2013贵州大学附中高考数学一轮复习单元练习-函数的应用.

2013贵州大学附中高考数学一轮复习单元练习
--函数的应用
I 卷
卄¥ - . 若关 于 x 的方程 x 2 + mx^ 1 = 0 A . (- -1,1)
B
.
(- -2,2)
C . (- -X 2) U (2，+X )
D . (- -X 1) U (1，+X ) 【答
C 2 •利民工厂某产品的年产量在 一、选择题 1 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是（ ）
150吨至250吨之间，年生产的总成本 y （万元）与年产量x （吨） 2
X y =和—30x + 4000，则每吨的成本最低时的年产量为 （ ） A . 240 B . 200
C . 180 D. 160
【答案】 B 3•函数 f (x )= =In x + x —2的零点所在区 .间是 ( )
A . (0,1)
B . (1,
2) C . (2,3)
D . (3,
4) 【答
案】 B 4•方程 sin x = = |lg x | 的根的个数是（ ) A . 5 B . 4
C . 3 D. 2
【答案】 B
之间的关系可近似地表示为 这两项费用 ） A. 5公里处 B. 4公里处 C. 3公里处 D. 2公里处 【答案】A
2 _ , ..... . , 6.已知函数f （x ） — ax + bx 1（ a ， b € R 且a >0）有两个零点，其中一个零点在a — b 的取值范围
为 ( )
A. ( —X ，— 1)
B. ( — 1，+X )
C. ( —X ， 1)
D. ( — 1,1) 【答案】B
8x — 8，x < 1， 7 .已知函数f （ x ）— 0 x >1 g （x ） — log2 x ，则两函数图象的交点个数为 A. 4 B . 3 C. 2 D. 1 【答
案】 C 5•某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费 运费y 2与仓库到车站的距离成正比. y 1, y 2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ( )
y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的 据测算，如果在距离车站10公里处建仓库， （ （1,2）内，则
8.函数 A. C. 【答案】 __ 1 f (x ) = 3cos 2 — log 2x 的零点的个数是( 2 B. 4
D. D 9.函数 A. 1
f （x ） = log2 x — X 的零点所在区间为（ ） 1 、 2,
1
1 0，
2 B . (1,2) C D. (2,3)
C. 【答案】 10.在用二分法求方程 x 3— 2X — 1 = 0的一个近似解时, 下
一步可断定该根所在的区间为
（ ）
现在已经将一根锁定在区间 （1,2）内，则
A. (1.4,2)
B. (1.1,4)
C. 1, 2 D . 2, 2
【答案】D
11•对于函数y = f(x)，若将满足f(x) = 0的实数x叫做函数y= f(x)的零点，则函数+ x2 + 2x—8的零点的个数为()
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】C
、. 3
12 .用二分法研究函数f (x) = x + 3x—1的零点时，第一次经计算f(0)<0 , f(0.5)>0 , 一个零点
x c€ ___________________ ，第二次应计算___________ .以上横线上应填的内容为(
A. (0,0.5) ，f(0.25)
B. (0,1) ，f(0.25)
C. (0.5,1) ，f (0.75)
D. (0,0.05) ，f (0.125)
【答案】A f (x) = 2x
可得其中
)
2 . .
II卷
二、填空题
13 .若抛物线y = - x+ m& 1和两端点为A(0,3)、B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，贝U m
的取值范围为 _________ .
10
【答案】(3，可］
14 .在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若某函数 f (x)的图象恰好经过n
个格点，则称该函数f (x)为n阶格点函数.给岀下列函数：①y = x2；②y = ln x;③y= 3x —1
1；④y = x+x；⑤y= cos x.其中为一阶格点函数的是______________ (填序号).
【答案】②⑤
15 .函数f (x) = 3ax + 1 —2a在区间(—1,1)上存在一个零点，则a的取值范围是_________ .
1
【答案】a>5或a<—1
16 .方程2—x+ x2= 3的实数解的个数为___________ .
【答案】2
三、解答题
17 •某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，岀厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商
订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的岀场单价就降低
0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件.
⑴设一次订购x件，服装的实际岀厂单价为p元，写岀函数p= f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
【答案】⑴当0<x W 100时，p= 60;
当100V X W 600 时，
p= 60- (x- 100) X 0.02 = 62- 0.02 X.
60，0<x< 100，
…p= 62 - 0.02 x，100< x< 600.
⑵设利润为y元，贝9
当0<x w 100 时，y = 60x-40x = 20x；
当100<x< 600 时，y= (62 —0.02 x)x —40x= 22x- 0.02 x2.
20x，0<x< 100，
几y= 22x- 0.02 x2，100< x< 600.
当0<x w 100时，y = 20x是单调增函数，当x = 100时，y最大，此时y = 20 X 100 = 2 000 ；
当100<x< 600 时，
2 2
y= 22x —0.02 x = - 0.02( x —550) + 6 050，
•••当x= 550 时，y 最大，此时y = 6 050.显然6 050>2 000.
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为 6 050元.
18 •某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元
(t为常数，且2< t < 5)，设该食品厂每公斤蘑菇的岀厂价为x元(25 < x< 40)，根据市场调查，销售量q与e成反比，当每公斤蘑菇的岀厂价为30元时，日销售量为100公斤.
