石家庄市石门实验学校必修第二册第五单元《概率》检测卷(包含答案解析)

一、选择题
1．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，2013华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想是一个弱化形式，问题可以描述为：存在无穷多个素数p，使得2
p+
是素数，素数对(,2)
p p+称为孪生素数对，问：如果从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积超过20的概率为（）．
A．2
3
B．
3
4
C．
4
5
D．
5
6
2．甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相,则甲.乙两人中至少有一人站在两端的概率为（）
A．5
6
B．
1
2
C．1
3
D．
2
3
3．袋中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是3的倍数，则获奖，若有5人参与摸球，则恰好2人获奖的概率是（）
A．40
243
B．
70
243
C．
80
243
D．
38
243
4．某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率是（）
A．1
3
B．
2
3
C．
1
4
D．
3
4
5．如图茎叶图表示的是甲.乙两人在5次综合测评中的成绩，其中乙中的两个数字被污损，且已知甲，乙两人在5次综合测评中的成绩中位数相等，则乙的平均成绩低于甲的概率为（）
9
5
10
3
6．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A ．“至少有1个白球”和“都是红球”
B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”
C ．“恰有1个白球” 和“恰有2个白球”
D ．“至多有1个白球”和“都是红球”
7．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球，若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖，按照这样的规则摸奖，中奖的概率为（ ） A ．
13
B ．
1745
C ．
245
D ．
17100
8．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为2
3
，则甲获胜的概率为 ( )．
A ．2221
3
221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
B ．22
23
2233C ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C ．2
2
1
12
221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
D ．2
1
1
12
221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
9．将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）
A ．
91216
B ．31216
C ．25
216
D ．
5216
10．下列说法正确的是（ ）
A ．天气预报说明天下雨的概率为0900
，则明天一定会下雨
B ．不可能事件不是确定事件
C ．统计中用相关系数r 来衡量两个变量的线性关系的强弱，若[]
0.75,1,r ∈则两个变量正相关很强
D ．某种彩票的中奖率是
1
1000
，则买1000张这种彩票一定能中奖 11．甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是45
，通过第二项考核的概率是12；
乙同学拿到该技能证书的概率是1
3
， 那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是（ ）
151535
12．如图所示，1，2，3表示三个开关，若在某段时间内它们每个正常工作的概率都是0.9，那么此系统的可靠性是（）
A．0.999 B．0.981 C．0.980 D．0.729
13．六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为（）
A．7
60
B．
1
6
C．
13
60
D．
1
4
二、解答题
14．某校的课外兴趣小组的同学们进行了一次关于全市“双创双修”知识答题的问卷调查活动，收集到的200张问卷统计得分汇总制成了一张频率直方图.
（1）求问卷得分的中位数和平均数；
（2）若得分不低于80则为优秀，按分层抽样再次回访8名参加过问卷调查并得分优秀的人，在这8人中还需随机挑选2人做深入访谈，求这两名访谈对象中至少有一人问卷得分超过90的概率.
15．2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.
年级名次 是否近视 1~100
101~1000
近视 40 30 不近视
10
20
（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；
（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在1~100名和101~1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在1~100名的概率.
()2P K k ≥
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
16．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2021年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革至2019年实施以来发挥巨大作用.个税新政主要内容包括： （1）个税起征点为5000元；
（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；
（3）专项附加扣除包括住房､子女教育和赡养老人等.新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及其对应的税率表如表：
年的人均月收入24000元.统计资料还表明，他们均符合住房专项扣除；同时，他们每人至多只有一个符合子女教育扣除的孩子，并且他们之中既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1；此外，他们均不符合其他专项附加扣除.新个税政策下该市的专项附加扣除标准为：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，赡养老人2000元/月等.假设该市该收入层级的IT从业者都独自享受专项附加扣除，将预估的该市该收入层级的IT从业者的人均月收入视为其个人月收入.根据样本估计总体的思想，解决如下问题：
（1）求该市该收入层级的IT从业者2021年月缴个税的所有可能及其概率.
