2023年福建省宁德市部分达标中学高二上学期期中联合考试数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知点，
，则直线AB 的倾斜角是( )
2023年福建省宁德市部分达标中学高二上学期期中联合考试
数学试题
A. B.
C.
D. 2.设为等差数列
的前n 项和，已知，
，则
( )A. 3 B. 4
C. 5
D. 6
3.某圆经过两点，圆心在直线
上，则该圆的标准方程为( )
A. B. C.
D. 4.已知椭圆C ：的离心率为
，且点在椭圆C 上，则该椭圆的短轴长为
( )A. 1 B.
C. 2
D.
5.已知直线，直线的法向量与直线
的方向向量互相平行，则
( )
A.
B. 8
C.
D. 2
6.已知椭圆的两个焦点分别为，
为椭圆上任意一点，若
是
与
的等差
中项，则此椭圆的标准方程为( )A.
B.
C. D.
7.苏州有很多圆拱的悬索拱桥如寒山桥，经测得某圆拱索桥如图的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与
相距30米的支柱
的高度是米
注意：
( )
A. B. C. D.
8.已知数列的前n项和为，且，记数列的前n项和为，若对于任意，不等式恒成立，则实数k的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9
.已知直线：，：，：不能围成三角形，则实数a的取值可能为( )
A. 1
B.
C.
D.
10.下列命题正确的有( )
A. 直线恒过定点
B.
已知圆与圆相交于两点，则直线的方程为
C. 圆与圆恰有三条公切线，则
D. 已知点分别为圆与直线上的动点，则的最小值为
11
.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E上，若是直角三角形，则
的面积可能为( )
A. 5
B. 4
C.
D.
12.下列结论成立的有( )
A.
若是等差数列，且，，则
B.
C. 数列的通项公式为，则前99项和
D. 若两个等差数列、的前n项和、且，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知，方程表示圆，则__________.
14.已知是椭圆上一点，F是椭圆的右焦点，设点F到直线的距离为d，则
__________.
15.直线与曲线有两个不同的公共点，则实数k的取值范围是__________.
16.如图，该图形称之为毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理作出的一个可以无限重复的图形.图1是边长为1的正方形，以正方形的一边为斜边作直角三角形，再以直角三角形的两个直角边为边分别作正方形得到图2，重复以上作图得到图3，4，…，记图1中正方形的个数为，图2中正方形的个数为，图3中正方形的个数为，图4中正方形的个数为，依此类推，第n个图形中的正方形个数为，则__________;若记是数列的前n项和，则__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分
已知等差数列的前n项和为，公差，且，成等比数列.
求公差d的值;
求
18.本小题12分
已知圆，
直线与圆C交于两点，求的值;
过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
19.本小题12分
数列的前n项和分别为，且，
求及数列的通项公式;
设，求数列的前n项和.
20.本小题12分
2020年是充满挑战的一年，但同时也是充满机遇､蓄势待发的一年．突如其来的疫情给世界带来了巨大的冲击与改变，也在客观上使得人们更加重视科技的力量和潜能．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．假设该企业第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了，预
计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．写出与的关系式，并判断是否为等比数列；
若企业每年年底上缴资金，第年年底企业的剩余资金超过21000万元，求m的
最小值．
21.本小题12分
已知圆，直线
求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程;
已知点，在直线上为坐标原点存在定点不同于点，满足对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.
22.本小题12分
已知动点P到点的距离与到直线的距离之比为
设动点P的轨迹为曲线C，求曲线C的标准方程;
曲线C上有两点不在坐标轴上，且直线与x轴不垂直，试问当的面积最大
时，直线与的斜率之积是否为定值?若直线与的斜率之积为定值，求出其值;若不为定值，请说明理由
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
由斜率公式求出直线AB的斜率，再由斜率与倾斜角的关系，可求出倾斜角.
【解答】
解：由，，得，
设直线AB的倾斜角为，则，
因为所以
故选：
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质与求和，属于基础题．
由条件可得继而可得结果．
【解答】
解：设等差数列的公差为d，由题意可知，解得，，所以
故选
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查圆的标准方程，属于基础题，
根据题意求出圆心和半径即可.