(1) 求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的岀厂价x元的函数关系式；
(2) 若t = 5，当每公斤蘑菇的岀厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值.
k k
【答案】(1)设日销量q = 则孑=100，• k= 100e30，
30
100e
•日销量q= e，
30
100e (x—20-1)
• y= e x(25 < x< 40).
30
100e (x- 25)
(2)当t = 5 时，y= ，
30
100e (26 —x)
由y' >0，得x<26，由y' <0,得x>26，
• y在［25,26)上单调递增，在(26,40］上单调递减，
.•.当x= 26 时，y max= 100e .
当每公斤蘑菇的岀厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元.
1
19.如图所示是函数y= (2)x和y = 3x2图像的一部分，其中x = X1，X2(—1<X1<0<x2)时，两函数值相等.
(1)给岀如下两个命题：
1
①当x<x i 时，(2)x<3x［
1
②当x>X2 时，(2)x<3x2,
试判断命题①②的真假并说明理由；
⑵求证：X2€ (0,1).
【答案】(1)当x=- 8时，
1
(2)-8= 28= 256,3 X ( —8) 2= 192,
1
此时(2) —8>3X ( —8)2，故命题①是假命题.
1
又当x€ (0 ,+^ )时，y = (2)x是减函数，y= 3x2是增函数，故命题②是真命题.
1
(2)证明：令f(x) = 3x2—(2)x，
5
则f(0) =—1<0，f(1) = 2>0，
••• f (x)在区间(0,1)内有零点，
1
又•••函数f (x) = 3x2—(2)x在区间(0，+* )上单调递增，• x2€ (0,1).
20•经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)
1
的函数，且销售量近似满足g(t) = 80 —2t (件)，价格近似满足f(t) = 20 —2| t —10|(元).
(1) 试写岀该种商品的日销售额y与时间t(0 <t <20)的函数表达式；
(2) 求该种商品的日销售额y的最大值与最小值.
【答案】(1) y = g(t) • f(t)
1
=(80 —2t) • (20 —2| t —10|)
=(40 —t)(40 —|t —10|)
(30 + t)(40 —t)，0< t<10，
<
=(40 —t)(50 —t)，10 < t < 20.
⑵当0W t<10时，y的取值范围是［1 200,1 225］，
在t = 5时，y取得最大值为1 225 ;
当10< t < 20时，y的取值范围是［600,1 200］，
在t = 20时，y取得最小值为600.
答总之，第5天日销售额y取得最大值为1 225元；第20天日销售额y取得最小值为600元.
21 •某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD勺顶点A, B及CD勺中点P处，已知AB= 20 km, CB
=10 km,为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD勺区域上(含边界)，且与A, B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AQ BQ OP设排污管道的总长为y km.
(1)按下列要求写岀函数关系式：
①设/ BAQ= e (rad)，将y表示成0的函数关系式；
②设QP= x(km)，将y表示成x的函数关系式.
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.
D P C
AQ 10
①由条件知 PQ 垂直平分 AB 若/ BA3 0 (rad)，贝U OA= cos / BA O cos e ，
10
所以 0B= cos 0 - 又 0P= 10- iotan 0， 所以y = OA^ 0聊OP
10 10
=cos 0 + cos 0 + 10 — 10tan 0 ， 故所求函数关系式为
20 — 10si n 0
n
y = cos 0
+
10
g 0 V 4 -
②若 OP= x (km)，贝U OQ= (10 — x ) (km)， 所以 OA= OB^ (10 — x ) 2+ 102 = x 2— 20x + 200.
故所求函数关系式为 y = x + 2 x 2— 20x + 200 (0 V x V 10). (2)选择函数模型①，
—10co
cos 0 —(20 —
0 )( — sin 0 )
10(2sin 0 — 1)
y '=
2
cos 0
2
=
cos 0
，
令y ' =0，得 sin 1
0 = 2,
n
n
因为0V 0 V 4，所以0 = 6 .
当0 €卫，6时，y ' <0，y 是0的减函数；
I n n
当0 €
，T 时，y ‘ >0，y 是0的增函数,
1
20 — 10X 2
y min =
咕 + 10= (103 + 10) (km) 2
10 V 3
这时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离 AB 边km 处. 22.某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为
20元，并且每公斤蘑菇的加工费为
所以当 n
0 = 6 时, 【答案】⑴延长PO 交AB 于Q
(t为常数，且2< t < 5)，设该食品厂每公斤蘑菇的岀厂价为x元(25 < x< 40)，根据市场调查，销售量q与e x成反比，当每公斤蘑菇的岀厂价为30元时，日销售量为100公斤.
(1) 求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的岀厂价x元的函数关系式；
(2) 若t = 5,当每公斤蘑菇的岀厂价x为多少元时，该工厂的利润y最大，并求最大值.
k k
__ ____ 30
【答案】⑴设日销量q=孑，则e30= 100，二k= 100e ，
30
100e
.••日销量q=~e~，
30
100e (x—20—t)
••• y= e" (25 < x< 40).
30
100e (x—25)
(2)当t = 5 时，y= ，
30
100e (26 —x)
由y' >0,得x<26，由y' <0,得x>26，
• y在［25,26)上单调递增，在(26,40］上单调递减，
二当x= 26 时，y max= 100e：
当每公斤蘑菇的岀厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e4元.。