（2）根据新旧个税方案，估计从2021年1月开始，经过多少个月，该市该收入层级的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入？
17．在新冠肺炎疫情期间，为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式
积极开展工作.为了解学生居家自主学习的情况，从某校高二年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在[)[)[)0,1,1,2,2,3，
[)[)[)3,4,4,5,5,6，[)[]677,8,,（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布
直方图（如图）.
（1）由图中数据，求a 的值，并估计从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习的时间在[)3,4的概率；
（2）现从抽取的100名学生该天居家自主学习的时间在[)0,1和[)1,2的人中任选2人，进一步了解学生的具体情况，求其中学习时间在[)0,1中至少有1人的概率；
（3）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数.
18．有四个编有1､2､3､4的四个不同的盒子，有编有1､2､3､4的四个不同的小球，现把四个小球逐个随机放入四个盒子里.
（1）小球全部放入盒子中有多少种不同的放法？ （2）在（1）的条件下求恰有一个盒子没放球的概率？
（3）若没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？ 19．某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85），第八组[135，
145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.
（1）根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.
20．甲、乙两名运动员各投篮一次，甲投中的概率为0.8，乙投中的概率为0.9，求下列事件的概率：
（Ⅰ）两人都投中；
（Ⅱ）恰好有一人投中；
（Ⅲ）至少有一人投中.
21．在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.
（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？
（2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
22．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照
90,100分成6组，制成如图所示频率分布直方图. (40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[]
（1）求图中x的值.
60,80的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行（2）现从被调查的问卷满意度评分值在[)
座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率. 23．在某城市气象部门的数据库中，随机抽取30天的空气质量指数的监测数据，整理得如
下表格：
空气质量指数优良好轻度污染中度污染重度污染天数5a84b
空气质量指数为优或良好，规定为Ⅰ级，轻度或中度污染，规定为Ⅱ级，重度污染规定为
Ⅲ级.若按等级用分层抽样的方法从中抽取10天的数据，则空气质量为Ⅰ级的恰好有5天.
（1）求a，b的值；
（2）若以这30天的空气质量指数来估计一年的空气质量情况，试问一年（按366天计
算）中大约有多少天的空气质量指数为优？
（3）若从抽取的10天的数据中再随机抽取4天的数据进行深入研究，记其中空气质量为
Ⅰ级的天数为X，求X的分布列及数学期望.
24．一款小游戏的规则如下：每轮游戏要进行三次，每次游戏都需要从装有大小相同的2
个红球，3个白球的袋中随机摸出2个球，一轮游戏中，若“摸出的两个都是红球”出现3
次获得200积分，若“摸出的两个都是红球”出现1次或2次获得20积分，若“摸出的两个
都是红球”出现0次则扣除10积分（即获得-10积分）.
（1）求每次游戏中，“摸出的两个都是红球”的概率p；
（2）设每轮游戏获得的积分为X，求X的分布列与数学期望；
（3）玩过这款游戏的许多人发现，若干轮游戏后，与最初的积分0相比，积分没有增加反
而减少了，请运用概率统计的相关知识分析解释上述现象.
25．为了解学生“课外阅读日”的活动情况，某校以10%的比例对高二年级500名学生按选
修物理和选修历史进行分层抽样调查，测得阅读时间（单位：分钟）的频数统计图如下：
（1）分别估计该校高二年级选修物理和选修历史的人数；
（2）估计该校高二年级学生阅读时间在60分钟以上的概率；
（3）从样本中阅读时间在6090分钟的选修物理的学生中任选2人，求至少有1人阅读
时间在7590之间的概率．
26．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等
级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50
元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接
加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个
分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，
整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
列举出30以内的素数组成的孪生素数对有4个，这对孪生素数的积超过20包含的基本事件有3个，由此能求了这对孪生素数的积超过20的概率.
【详解】
30以内的素数组成的孪生素数对有（3，5），(5，7)，(11，13)，(17，19)，从30以内的素数组成的孪生素数对中随机抽取—对，基本事件个数n=4，
这对孪生素数的积超过20包含的基本事件有:(5，7),(11，13), (17，19），共3个，
所以这对孪生素数的积超过20的概率为
3
4 p=，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.