【解答】
解：根据圆的平面几何性质可知圆心在AB的中垂线上，联立方程可得圆心坐标，再求出半径即可得解.因为圆经过，两点，
所以圆心在中垂线上，
联立解得圆心，所以圆的半径，故所求圆的方程为，
故选
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是基础题.
由题可知，，进一步可求出b的值，从而得短轴的长.
【解答】
解：由题意，因为，，
所以，
所以，
则该椭圆的短轴长为
选
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查直线的法向量，方向向量，两条直线垂直的判断，属于基础题.
由题意可得垂直，据此即可求解.
【解答】
解：由题意知，垂直，
则，得，
故选：A
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的标准方程，等差数列的性质，考查学生的计算能力，属于基础题.利用椭圆定义结合a，b，c的关系求解即可得.
【解答】
解：由题意，
故，又，则
又椭圆的焦点在y轴上，
所以椭圆的标准方程为
故选
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查圆的方程的应用，求得圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中档题.
建立平面直角坐标系，求得点A的坐标，设所求圆的半径为r，由勾股定理可列等式，求得r的值，进而可求得圆的方程，然后将代入圆的方程，求出点N的纵坐标，可计算出MN的长，即可得出结论.【解答】
解：以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴，建立平面直角坐标系，
由题意可知，点A的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为r，
，由勾股定理可得，
即，解得，
圆心坐标为，则圆的方程为，
将代入圆的方程得，
，解得，
米
故选：
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查数列的求和，熟练掌握利用求数列的通项公式，等比数列的定义，以及裂项求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
根据，可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，从而求得，再根据裂项相消求和法，即可得解．
【解答】
解：由，
令，则，
当时，，
两式相减得，，即，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
即，
所以，
则…恒成立，
所以
故实数k的取值范围为
故本题选
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题主要考查两条直线平行的性质，三直线共点问题，属于中档题．
由题意可得，其中有2条直线平行，或者三线经过同一个点，再根据两条直线平行的性质，三直线共点问题，求出a的值．
【解答】
解：直线，，不能围成三角形，
时不符合题意，所以，
故其中有2条直线平行，或者三线经过同一个点.
若其中有2条直线平行，则，或，求得，或
若三线经过同一个点，则直线和直线的交点在上，
故有，求得
综上所述，或或
故选：
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查过定点的直线系，两圆的公切线条数以及方程的确定，直线与圆的位置关系，属中档题.对各个选项逐一进行计算即可求得答案.
【解答】
解：对于A，直线化为：，
令，解得，
所以直线恒过定点，故A正确;
对于B，两圆的方程相减得，所以直线的方程为，故B错误;
对于C，若圆与圆恰有三条公切线，所以两圆外切，
圆的圆心为，半径为1，圆圆心为，半径为，所以圆心距，解得，故C正确;
对D，已知点分别为圆与直线上的动点，
则的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径，
圆心到直线的距离为，
所以的最小值为，故D错误.
故选：
11.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查椭圆的焦点三角形的面积问题，考查分类讨论的思想.
根据对称性只需考虑或，再结合椭圆的定义和三角形面积公式，即可求解．【解答】
解：椭圆，
，，
，，，
若是直角三角形，根据对称性只需考虑或，
当时，将代入，可得，
，
当时，由椭圆的定义可知，，
，
，解得，
故，
综上所述，的面积可能为4或
故本题选
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质和求和公式，属于中档题.
利用等差中项的性质可判断AD选项的正误；利用等差数列求和公式可判断B选项的正误；利用裂项求和法可判断C选项的正误.
【解答】
解：对于A选项，由等差中项的性质可得，故，A选项正确；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，
所以，，C选项正确；
对于D选项，由已知可得，
则，D选项正确.
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查圆的一般方程，属于基础题.
只有在时，二元二次方程才表示圆，求解时应注意这个隐含条件.
