人教版八年级上册数学 11.2 与三角形有关的角同步检测(解析版)

11.2 与三角形有关的角
基础闯关全练
1．若一个三角形三个内角的度数之比为1:2:3，则这个三角形是( )
A．锐角三角形B．等边三角形
C．钝角三角形D．直角三角形
2．在△ABC中，2（∠A+∠B）=3∠C，则∠C的补角等于( )
A.36°
B.72°
C.108°
D.144°
3．如图11-2-1，CE是△ABC的角平分线，若∠B=∠ACB，∠BAC=
40°，则∠ACE的度数是( )
A.20°
B.35°
C.40°
D.70°
4．在△ABC中，若∠A= 30°，∠B=50°，则∠C= .
5．如图11-2 -2，已知AD、CE是△ABC的角平分线，AD、CE交于点F，∠BAC= 60°，∠ACB= 76°，求∠AFC的度数．
6．已知直角△ABC的一个锐角等于50°，则另一个锐角的度数是( )
A.30°
B.40°
C.45°
D.50°
7．下列条件，可以确定△ABC是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B+∠C= 180°
B.∠A+∠B=∠C
C.∠A=∠B= ∠C
D.∠A=∠B= 2∠C 8．如图11- 2-3所示，DH⊥AB于H，AC⊥BD于C，DH与AC相交于点E，仔细观察图形，回答以下问题：
(1)图中有几个直角三角形？
(2)∠AEH和∠B是什么关系？为什么？
(3)若∠B= 70°，那么∠A和∠CED各是多少度？
9．如图11-2-4，∠ACD= 120°，∠B= 20°，则∠A的度数是( )
A.120°
B.90°
C.100°
D.30°
10．如图11-2 -5，在△ABC中，∠BAC=x°，∠B=2x°，∠C= 3x°，则∠BAD= ( )
A.145°
B.150°
C.155°
D.160°
11.如图11-2-6，D是△ABC的边AC上一点，E是BD上一点，连接EC，若∠A= 60
°，
∠ABD= 25°，∠DCE= 35°，则∠BEC的度数为.
12.如图11-2-7所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1= ∠2，∠3=∠4，∠BAC=69°，求∠DAC的度数．
能力提升全练
1．如图11-2-8，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC边上的一点，E点在AC边上，∠ADE=∠AED，若∠BAD= 20°，则∠CDE= ( )
A.10°
B.15°
C.20°
D.30°
2．如图11-2 -9所示，在△ABC中，∠A= 60°，BD，CE分别是AC，AB上的高，H 是BD和CE的交点，则∠BHC= 度．
3．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．(1)已知一个“特征三角形”的“特征角”为100°，求这个“特征三角形”的最小内角的度数；
(2)是否存在“特征角”为120°的三角形？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由。

三年模拟全练
一、选择题
1．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C=2∠A，则此三角形( )
A.一定有一个内角为45°
B.一定有一个内角为60°
C.一定是直角三角形
D.一定是钝角三角形
2．如图11-2 -10，BE、CF是△ABC的角平分线，BE、CF相交于D，∠ABC=50°，∠ACB= 70°，则∠CDE的度数是( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.120°
二、填空题
3．如图11-2 -11，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C= 70
°，
∠ABC=48°，那么∠3= .
4．如图11-2 -12所示，∠ACD为△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD平分线交于点P，已知∠A= 50°，则∠P= .
三、解答题
5．已知：如图11-2 -13，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B= 40°，∠EAD= 15°，求∠C的度数．
6．某零件如图11-2 -14所示，按规定∠A= 90°，∠B= 32°，∠C= 21°，当检验员量得∠BDC= 146°时，就断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？
五年中考全练
一、选择题
1．（宿迁中考）如图11-2 - 15，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A= 35°，∠C= 24°，则∠D的度数是( ) A.24° B.59° C.60° D.69°
2．（长春中考）如图11-2 -16，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，若∠A=54°，∠B =48°，则∠CDE的大小为( ) A．44°B．40°C．39°D．38°
3．（黄石中考）如图11-2 -17，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC= 50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD= ( )
A.75°
B.80°
C.85°
D.90°
4．（眉山中考）将一副直角三角板按如图11-2 - 18所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是( )
A.45°
B.60°
C.75°
D.85°
二、填空题
5．（巴中中考）如图11-2 -19，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，若∠BOC= 110°，则∠A=
.
