2020届四川省宜宾市叙州区第一中学校高三上学期期末考试数学(理)试题

2019-2020学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试
理科数学试题
第I 卷(选择题 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置） 1．已知复数
2a i
i
+-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2
B ．2
C ．
12
D ．-1
2．设全集U 是实数集R ，{}{}
2=log 1,13M x x N x x >=<<，则=N M I A ．{}23x x << B ．{}3x x < C ．{}12x x <≤ D ．{}
2x x ≤ 3．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若452a S +=，714S =，则10a = A ．18 B ．16
C ．14
D ．12
4．函数3cos 1
()x f x x
+=
的部分图象大致是 A ．B ．C ．D ．
5．“0k =”是“直线1y kx =-与圆221x y +=相切”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．一个棱长为2的正方体被一个平面截去部分后，余下部分的三视图如图所示，则截去部分与剩余部分体积的比为 A ．1：3 B ．1：4
C ．1：5
D ．1：6
7．设平面向量()2,1a =-r ，(),2b λ=r ，若a r 与b r
的夹
角为锐角，则λ的取值范围是
A ．()1,22,2⎛⎫
-
⋃+∞ ⎪⎝⎭
B ．()(),44,1-∞--U
C ．()1,+∞
D ．(),1-∞
8．已知m
n 、是两条不同直线,αβ、是两个不同平面,下列命题中的假命题是 A ．若m m αβ⊥⊥，，则αβ∥ B ．若m n m α⊥P ，，则n α⊥
C ．若m n ααβ⋂=P ，，则m n P
D ．若m α⊥，
m 在β内，则αβ⊥ 9．将函数sin 12y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的图象上所有的点向右平移
4
π
个单位长度，再把图象上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
（纵坐标不变），则所得图象的的一条对称轴方程为 A ．524x π=
B ．512
x π= C ．6x π= D ．3x π
= 10．已知1,2a b ==v v ，且()
a a
b ⊥-v v v ，则向量a v 在b v
方向上的投影为
A ．
12
B ．2
C ．1
D ．
22
11．如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u r
x AB y AC =+u u u r
u u u r
，则14
x y
+的最小值为 A ．
32
B ．2
C ．
52
D ．
92
12．过抛物线2
4y x =焦点F 的直线与双曲线2
2
1(0)y x m m
-=>的一条渐近线平行，
并交抛物线于,A B 两点，若|||AF BF >且||3AF =，则m 的值为 A ．8
B ．22
C ．2
D ．4
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知向量()1,2a =r ,()2,2b =-r ,()1,c r
λ=，若()
//2c a b +r r r ,则λ=______．
14．当0x x =时，函数()cos 22sin 2f x x x π⎛⎫
=++
⎪⎝⎭
有最小值，则0sin x 的值为________.
15．已知三棱锥D ABC -中，1AB BC ==,2,5,2,AD BD AC BC AD ===⊥，
则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为________________.
16．已知函数22019()20192019log (1)2x x f x x x -=-++++，则关于x 不等式()(23)4f x f x +->的解集为_______．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
17.（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知0cos cos )2(=++A b B c a . （I ）求B ；
（II ）若ABC b ∆=,3的周长为323+，求ABC ∆的面积.
18．（12分）某高校共有15000人，其中男生10500人，女生4500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位:小时） （1）应收集多少位女生样本数据？
（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：
.估计该校学生每周平均体育
运动时间超过4个小时的概率.
（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 附：
22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
20()P K k ≥
0.10
0.05
0.010
0.005
0k
2.706
3.841
6.635
7.879
19．（12分）如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .
（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；
（2）若PA =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值.
20．（12分）已知226,33P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
是椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与抛物线2
:2(0)E y px p =>的一个公
共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F ． （1）求椭圆1C 及抛物线E 的方程；
（2）设过F 且互相垂直的两动直线12,l l ，1l 与椭圆1C 交于,A B 两点，2l 与抛物线E 交于,C D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值
21．（12分）已知函数()()2
11e 22
x
f x x ax ax =++
+（e 是自然对数的底数）. （Ⅰ）讨论()f x 极值点的个数；
（Ⅱ）若()002x x ≠-是()f x 的一个极值点，且()2
2e f -->，证明：()01f x ≤.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中.已知曲线:2sin x C y α
α
⎧=⎪⎨
=⎪⎩(α为参数)，.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.直线:(2cos sin )6l ρθθ-=.
