二次函数与一次函数结合题

一次函数与二次函数可能有一个焦点或两个焦点或没有交点，对于两个 （1） 求二次函数表达式时要填写最终的一般式 （2） 由一般式变顶点式时，可通过两个方法
方法一：通过定点坐标公式直接代入顶点式中，有一点需要注意，（X-h ） 方法二：可通过配方法解决问题
1．如图，将抛物线M 1: x ax y 42+=向右平移3个单位，
再向上平移3个单位，得到抛物线M 2，直线x y =与M 1 的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的 横坐标是－3. （1）求a 的值及M 2的表达式；
（2）点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的
垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF . ①当点C 的横坐标为2时，直线n x y +=恰好经过 正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值；
②在点C 的运动过程中，若直线n x y +=与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的
取值范围（直接写出结果）.
27. 解：（1）∵ 点A 在直线x y =，且点A 的横坐标是－3，
∴ A (－3，－3) . ………………………………………………………………1分 把A (－3，－3)代入x ax y 42+=，
解得a =1. … …………………………………………………………………2分 ∴M 1 : x x y 42+=，顶点为(－2，－4) . ∴M 2的顶点为(1，－1) .
∴M 2的表达式为x x y 2-2=. …………3分
（2）①由题意，C (2，2)，
∴F (4，2) . ………………………………4分 ∵直线n x y +=经过点F ， ∴2=4+n .
解得n =－2. ………………………5分
② n ＞3，n ＜－6. …………… …7分
一次函数与二次函数图像的结合，一定要多画图像进行观察通常是找临界点进行观察计算 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
1212
y ax x a =
+-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），且点A 的横坐标为-1． （1）求a 的值；
（2）设抛物线的顶点P 关于原点的对称点为'P ，求点'P 的坐标；
（3）将抛物线在A ，B 两点之间的部分（包括A ， B 两点），先向下平移3个单位，再
向左平移m （0m >）个单位，平移后的图象记为图象G ，若图象G 与直线'PP 无交点，求m 的取值范围．
27．解：
（1）∵A （-1，0）在抛物线2
1212
y ax x a =
+-+上， ∴12102
a x a --+=，…….…………………………………………………...… 1分 ∴解得2a =-，…………….……………………………………………………… 2分 （2）∴抛物线表达式为223y x x =-++．
∴抛物线223y x x =-++的顶点P 的坐标为（1，4）．…………….….……… 3分
（会配方，套公式给1分）
∵点P 关于原点的对称点为'P ，
∴'P 的坐标为（-1，-4）．………………………………………………….……… 4分
（3）直线'PP 的表达式为4y x =，…………….……………….… 5分
图象向下平移3个单位后，'A 的坐标为（-1，-3），'B 的坐标为（3若图象G 与直线'PP 无交点，则'B 要左移到M 及左边，
x
y
O
2
2
-2
-2
令3y =-代入'PP ，则34x =-
，M 的坐标为3,34⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，……… 6分 ∴315344
B'M=⎛⎫--= ⎪⎝⎭
， ∴15
4
m >． ……………………………………………..…………… 7分
O
y
x
二次函数与斜率不确定的一次函数结合题型，判断交点问题 27．已知：关于x 的一元二次方程－x 2+(m +1)x +(m +2)=0（m ＞0）．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点
（3，0），求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，记抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)
在第一象限之间的部分为图象G ，如果直线 y =k (x +1)+4与图象G 有公共点，请结合函数
的图象，求直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标t 的取值范围．
27．（本小题满分7分）
（1）证明：∵ △= (m +1)2－4×(－1)×(m +2)
=(m +3)2. ……………………………………………………………1分
∵ m ＞0， ∴ (m +3)2＞0， 即 △＞0，
∴ 原方程有两个不相等的实数根. (2)
分 （2）解：∵ 抛物线抛物线y =－x 2+(m +1)x +(m +2)经过点（3，0），
∴ －32+3(m +1)+(m +2)=0，………………………………………………3分 ∴ m =1.
∴ y =－x 2+2x +3. (4)
分
（3）解：∵ y =－x 2+2x +3=－(x －1)2+4，
∴ 该抛物线的顶点为（1，4）.
∴ 当直线y =k (x +1)+4经过顶点（1，4）时， ∴ 4=k (1+1)+4， ∴ k =0， ∴ y =4.
∴ 此时直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标为 4. ………………………5分
∵ y =－x 2+2x +3， ∴ 当x =0时，y =3，
∴ 该抛物线与y 轴的交点为（0，3）.
∴ 此时直线y =k (x +1)+4与y 轴交点的纵坐标为 3. ...........................6分 ∴ 3＜t ≤4. (7)
分
一次函数与二次函数焦点个数问题
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （-1，a ），B （3，a ），且最低点的纵坐标为-4.