6．如图11 -2 - 20，在△ABC中，∠B=40°，三角形ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= .
三、解答题
7．（宜昌中考）如图11-2-21，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的
外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．
(1)求∠CBE的度数；
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
核心素养全练
1．(1)如图11-2 - 22①，△ABC是锐角三角形，高BD、CE相交于点H，求出∠BHC与∠A的数量关系；
(2)如图11-2 - 22②，△ABC是钝角三角形，∠A ＞90°，高BD、CE所在的直线相交于点H，把图11-2 - 22②补充完整，并说明∠BHC与∠A的数量关系与(1)中的结论是否一致．2．问题情景：如图11-2 - 23①，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C．试问∠ABP与∠ACP是否存在某种确定的数量关系．
(1)特殊探究：若∠A =50°，则∠ABC+ ∠ACB=____度，∠PBC+ ∠PCB=____度，∠ABP+ ∠ACP=____度；
(2)类比探索：请探究∠ABP+ ∠ACP与∠A的关系；
(3)类比延伸：如图11-2 - 23②，改变直角三角板PMN的位置，使P点在△ABC外，三角板PMN的两条直角边PM、PN仍然分别经过点B和点C，(2)中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论．
11.2 与三角形有关的角
基础闯关全练
1.D设三个内角的度数分别为x，2x，3x，根据三角形内角和定理得x+2x+3x= 180°，解得x=30°，∴三个内角的度数分别为30°，60°，90°，则这个三角形为直角三角形，故选D．
2.C ∵2(∠A+∠B)=3∠C，∠A+∠B=180°-∠C，
∴2(180°-∠C)=3∠C，∴∠C=72°，
∴∠C的补角等于108°，故选C．
3.B ∵∠B= ∠ACB，∠BAC= 40°，∴∠ACB=
2
1×（180°-40°）= 70°，∵CE是△
ABC的角平分线，∴∠ACE=
2
1∠ACB= 35°，故选B．
4．答案100°
解析∵在△ABC中，∠A =30°，∠B=50°，∴∠C=180°-30°-50°=100°.
故答案为100°．
5．解析∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC= 60°，
∴∠DAC=
2
1∠BAC=30°，
∵CE是△ABC的角平分线，∠ACB= 76°，
∴∠ACF=
2
1∠ACB=38°，
∴∠AFC= 180°-30°-38°= 112°.
6．B ∵直角三角形的一个锐角为50°．
∴另一个锐角的度数= 90°-50°= 40°，故选B．
7.B ∠A+∠B+∠C=180°，∠A，∠B，∠C的度数不确定，故A不能确定△ABC是直角三角形；∠A+ ∠B= ∠C，根据三角形内角和定理得到∠C= 90°，故B可以确定△ABC是直角三角形；∠A= ∠B= ∠C，则△ABC是等边三角形，故C不能确定△ABC 是直角三角形；∠A= ∠B= 2∠C，故∠A= ∠B= 72°，∠C= 36°，故D不能确定△ABC是直角三角形。

故选B．
8．解析(1)∵DH⊥AB于H，∴△AEH和△BDH都是直角三角形，∵AC⊥BD于C，∴△ABC和△CDE都是直角三角形，∴直角三角形有四个．
(2)∠AEH=∠B。

理由：∵DH⊥AB，AC⊥BD，∴∠AEH+ ∠A=90°，∠B+∠A= 90°，∴∠AEH=∠B．
(3)∵AC⊥BD．∴∠ACB= 90°，∴∠A= 90°- ∠B= 90°-70°=20°，由(2)可知，∠AEH= ∠B= 70°，∴∠CED=∠AEH= 70°（对顶角相等）．
9.C ∠A= ∠ACD-∠B= 120°-20°= 100°，故选C.
