湘教版数学八年级上册 2.6 用尺规作三角形

解：如图所示，
N
① 作∠MCN = 90°；
B
② 在射线 CM 上截取 CA = b，
在射线 CN 上截取 CB = a；
a
③ 连接AB，则△ABC 就是所求 作的三角形.
·C b A M
3. 如图，已知线段 a 和锐角∠α，求作一个 Rt△ABC，
使∠ACB = 90°，∠B =∠α，BC = a. 解：如图所示，
湘教版数学八年级上册
第2章 三角形
2.6 用尺规作三角形
第1课时 已知三边作三角形
问题1 如何画一条线段等于已知线段？
问题2 自己画一条线段，利用尺规作图的原理，作出 这条线段的垂直平分线.
思考：我们前面所学的几何图形中除了线段之外，还 有角、三角形等，那么你是否也能利用尺规来按要求 作出相应的图形或全等的图形呢？
画一画：如图，已知线段 a，h．
求作△ABC，使 AB = AC，且 BC = a，高 AD = h．
思考：
·a ·
① 所作的图形是什么？满足哪些条件？ · h
·
② 根据条件，你认为先作出等腰三角形的哪部分？
底边 BC = a ③ 如何作底边上的高？底边上的高在什么线上？
底边的垂直平分线
作法：
·a·
② 根据已知条件可先作出△ABC 的哪部分？ ③ 作好一边后，怎样作出三角形的另外两边？
作法：(1) 作线段 BC＝a； (2) 以 C 为圆心，b 为半径画弧； (3) 以 B 为圆心，c 为半径画弧，两弧相交于点 A； (4) 连接 AB，AC，则△ABC 为所求作的三角形.
A
B
CM
已知底边及底边上的高线作等腰三角形
AC = b，BC 边上的中线 AD = m，作法合理的顺序依
次为
( A)
① 延长 CD 到点 B，使 BD = CD；② 连接 AB；
③ 作△ADC，使 DC = 1 a，AC = b，AD = m.
2
A. ③①② B. ①②③ C. ②③① D. ③②①
作角平分线
画一画：已知∠AOB，求作∠AOB 的平分线.
已知两边及其夹角作三角形
画一画：如图，已知∠α 和线段 a，c. 求作△ABC，使 ∠B =∠α，BC = a，BA = c.
α
作法：
(1) 作∠MBN =∠α； (2) 在射线 BM，BN 上分别截取
N A
BC = a，BA = c；
α
B
CM
(3) 连接 AC，则△ABC 为所求作的三角形.
典例精析 例1 如图所示，已知线段 a，b，∠α，求
说一说：为什么 OC 是∠AOB 的平分线？
练一练 如图，已知∠AOB.
求作：∠AOB 的补角的平分线(保留作图痕迹，不写
作法).
B
O
C
D
A 解：如图，∠AOB 的补
角为∠AOC，其平分线
为射线 OD.
1. 如图，一个机器零件上的两个孔的中心 A，B 已定好， 又知第三个孔的中心 C 距 A 点 1.5 m，距 B 点 1.8 m. 如何找出 C 点的位置呢？ 解：以点 A 为圆心，1.5 cm 为半径 C 画弧，再以点 B 为圆心，1.8 cm 为半径画弧，两弧的交点即为第 三个孔的中心 C.
半径画弧，交 O'A' 于点 C'；
(3) 以 C' 为圆心，CD 长为半径 O' 画弧，交前弧于点 D'；
B' D' C' A'
(4) 过 D' 作射线 O'B'， 则∠A'O'B'为什么 ∠A'O'B' 就是所求作的角？ 解：由作图过程可知：
O'C' = OC，O'D' = OD，D'C' = DC， 根据“SSS”可得△D'O'C'≌△DOC， ∴∠D'O'C' = ∠DOC， 即∠A'O'B' = ∠AOB.
2. 如图，△ABC 是三边均不相等的三角形，DE = BC， 以 D，E 为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三 角形与△ABC 全等，这样的三角形最多可以画 4 个.
A
B
CD
E
三角形作图
根据条件 作三角形
作角平分线
已知三边作三角形
已知底边及底边上 的高作等腰三角形
↑(应用)
作线段 垂直平
分线
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第2章 三角形
2.6 用尺规作三角形
第2课时 已知角和边作三角形
利用不同的工具，你能将一个角从一个位置 移到另一个位置吗？你有什么办法？
能用尺规作 图得到吗？
方法：平移法、折叠法等.
作一个角等于已知角
画一画：如图，已知∠AOB，求作一个角，
使它等于∠AOB.
B
O
A
作法：
(1) 作射线 O'A'； (2) 以 O' 为圆心，OC (或 OD) 的长为
作△ABC，使 BC = a，AC = b，∠C = 1∠α(不写作法，
2
保留作图痕迹).
AD
a
b
α 12α
C 12α B E
分析：首先要完成 1∠α 的作图问题，然后作出三角形.
2
解：如图所示，△ABC 即为所求.
已知两角及其夹边作三角形
画一画：如图，已知∠α，∠β 和线段 a . 求作△ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，BC = a.
M
(1) 作线段 BC＝a；
·h
·A
(2) 作线段 BC 的垂直平分线 MN 交 BC 于点 D；
(3) 在射线 DM (或 DN) 上截取线段 DA，使
DA = h；
(4) 连接 AB，AC， 则△ABC 为所求作的三角形.
D
B
C
思考：本题应用了哪几种基本作图法？
N
典例精析
例1 已知线段 a，b 和 m，求作△ABC，使 BC = a，
ASA
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已知三边作三角形
根据三角形全等的判定条件，已知三边、两边
及其夹角、两角及任何一边，都可以确定唯一的一
个三角形.
思考：怎么根据这些判定方法用尺规来作三角形呢？
·a ·
·b ·
·c
·
已知：线段 a，b，c.
求作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，AB＝c.· ·
思考：
·
a·
b·
c
·
① 已知哪些量？所作的三角形满足什么条件？
作法：
(1) 作线段 BC = a；
(2) 在 BC 的同旁，作∠DBC =∠α， E
D A
∠ECB =∠β，BD 与 CE 相交于
点 A.
αβ
B
C
则△ABC 为所求作的三角形.
思考：这里用了哪些作图方法?
用尺规完成下列作图
(只保留作图痕迹，不要求写出作法). C
1. 用尺规作一个角等于 90°. 解：如图所示，
① 作∠MCN = 90°；
N
② 在射线 CM 上截取 CB = a；
③ 以 B 为顶点，BC 为一边，
在 CM 的上侧作∠CBA = ∠α，
A
交 CN 于 A.
则△ABC 就是所求作的三角形.
C·
BM
三角形 作图
作一个角等于已知角
根据条件 作三角形
→ 已知两边及夹角作 三角形
SAS
→ 已知两角及夹边作 三角形
A 分析：
以角的顶点为三角形的一个顶点，
在角的内部构造两个全等三角形. O
B
作法：
(1) 在 OA、OB 上分别截取 OD、OE，
使 OD = OE；
(2) 分别以 D、E 为圆心，以大于 12DE
的长为半径画弧，在∠AOB 内两弧
交于点 C；
O
A DC
EB
(3) 作射线 OC，则 OC 为所求的∠AOB 的平分线.
① 在直线 l 上截取线段 PA、PB，
使 PA = PB；
A
② 分别以点 A、B 为圆心，大于
P· B l
PA 的任意长度为半径画弧，
两弧相交于点 C；
③ 连接 CP，则∠CPA = ∠CPB = 90°.
2. 如图，已知线段 a，b，求作一个直角三角 a
形，使它的两直角边分别为 a 和 b.
b