（1）求抛物线的表达式及a 的值；
（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称
轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围.
27 . 解：（1）∵抛物线22y x mx n =++过点 A （-1，a ）
，B （3，a ）， ∴抛物线的对称轴x =1．.……. 1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4 ， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．.……. 2分 ∴抛物线的表达式是2
2(1)4y x =--， 即2
242y x x =--．.…3分
把A （-1，a ）代入抛物线表达式，求出4a =．.……. 4分
（2）∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ，∴(1,4)D --．
求出直线CD 的表达式为4y =-. .……. 5分
求出直线BD 的表达式为22y x =-，当1x =时，0y =．.……. 6分 所以40t -<≤．.……. 7分
二次函数与一次函数结合焦点个数问题，多画图进行判断，注意临界点 27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
212
y x x =
-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC 的解析式；
（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．
x
y
O –5
–4
–3
–2
–11
2
3
4
5
–7
–6–5–4–3–2–1
1
234567
27. (本小题满分7分)
解：（1）∵抛物线2212
y x x =-+与y 轴交于点A ，
∴点A 的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵221
1(2
32
)212
y x x x -+==+
-， ∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，3
2
）． …………2分
又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，
∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上． 设直线BC 的解析式为y kx b =+．
∵直线BC 经过点B （1，3
2
）和点C (2，2)，
∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得121.k b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为
x
y O –5
–4
–3
–2
–112345
–3
–2–11
234567F E D
A
B
C
1
12
y x =+．…………………………3分
（2）∵抛物线2212
y x x =-+中，
当4x =时，6y =，
∴点D 的坐标为(4，6)． ………………4分
∵直线1
12
y x =+中，
当0x =时，1y =， 当4x =时，3y =，
∴如图，点E 的坐标为(0，1)，
点F 的坐标为(4，3)．
设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ． 当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时，点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；…………………………………………………………5分
当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3．
……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．……………………………7分
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y x mx n =++经过点A （-1，a ），B （3，a ），且最低点的纵坐标为-4.
（1）求抛物线的表达式及a 的值；
（2）设抛物线顶点C 关于y 轴的对称点为点D ，点P 是抛物线对称
轴上一动点，记抛物线在点A ，B 之间的部分为图象G （包含A ，B 两点）.如果直线DP 与图象G 恰有两个公共点，结合函数图象，求点P 纵坐标t 的取值范围.
27 . 解：（1）∵抛物线22y x mx n =++过点 A （-1，a ）
，B （3，a ）， ∴抛物线的对称轴x =1．.……. 1分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4 ， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．.……. 2分 ∴抛物线的表达式是2
2(1)4y x =--， 即2
242y x x =--．.…3分
把A （-1，a ）代入抛物线表达式，求出4a =．.……. 4分
（2）∵抛物线顶点(1,4)C -关于y 轴的对称点为点D ，∴(1,4)D --．
求出直线CD 的表达式为4y =-. .……. 5分
求出直线BD 的表达式为22y x =-，当1x =时，0y =．.……. 6分 所以40t -<≤．.……. 7分
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
212
y x x =
-+与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC 的解析式；
（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （0t >）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．
x
y
O –5
–4
–3
–2
–11
2
3
4
5
–7
–6–5–4–3–2–1
1
234567
27. (本小题满分7分)
解：（1）∵抛物线2212
y x x =-+与y 轴交于点A ，
∴点A 的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵221
1(2
32
)212
y x x x -+==+
-， ∴抛物线的对称轴为直线1x =，顶点B 的坐标为（1，3
2
）． …………2分
又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称， ∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上． 设直线BC 的解析式为y kx b =+．
∵直线BC 经过点B （1，3
2
）和点C (2，2)，
∴322 2.，k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得121.k b ⎧
=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为
x
y O –5
–4
–3
–2
–112345
–3–2–11
234
56
7F
E D A
B
C
1
12
y x =+．…………………………3分
（2）∵抛物线2212
y x x =-+中，
当4x =时，6y =，
∴点D 的坐标为(4，6)． ………………4分
∵直线1
12
y x =+中，
当0x =时，1y =， 当4x =时，3y =，
∴如图，点E 的坐标为(0，1)，
点F 的坐标为(4，3)．
设点A 平移后的对应点为点'A ，点D 平移后的对应点为点'D ． 当图象G 向下平移至点'A 与点E 重合时，点'D 在直线BC 上方， 此时t =1；…………………………………………………………5分
当图象G 向下平移至点'D 与点F 重合时，点'A 在直线BC 下方，此时t =3．
……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是13t <≤．……………………………7分
27．二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象与一次函数1y x b =+k
的图象交于)10(，A 、B 两点，(1,0)C 为二次函数图象的顶点.