10.B 在△ABC中，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=x°，∠B= 2x°，∠C=3x°，∴6x= 180，∴x=30，∴∠BAD=∠B+∠C=5x°=150°．故选B．
11.答案120°
解析∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC= ∠A+ ∠ABD=85°，同理：∠BEC= ∠BDC+∠DCE=120°，故答案是120°．
12.解析∵∠1= ∠2，∠3= ∠4，∠3=∠1+∠2，∴∠3= ∠4=∠1+ ∠2=2∠1，在△ADC中，∠DAC+ ∠3+ ∠4=180°，
∴∠DAC+4∠1=180°，∵∠BAC= ∠1+∠DAC=69°，∴∠1+180°-4∠1= 69°，解得∠1= 37°．∴∠DAC= 69°-37°= 32°.
能力提升全练
1.A∵∠ADC是△ABD的外角，
∴∠ADC= ∠B+∠BAD= ∠B+20°.
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED= ∠C+∠EDC，∵∠B= ∠C，∠ADE= ∠AED，
∴∠C+∠EDC= ∠ADC-∠EDC= ∠B+20°-∠EDC= ∠C+20°-∠EDC，
∴∠CDE= 10°，故选A．
2．答案120
解析∵BD、CE分别是△ABC边AC、AB上的高，
∴∠ADB= ∠AEC=90°，又∠A= 60°，
∴∠ABD= 90°-∠A= 30°，
∴∠BHC= ∠CEB+∠ABD=120°，故答案为120. 3．解析设这个“特征三角形”的三个内角为α、β、γ，
(1)∵α=2β，且α+β+γ= 180°，
∴当α=100°时，β= 50°，则γ=30°，
∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°，
(2)不存在．
∵α=2β，且α+β+γ= 180°，
∴当α= 120°时，β= 60°，
则γ=0°，此时不能构成三角形，
∴不存在“特征角”为120°的三角形．
三年模拟全练
一、选择题
1.B 在△ABC中，∠B+∠C=2∠A，∴∠A+2∠A=180°，∴∠A= 60°，故选B．
2.B ∵BE、CF是△ABC的角平分线，BE、CF相交于D，∠ABC=50°，∠ACB= 70°，∴∠EBC=
2
1∠ABC=
2
1×50°= 25°，∠FCB=
2
1∠ACB=
2
1×70°=35°，
∴∠CDE= ∠EBC+∠FCB=25°+35°=60°．故选B.
二、填空题
3．答案59°
解析∵∠C=70°，∠ABC=48°，
∴∠CAB=180°-70°-48°=62°，
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=
2
1∠CAB=31°，
∵BE⊥AC，∴∠AEF= 90°，∴∠3= ∠AFE= 90°-31°= 59°，
故答案为59°．
4．答案25°
解析∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠PCD，∠ABC=2∠PBC，
又∵∠PCD= ∠P+ ∠PBC，∠ACD= ∠ABC+ ∠A，
∴2∠P+2∠PBC= ∠ABC+∠A，∴2∠P= ∠A，即∠P=
2
1∠A.
∵∠A=50°，∴∠P=25°．故答案为25°．
三、解答题
5．解析∵AD⊥BC，∠EAD=15°，∴∠AED=90°-15°=75°，
∵∠AED是△ABE的外角，∠B=40°，
∴∠BAE=∠AED-∠B=75°-40°=35°，
∵AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠BAE=2×35°=70°，
∴∠C= 180°-∠BAC-∠B= 180°-70°-40°= 70°.