【解答】
解：由得或2，
当时，方程为，
得，表示圆，满足条件；
当时，方程为，
即，
得，不表示圆，不满足条件，
故，
故答案为：
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了椭圆的标准方程，两点距离公式
由题意可知将点代入椭圆方程可得，，解得，可得，即
，点F到直线的距离为，从而可得结果.
【解答】
解：是椭圆上一点，代入可得，，解得，
，，，点F到直线的距离，
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了直线与圆相交的性质，利用了数形结合的思想求解，属于中档题．
化简曲线的方程，作出直线与半圆的图象，利用数形结合求解.
【解答】
解：由曲线可得，
其图象是以为圆心，半径为2的半圆，
直线是过定点的直线，做出图象，如图所示：
由图可知，，，
所以直线与曲线有两个不同的公共点时，
实数k的取值范围是
故答案为：
16.【答案】；4083
【解析】【分析】
本题考查等比数列的求和公式，考查归纳推理等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、归纳总结能力，属于较难题.
归纳求得，结合等比数列的求和公式得结果.
【解答】
解：由图易知，，，，，
归纳可知，
所以，
是数列的前n项和，由，
所以
故答案为：63；
17.【答案】解：成等比数列，，
由得：，
公差故解得：，公差
由得：
【解析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查等比数列性质，属于基础题.
根据等差数列的通项公式和求和公式，等比数列性质列方程组即可求出，
根据等差数列的求和公式计算即可.
18.【答案】解：圆C的方程可化为：，即圆心为，半径，
依题意圆心到直线的距离，
故
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为：符合题意；
当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为：，即，依题意圆心到直线l的距离，即，
解得，此时直线l的方程为：，
综上，所求的直线l的方程为：或
【解析】本题考查了圆的弦长计算以及圆的切线方程，属于中档题.
先求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长即可；
根据直线过点设出直线方程，再根据切线判定求解即可.
19.【答案】解：，，，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，
在数列中，，当时，，解得，
当时，，
，即
数列是首项和公比都为2的等比数列，
又
或或
【解析】本题考查等比数列和等差数列，考查数列的求和，属于中档题．
由已知条件推导出是首项为1，公差为1的等差数列，数列是首项和公比都为2的等比数列，从而可求和的通项公式；
利用裂项相消和等比数列求和公式，即可求得结果．
20.【答案】解：由题意得，
，
当，即时，，
是以为首项，为公比的等比数列；
当，即时，不是等比数列.
当时，由知，，
，即，
易知单调递增，
又，
，，
的最小值为
【解析】本题考查了考查了等比数列的应用，考查指数函数的性质，属于难题.
根据题意求出，，分情况，利用等比数列的定义判断；
求出，令，可得，利用指数函数的性质可求出m的最小值.
21.【答案】解：依题意，设所求直线方程为
直线与圆相切，
，解得，
所求直线方程为：或
假设存在这样的点，
当P为圆C与y轴的上交点时，
当P为圆C与y轴的下交点时，，
依题意，，解得舍去或
下面证明点对于圆C上任一点P，都有为一常数.
设，则，
，从而为常数.
故满足条件的点B的坐标为
【解析】本题考查直线和圆的位置关系，求圆的切线方程，考查与圆有关的存在性和探究性问题，考查学
生的计算能力，属于中档题．
设所求直线方程为，利用相切得，求解即可得到答案．
假设存在点，利用为一常数这一条件，以及P在圆上，先由特殊点列出关系，求出t的值，再证明所求得的t满足题中条件即可．
22.【答案】解：设点，点P到直线的距离为d，依题意得：代入坐标得：
，
化简得，
故动点P的轨迹C的标准方程为
当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值，
理由如下：由已知与x轴不垂直，可知直线的斜率存在，
设直线方程为，设，，联立，
整理得：，其中，
即且，，
，
又原点O到直线的距离
所以
，当且仅当，即时，等号成立，
所以
又，可得，
所以当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值，定值为
【解析】本题考查动点轨迹方程求法，考查直线与椭圆位置关系应用，是难题.
设，依题意得：代入坐标得：，整理即可；
当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值，
设直线方程为，与椭圆方程联立，结合根与系数之间的关系，弦长公式求解的面积最大时得到，再由计算化简即可.。