（1）求二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的表达式；
（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象和一次函
数1y x b =+k
的图象； （3）把（1）中的二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象平移后得到新的二次函数
22(0,)y ax bx c m a m =+++≠为常数的图象,.定义新函数f ：“当自变量x 任取一值
时，x 对应的函数值分别为1y 或2y ，如果1y ≠2y ，函数f 的函数值等于1y 、2y 中的较小值;如果1y =2y ，函数f 的函数值等于1y （或2y ）.”当新函数f 的图象与x 轴有三个交点时,直接写出m 的取值范围.
27.解：（1）设抛物线解析式为2
)1(-=x a y ，
由抛物线过点)10(，A ，可得122+-=x x y ………..(2分) （2）如图：
………………………………………..(5分)
（3）-4<m <0………………………………………..(7分)
x
1
注意区间是否含有
27.已知二次函数2
1y x bx c =++的图象1C 经过(1,0)-，(0,3)-两点．
（1）求1C 对应的函数表达式；
（2）将1C 先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线2C ，将2C 对应的函数
表达式记为2
2y x mx n =++，求2C 对应的函数表达式；
（3）设323y x =+，在（2）的条件下，如果在2-≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得2
y ≤3y 成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．
27．解：（1）∵二次函数21y x bx c =++的图象1C 经过∴10,3.b c c -+=⎧⎨=-⎩………………………………1分
解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩
…………………………………2分
∴抛物线1C 的函数表达式为3221--=x x y ． ……………………………………3分 （2）∵22123=(1)4y x x x =----，
∴抛物线1C 的顶点为(1,4)-
∴平移后抛物线2C 的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为22y x =．…5分 （3）a ≥1-（见图7）．………………………………………………………………7分
-5
-4-3-2-1
12345-1
-2-3-4-55
4
32
1
x
O
y 23. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22
+22y mx x m =++的开口向下，且抛物线与y
轴的交于点A ，与x 轴交于B ，C 两点，（B 在C 左侧）. 点A 的纵坐标是3. （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AB 的解析式；
（3）将抛物线在点C 左侧的图形（含点C ）记为G .
若直线(0)y kx n n =+<与直线AB 平行，且与 图形G 恰有一个公共点，结合函数图象写出n 的 取值范围.
23. (1)
Q 抛物线22+21y mx x m =++ 与y 轴的交点A 的纵坐标是3
∴220+2023m m ⨯⨯++=解得：1m =±……………………………………………1分
Q 抛物线开口向下 1m ∴=-
∴抛物线的解析式为2
+23y x x =-+…………..……………………………………2分 (2) 由（1）可知(1,0),(3,0)B C -.设AB 的解析式为y kx m =+.
则
3
0m k m =⎧⎨
-+=⎩ 解得: 3
3
m k =⎧⎨
=⎩ ∴AB 的解析式为：33y x =+………………….………………………………………..4分
(3)当3y x n =+经过(3,0)点时，9n =-…………………………………………….5分 结合图象可知，n 的取值范围是9n <-.………………………………………………7分
27．抛物线c bx x y C ++=
2
12
1:与y 轴交于点C (0，3)，其对称轴与x 轴交于点A (2，0)． （1）求抛物线1C 的解析式；
（2）将抛物线1C 适当平移，使平移后的抛物线2C 的顶点为D (0，k )．已知点B (2，2)，
若抛物线2C 与△OAB 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k 的取值范围．
27．解：（1）∵抛物线c bx x y ++=
2
2
1与y 轴交于点C (0，3)， ∴3=c ； ………………………1分 ∵抛物线c bx x y ++=2
2
1的对称轴为2=x ， ∴22
12=⨯-
b ，
解得2-=b ， ………………………2分
∴抛物线1C 的解析式为322
12
+-=
x x y ． ………………………3分 （2）由题意，抛物线2C 的解析式为k x y +=221
． ………………………4分
当抛物线经过点A (2，0)时，022
1
2＝k +⨯，
解得2-=k ． ………………………5分
∵O (0，0)，B (2，2)，
∴直线OB 的解析式为x y =．
由⎪⎩
⎪⎨⎧+==k x y x y 2
21,， 得0222=+-k x x ，（*）
当Δ＝k 214)2(2
⨯⨯--＝0，即2
1
=
k 时， ………………………6分 抛物线2C 与直线OB 只有一个公共点， 此时方程（*）化为0122=+-x x ， 解得1=x ，
即公共点P 的横坐标为1，点P 在线段OB 上． ∴k 的取值范围是2
1
2<
<-k ． ………………………7分。