(1)写出直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；
(2)在曲线C 上取一点P ，使点P 到直线l 的距离最大，求最大距离及此时P 点的坐标.
23．设()|-3||4|f x x x =+-. （1）解不等式()2f x ≤；
（2）已知x ，y 实数满足2
2
23(0)x y a a +=>，且x y +的最大值为1，求a 的值.
2019-2020学年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试
理科数学试题参考答案
1．C 2．A
3．C
4．B
5．C
6．A
7．B
8．C
9．B
10．A
11．D
12．A
13．25
-
14．2
±
15．6π
16．(,1)-∞
17．（Ⅰ）()2cos cos 0a c B b A ++=Q ,
()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ∴++=，
()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,
()sin 2cos sin 0A B B C ++=， ()sin sin A B C +=Q .
1
cos 2B ∴=-,
2
0,3
B B ππ<<∴=Q .
(Ⅱ)由余弦定理得2
2
1922a c ac ⎛⎫
=+-⨯-
⎪⎝⎭
， ()2
229,9a c ac a c ac ++=∴+-=，
33,a b c b a c ++=+=∴+=Q
3ac ∴=，
11sin 322ABC S ac B ∴=
=⨯=
V . 18．（1）由分层抽样性质，得到4500
3009015000
⨯=；（2）由频率分布直方图得()120.10.0250.75-+=；
（3）利用2×2列联表求2K . 试题解析： （1）由4500
3009015000
⨯
=，所以应收集90位女生的样本数据。

（2）由频率发布直方图得()120.10.0250.75-+=，该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率为0.75.
（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75=225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人平均体育运
动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以平均体育运动时间与性别列联表如下：
每周平均体育运动时间与性别列联表
男生 女生
总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时
165 60 225 总计
210 90
300
结合列联表可算得()2
2300456030165 4.762 3.8417522521090
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯
有95％的把握认为“该校学生的平均体育运动时间与性别有关” 19．（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ． 由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面PAD ． 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAD ． （2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ，
由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD .
以F 为坐标原点，FA u u u v
的方向为x 轴正方向，AB u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.
由（1）及已知可得2A ⎫⎪⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，2B ⎫⎪⎪⎝⎭，2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以2222PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v ，)
2,0,0CB =
u u u
v ，2222PA ⎛=- ⎝
⎭u u u v ，()0,1,0AB =u u u
v .
设(),,n x y z =r
是平面PCB 的法向量，则
0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u
v r u u u v r
即220,20,x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪=⎩
可取()
0,1,2n =--r
. 设(),,m x y z r
=是平面PAB 的法向量，则
0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u
u v r u u u v r 即220,220.x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩可取()1,0,1m =r
. 则3cos ,n m n m n m ⋅==-r r
r r
r r ，
所以二面角A PB C --的余弦值为3
-
. 20．（Ⅰ）226,33P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭Q 抛物线E ：()2
20y px p =>一点 2p ∴=，即抛物线E 的方程为24y x =，()1,0F 221a b ∴-=
又226,3P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
Q 在椭圆C ：22
221x y a b +=上
2248193a b
∴
+=，结合221a b -=知23b =（负舍）， 24a =， ∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=，抛物线E 的方程为24y x =.
（Ⅱ）由题可知直线1l 斜率存在，设直线1l 的方程()1y k x =-，
()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ①当0k =时，4AB =，直线2l 的方程1x =，4CD =，故1
82
ACBD S AB CD =
⋅⋅=
②当0k ≠时，直线2l 的方程为()11y x k =--，由()
22114
3y k x x y ⎧=-⎪⎨+
=⎪⎩得()2222
3484120k x k x k +-+-=.
