广东省实验中学2018-2019学年高一(上)期中考试数学试题(精品解析)

广东省实验中学2018-2019学年高一（上）期中考试
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
∵，
∴
故选：B
2.若，则它们的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合指数函数的性质和对数函数的性质比较所给的数的大小即可.
【详解】由指数幂运算法则可得，
由指数函数的性质可知：，即，
由对数函数的性质可知，则.
本题选择C选项.
【点睛】对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小．3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）
A. B. y= C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的解析式逐一考查函数的奇偶性即可.
【详解】逐一考查所给函数的性质：
A.，函数的定义域为R，且，函数为偶函数；
B.y=，函数的定义域为R，且，函数为偶函数；
C.，函数的定义域为R，且，，函数为非奇非偶函数；
D.，函数的定义域为R，且，函数为奇函数.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法等知识，意在考查学生的转化能力和概念掌握能力.
4.满足条件的集合的个数是（）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意结合子集个数公式确定集合M的个数即可.
【详解】由题意可知：，其中集合A为集合的任意一个真子集，
结合子集个数公式可得，集合的个数是.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查子集个数公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.方程的实数根所在的区间是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
令，因为，且函数在定义域内单调递增，故方
程的解所在的区间是，故选C.
6.下列各组函数不是同一函数的是（）
与；与；
与；与
A. （1）
B. （1）（2）
C. （1）（3）
D. （2）（3）（4）
【答案】A
【解析】
【分析】
逐一考查所给函数是否为同一函数即可.
【详解】逐一考查所给的函数：
与，函数的解析式不同，不是同一个函数；与
，函数的定义域和解析式均相同，是同一个函数；
与，函数的定义域和解析式均相同，是同一个函数；
与，函数的定义域和对应法则均相同，是同一个函数；
综上可得：不是同一函数的是（1）.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查函数相等的概念及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.若函数的图象如图所示,其中a，b为常数，则函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：由于函数图像的单调性底数a小于1，则函数也是单调递减，则排除A,B，然后因为的定义域x>-1,则说明b=1,从而过点（0,2），排除C，选D。

8.已知函数，则的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先求得的定义域，然后求解函数的定义域即可.
【详解】函数有意义，则：，求解不等式组可得函数的定义域为，
则函数的定义域满足，即，表示为区间形式即.
本题选择C选项.
【点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
9.关于的方程至少有一个正的实根，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先分析方程没有正实数根时a的取值范围，然后求解其补集即可.
【详解】首先分析方程没有正实数根时a的取值范围：
当时，方程为，方程没有正实数根；
当时，若，即或时，方程没有实数根，
当方程有两个非正实数根时：，据此可得：，
综上可得，方程没有正实数根时a的取值范围是或，
则满足题意的的取值范围是.
本题选择D选项.
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
10.已知在上是增函数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合函数的性质分类讨论和两种情况确定实数a的取值范围即可.
【详解】若，则在内递减，
可得在内递减，
即有，且，
解得且，，
若，则在内递增，
可得在内递增，
即有且，
解得且，可得，
综上可得，实数的取值范围是.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为（）
A. 元
B. 元
C. 元
D. 元
【答案】D
【解析】
设定价在进价的基础上增加x元，日销售利润为y元，则
y=x[480﹣40（x﹣1）]﹣200，
由于x＞0，且520﹣40x＞0，所以，0＜x＜13；
即y=﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13．
所以，当时，y取最大值．
∴销售单价应定为元
故选：D
点睛：解决函数模型应用的解答题，还有以下几点容易造成失分：①读不懂实际背景，不能将实际问题转化为函数模型．②对涉及的相关公式，记忆错误．③在求解的过程中计算错误.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法，才能快速正确地求解．含有绝对值的问题突破口在于分段去绝对值，分段后在各段讨论最值的情况.
12.已知函数，若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得到关于m的不等式，求解不等式即可确定实数的取值范围.
【详解】由题意可得有解，
即有解，
可得解得，
由为非零实数，可得等号不成立，故，
所以实数的取值范围是.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查函数的性质及其应用，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
二、填空题：本大题共2小题，每题5分，共10分。

13.已知幂函数过点，这个函数的表达式为（）
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得到关于的方程，解方程即可确定函数的解析式.
【详解】由题意可得：，则，函数的解析式为.
【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解，属于基础题.
14.已知函数，则（）；函数的单调递增区间为（）
【答案】(1). -1(2).
【解析】
【分析】
首先求得函数值，然后结合函数图像确定函数的单调区间即可.
【详解】由函数的解析式可知：，
则.
绘制函数图像如图所示，结合函数图像可知函数的单调递增区间为.
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求
值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
三、解答题：本大题共3题，共30分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.设全集是实数集，
（1）当，求和.
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】⑴，.⑵.
【解析】
本试题主要是考查了集合的运算以及二次不等式的求解的综合运用。

