可求得y
x
的最大值. 1.如果复数z 满足|||i 2|i z z ++-=,那么||i 1z ++的最小值是 A .1 B 2C .2
D 5
2.在复平面上,设点A 、B 、C 对应的复数分别为i ,1,42i +,顺次过A 、B 、C 做平行四边形ABCD ,则点D 的坐标为_______________.
3.设z ∈C ,满足下列条件的点Z 的集合表示的是什么图形? (1)||2z =; (2)2||3z <<.
1.A 【解析】因为|||i 2|i z z ++-=,所以复数z 对应的点Z 到点(0,1)A -与到点(0,1)B 的距离之和为2,故点Z 的轨迹为线段AB .而||i 1z ++表示点Z 到点(1,1)--的距离.数形结合,可得||i 1z ++的最小值为1.故选A .
2.(3,3) 【解析】设),(y x D ,由复数的几何意义,可得
AB DC =,即1i 4(2)i x y -=-+-,即
41
21x y -=⎧⎨
-=-⎩,解得⎩
⎨⎧==33y x ,故点D 的坐标为(3,3). 3.(1)以原点为圆心、2为半径的圆;(2)以原点为圆心、2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界.
【思路分析】依据复数的几何意义和复数模的定义求解.
【解析】(1)因为||2z =,即||2OZ =,所以满足||2z =的点Z 的集合是以原点为圆心、2为半径的圆,如图1所示.
(2)不等式2||3z <<可化为不等式组||2
||3z z >⎧⎨
<⎩
,
不等式||2z >的解集是||2z =外部所有的点组成的集合, 不等式||3z <的解集是||3z =内部所有的点组成的集合,
以上两个集合的交集就是不等式组||2
||3z z >⎧⎨
<⎩
的解集.
因此,满足条件2||3z <<的点Z 的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图2所示.
图1 图2。