6．解析如图，延长BD交AC于E，由三角形外角的性质可知，∠DEC=∠A+∠B=90°+32°=122°，
∴∠BDC=∠DEC+∠C=122°+21°=143°，
而检验员量得∠BDC= 146°．
故零件不合格．五年中考全练
一、选择题
1.B ∵∠A=35°，∠C=24°，
∴∠DBC=∠A+∠C=59°，∵DE∥BC，
∴∠D= ∠DBC=59°，故选B．
2.C ∵∠A=54°，∠B=48°，∴∠ACB=180°-54°-48°=78°，∵CD平分∠ACB交AB于点D，∴∠DCB=
2
1×78°= 39°，
∵DE∥BC，∴∠CDE= ∠DCB=39°，故选C．
3.A ∵AD是BC边上的高，∠ABC= 60°，
∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°-25°=5°，
在△ABC中，∠C=180°-∠ABC-∠BAC=70°，
∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选A．
4.C如图，
∵∠ACD=90°，∠F=45°，∴∠CGF= ∠DGB=45°，
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故选C．
二、填空题
5．答案40°
解析∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=21∠ABC ，∠OCB=2
1∠ACB ， 而∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+ ∠OCB)=180°-2
1(∠ABC+∠ACB)， ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A ， ∴∠BOC= 180°-2
1(180°-∠A)= 90°+2
1∠A ，
而∠BOC= 110°，∴90°+2
1∠A=110°，∴∠A= 40°，故答案为40°． 6．答案70°
解析 ∵三角形ABC 的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ， ∴∠EAC=2
1∠DAC ，∠ECA=21∠ACF.
如图，2
1∠DAC+2
1∠ACF=2
1（∠B+∠2）+2
1（∠B+∠1）=2
1（∠B+∠B+∠1+∠2），
又∠B = 40°，∠B+∠1+∠2 =180°，∴21∠DAC+21∠ACF =110°，∴ ∠AEC=180°-(
2
1
∠DAC+2
1
∠ACF) =70°.
三、解答题
7．解析 (1)∵在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=90°-∠A=50°，
∴∠CBD= 130°，∵BE 平分∠CBD ，
∴∠CBE=2
1
∠CBD=65°.
(2)∵∠BCE=90°，∠CBE=65°，
∴∠CEB=90°-65°=25°. ∵DF ∥BE ，∴∠F= ∠CEB=25°. 核心素养全练
1．解析(1)结论：∠BHC+ ∠A= 180°.
理由：∵高BD 、CE 相交于点H ，∴∠AEH= ∠ADH= 90°． 在四边形AEHD 中，∵∠AEH+ ∠ADH+ ∠A+ ∠EHD= 360°， ∴∠EHD+ ∠A= 180°，
∵∠BHC=∠EHD ，∴∠BHC+ ∠A= 180°． (2)补充完整的图形如图所示．
结论不变，∠BHC+ ∠BAC= 180°.
理由：∵高BD 、CE 所在的直线相交于点H ， ∴∠ADH= ∠AEH=90°， 在四边形ADHE 中，
∵∠AEH+∠ADH+∠DAE+∠EHD=360°，
∴∠EHD+∠DAE=180°，
∵∠BAC= ∠DAE ，∴∠BHC+∠ BAC= 180°.
2．解析(1)130；90；40.
(2)结论：∠ABP+∠ACP=90°-∠A. 证明：∵90°+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，
∴∠ABP+ ∠ACP+ ∠A= 90°，
∴∠ABP+ ∠ACP= 90°- ∠A.
(3)不成立.∠ACP-∠ABP=90°-∠A.
具体过程如下：△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵∠MPN=90°，∴∠PBC+∠PCB=90°，
∴(∠ABC+ ∠ACB)-(∠PBC+ ∠PCB)= 180°-∠A-90°，
即∠ABC+∠ACP+ ∠PCB- ∠ABP- ∠ABC-∠PCB=90°- ∠A，∴∠ACP- ∠ABP=90°- ∠A.。