（1）因为全集是实数集R，，得到，当时，，
故，.。

（2）由于,得到集合的关系在求解参数的范围。

解析：⑴，当时，，故，.
⑵由，知。

①，；
②当时，，，，只要满足，则；综上所述.
16.（1）
（2）
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1)由题意结合指数的运算法则整理计算即可求得最终结果；
(2)由题意结合对数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题主要考查指数的运算法则及其应用，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
17.已知定义域为的函数是奇函数
（1）求的值
（2）判断并证明该函数在定义域上的单调性
（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。

【答案】（1）（2）减函数，证明见解析（3）
【解析】
【分析】
(1)由题意结合确定实数a的值即可；
(2)由题意结合函数单调性的定义确定函数的单调性即可；
(3)由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性脱去f符号，结合恒成立的结论求解实数的取值范围即可. 【详解】（1）由题设，需。

经验证，为奇函数，
（2）减函数.
证明：任取，，
，
，
所以在上是减函数.
（3）由得，
是奇函数，，
由（2）知在是减函数，
故原问题可化为即：对任意恒成立，
，
解得.
【点睛】对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函
数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题.
第II卷
四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分
18.已知是定义域为的奇函数，满足,若，则
____________
【答案】0
【解析】
【分析】
由题意首先确定函数的周期，然后结合函数的关系式求解函数值即可.
【详解】是奇函数且，
，
即函数是周期为4的周期函数，
，
.
【点睛】本题主要考查抽象函数的求解，函数周期性的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.已知表示不大于的最大整数，若函数在区间上仅有一个零点，则实数的取值范围为（）
【答案】
【解析】
【分析】
将原问题转化为两个函数的交点个数问题，然后结合函数图像确定实数a的取值范围即可.
【详解】令，
当时，，据此可得：，
当时，函数的解析式为，
当时，，据此可得：，
由题意可知，函数与函数只有一个交点，
结合二次函数和对勾函数的性质绘制函数的图像如图所示，
观察可得实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
五、解答题：本大题共3小题，共40分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
20.已知实数满足且
（1）求实数的取值范围.
（2）求的最大值和最小值，并求出此时的值.
【答案】（1）（2）; 或
【解析】
【分析】
(1)由题意求解关于的二次不等式即可确定函数的定义域；
(2)由题意，利用换元法，结合二次函数的性质求解函数的最值和函数取得最值时自变量的取值即可.
【详解】（1）由可得，即
故实数的取值范围是
（2），
令，则，
，
在上递减，在上递增，
，
此时解得，
，
此时或即或.
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
21.已知为常数，函数
（1）求关于的不等式的解集.
（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
（3）对于任意的，且，证明：关于的方程在区间内有且仅有一个实根.
【答案】（1）见解析（2）（3）见解析
【解析】
【分析】
(1)由题意结合不等式的特征分类讨论三种情况确定不等式的解集即可；
(2)由题意分类讨论两种情况求解实数b的取值范围即可；
(3)由题意结合函数的单调性和零点存在定理证得题中的结论即可.
【详解】（1）即，
当时，；
当时，；
当时，
（2）函数有两个不同的零点，
当时，即不满足题意，
当时，则与有两个交点，
可得解得或.
（3）证明：对于给定的，且，
关于的方程可设，
，
且对于任意给定的，且，
在上单调，
在上单调，
可得在区间内有且仅有一个实根.
【点睛】本题主要考查不等式的解法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
22.现有两个函数，其中
（1）求函数的表达式与定义域.
（2）给出如下定义：“对于在区间上有意义的两个函数与，如果对任意，有
，则称与在区间上是接近的，否则称与在区间上是非接近的”，若
，试讨论与在给定区间上是否是接近的.
【答案】（1）定义域为（2）当时，两个函数是接近的，
当时，两个函数是非接近的
【解析】
【分析】
(1)首先由题意确定函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的定义域即可；
(2)由题意结合函数的解析式得到关于a的不等式组，求解不等式组讨论与在给定区间上是否是接近即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
函数的定义域为，
由，故，
故函数的定义域为.
（2），
在区间上单调递增，
又由为减函数，
与接近推出，
即，
即，
解得：，
即当时，两个函数是接近的，
当时，两个函数是非接近的.
【点睛】
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。