§8-4-磁场的高斯定理和安培环路定理-(2)

由叠加原理，整个电流回路的磁
场中任意闭合曲面的磁通量必定都
等于零，这就是磁场的高斯定理。
S B dS = 0
Idl
B
1
二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem)
1. 安培环路定理的表述：
恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路
的积分等于此环路所包围的电流代数和的
2π
围绕单根载流导线的任一回路 L：
L2
对L，每个 线元
dl
以过垂直导线平面作参考，分
解为分量dl//和垂直于 该平面的分 量 dl，有
L B dl
L//
B dl//
L
B
dl
dl B 0
B dl
L
L// B dl//
0I
证明步骤同上 4
围绕多根载流导线的任一回路 L：
设
I1,
I
§8-4 磁场的高斯定理和安培环路定理
一、磁场的高斯定理(Gauss’ theorem of magnetic field) 根据毕奥-萨伐尔定律，电流元的磁场以其为轴对
称分布，垂直于电流元的平面内的磁感线是头尾相 接的闭合同心圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线
的净条数必等于零，任意闭合曲面的都为零。
L
B
dl
L
0I rd
2π r
0I
在围绕单根载流导线的
垂直平面内的任一回路：
Ldl dBFra bibliotekB dl Brd
I
L
B
dl
L
0I rd
2π r
0I
r d
3
闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路：
L B dl L1 B dl L2 B dl
I
0I [ ()] 0
L1
穿过回路 的电流
5
推广到一般情形：
B dl
L
0
Ii
i
在恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的
积分等于此闭合环路所包围的电流代数和的0倍。
这个结论就是安培环路定理。
安培环路定理的存在说明磁场不是保守场，不存 在标量势函数。这是恒磁场不同于静电场的一个十 分重要的性质。
安培环路定理可以用来处理电流分布具有一定对 称性的恒磁场问题，就像用高斯定理来处理电荷分 布具有一定对称性的静电场问题一样。
2
,,
I
n
电流过回路，I
n1,
I
n2
,,
I
nk
电流不穿过回路L。令 B1, B2 ,, Bnk 分别为单根
导线产生的磁场，则有
L B1 dl 0I1 , , L Bn1 dl 0
所有电流的总场
L Bn dl 0 In , , L Bnk dl 0
任意回路
L B dl 0 Ii i
6
例1 求载流无限长直螺线管内任一点的磁场。
解 一个单位长度上有
n匝线圈的无限长直螺
线管由于是密绕， 所以
B
每匝视为圆线圈。
由对称性分析场结构：
1. 磁场只有与轴平行
的水平分量；
×
2. 因为是无限长，在 与轴等距离的平行线 上磁感应强度相等。
×
7
取矩形回路L, ab 边在
c
d
×
轴上，cd 边与轴平行，另
倍。
0
表达式
B dl
L
0
Ii
i
I n1
I2
符号规定：若穿过回路L的电
流方向与L的环绕方向服从右手
Ink
关系，则I为正，否则为负。
I1
Ii
不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。
2
2. 安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场
在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路：
L I d
dB
B dl Brd
其方向与电流满足右手螺旋法则。
8
b
两个边bc、da 垂直于轴。
a
B
根据安培环路定理，有
L B dl ab B dl bc B dl cd B dl da B dl
无垂直于轴的磁场分量，管外部磁场趋于零，
因此管内为均匀磁场，任一点的磁感应强度为
B dl = B ab B ab 0n ab I B 0nI