2．A
解析：A
【分析】
本题先求基本事件总数，再求要求事件是基本事件个数，最后根据古典概型解题即可.【详解】
∵甲､乙､丙､丁四位同学站成一排照相，
基本事件总数4
424
n A
==，
甲､乙两人中至少有一人站在两端包含的基本事件个数422
42220m A A A =-= ∴甲,乙两人中至少有一人站在两端的概率为：205246
m P n ===.. 故选：A. 【点睛】
本题考查古典概型，是简单题.
3．C
解析：C 【分析】
先确定摸一次中奖的概率，5个人摸奖，相当于发生5次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果． 【详解】
从6个球中摸出2个，共有2
615C =种结果，
两个球的号码之和是3的倍数，共有(1,2),(1,5),(2,4),(3,6),(4,5)
∴摸一次中奖的概率是
51153
=， 5个人摸奖，相当于发生5次试验，且每一次发生的概率是
13
， ∴有5人参与摸奖，恰好有2人获奖的概率是35222180()()33
243
C ⋅⋅=
， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率，考查独立重复试验的概率，解题时主要是看清摸奖5次，相当于做了5次独立重复试验，利用公式做出结果，属于中档题．
4．B
解析：B 【分析】
列举出所有的基本事件，记“此人经过市中心O ”为事件M ，确定事件M 所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】
此人从小区A 前往H 的所有最短路径为：A B C E H →→→→，
A B O E H →→→→，A B O G H →→→→，A D O E H →→→→，A D O G H →→→→，A D F G H →→→→，共6条.
记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A B O E H →→→→，
A B O G H →→→→，A D O E H →→→→，A D O G H →→→→，共4条.
()4263P M ∴=
=，即他经过市中心的概率为23
.
故选：B.
【点睛】
本题考查概率的应用，是中等题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据茎叶图分别求出甲、乙的中位数，平均数，得到模糊成绩的值，利用古典概型求解即可
【详解】
由题意可得：甲的成绩为：84、86、91、98、98；中位数为91，平均数为457
5
；
乙的成绩为：86，88，90+x，90+y，99 （x≤y）；∵甲，乙中位数相同；
∴90+x＝91⇒x＝1；乙的平均数为454
5y
+
；
∵乙的平均成绩低于甲；
∴1≤y＜3；⇒y＝1或2．
∴乙的平均成绩低于甲的概率p2
9
=；
故选：A．
【点睛】
本题考查了茎叶图，以及中位数、平均数的性质及古典概型，考查了学生的计算能力，属于基础题．
6．C
解析：C
【分析】
结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案.
【详解】
对于选项A, “至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意;
对于选项B, “至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的,而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球,或者2个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意;
对于选项C, “恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球, 与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件,符合题意;
对于选项D, “至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球,或者2个都是红球,与“都是红球”不是互斥事件,不符合题意.
故选C.
【点睛】
本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属于基础题.
7．B
解析：B 【分析】
可将中奖的情况分成第一次两球连号和第二次取出的小球与第一次取出的号码相同两种情况，分别计算两种情况的概率，根据和事件概率公式可求得结果. 【详解】
中奖的情况分为：第一次取出两球号码连号和第二次取出两个小球与第一次取出的号码相同两种情况
第一次取出两球连号的概率为：2651
3
C =
第二次取出两个小球与第一次取出号码相同的概率为：26112
1345
C ⎛⎫-⨯
= ⎪⎝⎭
∴中奖的概率为：12173
4545
+
= 本题正确选项：B 【点睛】
本题考查和事件概率问题的求解，关键是能够根据题意将所求情况进行分类，进而通过古典概型和积事件概率求解方法求出每种情况对应的概率.