22121222
8412
,3434k k x x x x k k
-∴+==++
由弦长公式知
12AB x =-=
()22121
43
k k +=
+.
同理可得(
)
2
41CD k =+.
(
)
()
(
)
2
2
2
2
221212411141224343
ACBD
k k S AB CD k k k ++∴=⋅⋅=⋅⋅+=++.
令()2
1,1,t k t =+∈+∞，则
2222424244141124ACBD
t S t t t t ===-⎛⎫
---+ ⎪⎝⎭
，当()1,t ∈+∞时，()2
110,1,243t t ⎛⎫∈--+< ⎪⎝⎭
，2483ACBD S >
= 综上所述：四边形ACBD 面积的最小值为8.
21．（Ⅰ）()f x 的定义域为R ，()()()
2e x
f x x a '=++，
①若0a ≥，则e 0x a +>，
所以当(),2x ∈-∞-时，()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(),2-∞-上递减，在()2,-+∞递增. 所以2x =-为()f x 唯一的极小值点，无极大值， 故此时()f x 有一个极值点.
②若0a <，令()()()
2e 0x
f x x a '=++=，
则12x =-，()2ln x a =-， 当2e a -<-时，()2ln a -<-，
则当(),2x ∈-∞-时，()0f x '>；当()()
2,ln x a ∈--时，()0f x '<； 当()()
ln ,x a ∈-+∞时，()0f x '>.
所以－2，()ln a -分别为()f x 的极大值点和极小值点， 故此时()f x 有2个极值点. 当2e a -=-时，()2ln a -=-，
()()(2)e 0x f x x a '=++≥且不恒为0，
此时()f x 在R 上单调递增，无极值点 当2e 0a --<<时，()2ln a ->-，
则当()()
,ln x a ∈-∞-时，()0f x '>；当()()
ln ,2x a ∈--时，
()0f x '<；当()2,x ∈-+∞时，()0f x '>.
所以()ln a -，－2分别为()f x 的极大值点和极小值点， 故此时()f x 有2个极值点.
综上，当2e a -=-时，()f x 无极值点； 当0a ≥时，()f x 有1个极值点；
当2e a -<-或2e 0a --<<时，()f x 有2个极值点. （Ⅱ）证明：若()002x x ≠-是()f x 的一个极值点， 由（Ⅰ）可知(
)()2
2
,e
e
,0a --∈-∞--U ，
又()2
2
2e 2e f a ---=-->，所以(
)2
,e
a -∈-∞-，
且02x ≠-，则()0ln x a =-， 所以()()()
()()201ln ln 2ln 22f x f a a a a ⎡⎤=-=
-+--⎣
⎦. 令()()ln 2,t a =-∈-+∞，则t a e =-， 所以()()()
()2
1ln e 222
t g t f a t t =-=-+-， 故()()14e 2
t
g t t t '=-+
又因为()2,t ∈-+∞，所以40t +>，令()0g t '=，得0t =. 当()2,0t ∈-时，()0g t '>，()g t 单调递增，
页 11第 当()0,t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减，
所以0t =是()g t 唯一的极大值点，也是最大值点，
即()()01g t g ≤=，
故()()
ln 1-≤f a ，即()01f x ≤.
22．解：（1）l 的直角坐标方程为260x y --= 曲线C 的普通方程为22
134
x y += （2
）设),2sin P αα
，则d = 当sin()13
πα-=-时，d 最大，
3(,1)2P ∴-
，max d =， 23．解：（1）当3x <时，不等式化为342x x -+-+≤，此时2.53x ≤<， 当34x ≤≤时，不等式化为342x x --+≤，成立，
当4x >时，不等式化为342x x -+-≤，此时4 4.5x <≤，
综上所述，原不等式的解集为[2.5,4.5]；
（2
）柯西不等式得22222))()x y ⎡⎤⎡⎤++≥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
，因为2223(0)x y a a +=>， 所以25()6
x y a +≤，（当23x y =时，取等号）， 又因为x y +的最大值为1，所以65
a =.。