8．C
解析：C 【分析】
先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率． 【详解】
事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，
若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为2
121233C ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭
， 若前两局都是甲赢，所求概率为223⎛⎫ ⎪⎝⎭，因此，甲获胜的概率为221
12
221333C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
故选C ． 【点睛】
本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现零次6点向上”，由此借助对立事件的概率进行求解． 【详解】
由题事件“至少出现一次6点向上”的对立事件是“出现零次6点向上”
所以至少出现一次6点向上的概率0
3
03
111259111166216216p C ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
故选A. 【点睛】
本题考查应用对立事件求概率，属于一般题．
10．C
解析：C 【分析】
运用概率的相关知识对四个选项逐一进行分析即可 【详解】
对于A ，天气预报说明天下雨的概率为90%，表示下雨的可能性比较大，是不确定事件，在一定条件下可能下雨，也可能不下雨，但明天一定会下雨是不正确的，故错误； 对于B ，根据定义可知不可能事件是确定事件，故错误；
对于C ，统计中用相关系数r 来衡量两个变量的线性关系的强弱，若[]
0.75,1,r ∈则两个变量正相关很强，故正确； 对于D ，某种彩票的中奖率是1
1000
，每一次买彩票的中奖是独立的，并不是买1000张这种彩票一定能中奖，故错误 故选C 【点睛】
本题主要考查了辨别生活中的概率，理解并运用概率知识即可判断，较为基础．
11．D
解析：D 【分析】
由已知先求得甲取得证书的概率，再求得甲，乙两人都取不到证书的概率，由对立事件的概率公式可得选项. 【详解】
由已知得甲拿到该技能证书的概率为412
525
⨯=，则甲，乙两人都没有拿到证书的概率为：21211535
⎛⎫⎛⎫-
⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是23155
-=， 故选：D.
【点睛】
方法点睛：在解决含有“至少”，“至多”等一类问题的概率问题时，正面求解时情况较复杂，可以求其对立事件的概率，再用1减去所求的对立事件的概率，就是所求的概率.
12．B
解析：B 【分析】
求出开关1、2均正常工作的概率及开关3正常工作的概率，由相互独立事件概率公式、对立事件的概率公式即可得解. 【详解】
由题意，开关1、2在某段时间内均正常工作的概率10.90.90.81P =⨯=， 开关3正常工作的概率20.9P =，
故该系统正常工作的概率()()()()12111110.8110.90.981P P P =---=--⨯-=, 所以该系统的可靠性为0.981. 故选：B.
13．C
解析：C 【分析】
根据题意，结合排列组合，利用插空法和特殊位置法，先排丙，再插甲乙，即可得解. 【详解】
丙排第一，除甲乙外还有3人，共33A 种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得2
4A ，
此时共有32
34=612=72A A ⋅⨯种可能；
丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有14
24C A 排法，甲和乙不排在第一位， 则剩下3人有1人排在第一位，则有122
323C A A 种排法， 此时故共有1
4
1
2
2
24323+=84C A C A A 种排法. 故概率6
6728413
60
P A +==. 故选：C. 【点睛】
本题考查了排列组合，考查了插空法和特殊位置法，在解题过程中注意各种情况的不重不漏，有一定的计算量，属于较难题.
二、解答题
14．（1）中位数是72.5，平均值为72；（2）13
28
． 【分析】
（1）求出频率0.5对应的数值即为中位数，取各组数据中间值乘以频率相加即得平均值；
（2）按分层抽样求出[80,90),[90,100]两组为抽取的人数，然后求挑选2的方法数和至少有一人问卷得分超过90的方法数后可计算出概率． 【详解】
（1）由题意分数在[50,70)间的频率为(0.0150.025)100.4+⨯=， 因此中位数在[70,80]间，
设中位数为x ，则
700.50.4
100.4
x --=，解得72.5x =． 平均值为：(550.015650.025750.04850.015950.005)10⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=72；
（2）由频率分布直方图知[80,90),[90,100]两组人数比为0.153
0.051
=，因此8人中[80,90)这组有6人，[90,100]这组有2人，
∴所求概率为1126222
813
28
C C C P C +==． 【点睛】
关键点点睛：本题考查频率分布直方图，由频率分布直方图求中位数，均值等，考查古典概型．解题关键是正确认识频率分布直方图，由频率分布直方图确定所有数据．然后根据各个数据特征进行计算． 15．（1）4.74；（2）能；（3）35
. 【分析】
（1）根据题中所给的频率分布直方图中对应的数据，可以求得第三组、第六组、第五组的频数以及前四组的频数和，结合前四组的频数成等比数列，得出相应的数据，利用中位数的特征，两边各占一半，求得结果；
（2）利用题中所给的列联表，求得2K 的值，与表中所给的临界值比较，得到结论； （3）根据题意，求出满足条件的基本事件数和总的基本事件数，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】
（1）由图可知，第三组和第六组的频数为1000.80.216⨯⨯=人 第五组的频数为100 1.20.224⨯⨯=人 所以前四组的频数和为()100241660-+=人 而前四组的频数依次成等比数列
故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人 所以中位数落在第四组，设为x ， 因此有
4.650(4816)
0.232
x --++=（或1.6( 4.6)0.22x -=） 解得 4.7375x = 所以中位数是4.74
（2）因为2
2
100(40203010)50507030
K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯
所以2
100
4.76221
K =
≈ 所以2 3.841K >
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系
（3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在1~100名和
101~1000名的分别有2人和4人
从6人中任意抽取2人的基本事件共15个 至少有1人来自于1~100名的基本事件有9个 所以至少有1人的年级名次在1~100名的概率为93155
P ==. 【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关概率与统计的问题，解题方法如下：
（1）根据频率分布直方图中所给的数据求相应的量，利用中位数的定义求得结果； （2）利用公式求得2K 的值，结合临界值得到结果； （3）利用古典概型概率公式求得概率. 16．（1）答案见解析；（2）经过12个月. 【分析】
（1）计算出题中四类人群每月应纳税所得额，结合题意求出每类人群的月缴个税及其概率；
（2）计算出在旧政策下，该收入阶层的IT 从业者每月应纳税所得额，可求得新政策下，每月少缴个税额，设经过x 个月该市该收入阶层的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过
2019年的月收入，根据已知条件可得出关于x 的不等式，结合x ∈N 可求得结果. 【详解】
（1）由题意，既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除、只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人数之比是2:1:1:1.
①既不符合子女教育扣除又不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为
240005000100018000--=元，
月缴个税为30000.0390000.160000.22190⨯+⨯+⨯=元，其概率为
25
； ②只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为
2400050001000100017000---=元，
月缴个税为30000.0390000.150000.21990⨯+⨯+⨯=元，其概率为
15
； ③只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为
2400050001000200016000---=元，
月缴个税为30000.0390000.140000.21790⨯+⨯+⨯=元，其概率为
15
； ④既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为
24000500010001000200015000----=元，
月缴个税为30000.0390000.130000.21590⨯+⨯+⨯=元，其概率为
15
； （2）在旧政策下，该收入阶层的IT 从业者每月应纳税所得额为24000350020500-=元，
故月缴个税为15000.0330000.145000.2115000.254120⨯+⨯+⨯+⨯=元， 在新政策下，该收入阶层的IT 从业者每月应纳税所得额为
()21
2190199017901590195055
⨯+++⨯=元，
每月少缴个税412019502170-=元，
设经过x 个月该市该收入阶层的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入，
则217024000x ≥，又x ∈N ，解得()12x x N ≥∈，
所以经过12个月，该市该收入阶层的IT 从业者各月少缴交的个税之和就超过2019年的月收入. 【点睛】
关键点点睛：解决本题第一问的关键在于理解题中个税新旧政策中的扣税方案，并依据题意计算出各类人群所扣的税额；
解决本题第二问的关键在于求出新旧政策下所扣的税额，并结合题意列不等式求解. 17．（1）0.1a =；0.1；（2）7
10
；（3）5.38小时. 【分析】
（1）由频率之和等于1求出a 的值，这名学生该天居家自主学习的时间在[)3,4的概率； （2）由频率分布直方图可知自主学习时间在[
)0,1和[)1,2的人分别有2人和3人，设在
[)0,1的2人分别为,a b ，在[)1,2的3人分别,,A B C ，利用列举法结合古典概型的概率公
式得出概率；
（3）由频率分布直方图中的数据，求解平均数即可. 【详解】
解：（1）因为(0.02+0.03+0.05+0.1520.20.3)11a +⨯++⨯=，所以0.1a =. 由图可得：随机抽取的100名学生中居家自主学习时间该天在[)3,4的频率为0.110.1⨯= 所以从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习时间在[)3,4的概率为0.1.
（2）设“抽取的2人其中学习时间在[
)0,1中至少有1人”为事件A。