河北省衡水市第十四中学2013-2014学年高二数学11月月考试题 理 新人教A版

河北省衡水市第十四中学2013-2014学年高二数学11月月考试题
理 新人教A 版
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）
A ． p 或q 为假
B ．q 假
C ．q 真
D ．不能判断q 的真假
2在等比数列}{n a 中,,8,1685=-=a a 则=11a ( ) A 4- B 4± C 2- D 2± 3．设a R ∈，则1a >是
1
1a
< 的（ ）
A ．充分但不必要条件
B ．必要但不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.抛物线2
8
1x y -=的准线方程是( ). A. 32
1=x B. 2=y C. 321=y D. 2-=y
5．复数⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－i 22＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a 2－b 2
的( )．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．－1
6.已知函数f(x)＝x ＋ln x ，则有( )
A ．f(2)＜f(e)＜f(3)
B ．f(e)＜f(2)＜f(3)
C ．f(3)＜f(e)＜f(2)
D ．f(e)＜f(3)＜f(2)
7．如果a<0，b>0，那么，下列不等式中正确的是 ( )． A.1a <1
b
B.－a< b
C ．a 2
<b 2
D ．|a|>|b|
8.设函数f(x)在R 上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是( )
9．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋2，x≤0，
－x ＋2，x>0.
则不等式f(x)≥x 2
的解( )．
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[－2,1]
D ．[－1,2]
10．设双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y ＝x 2
＋1相切，则该双曲线的离心率等
于( )．
A. 5 B ．2 C. 3 D. 6
11．函数f(x)的定义域为开区间(a ，b)，导函数f′(x)在(a ，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a ，b)内的极小值点共有( )．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
12.设a∈R，若函数y ＝e x
＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( )
A ．a ＜－1
B ．a ＞－1
C ．a ＞－1e
D ．a ＜－1
e
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案直接填在题中横线上． 13．复数1
1z i
=
-的共轭复数是_________。

14.若曲线f(x)＝ax 2
＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．
15．若函数y ＝x 3－ax 2
＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________． 16.已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x
”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2
＋4x ＋a ＝0”，若上述两个命题都是真命题，则实数a 的取值范围为________．
三．解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分) 已知数列{}n a 满足121,3,a a ==
*2132().n n n a a a n N ++=-∈
（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；
（II ）求数列{}n a 的通项公式；
18(本小题满分12分)
已知三点P(5，2)，F 1(－6，0)，F 2(6，0)． (1)求以F 1，F 2为焦点，且过点P 的椭圆方程；
(2)设点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P′，F 1′，F 2′，求以F 1′，F 2′为焦点，且过点P′的双曲线方程．
19(本小题满分12分)
设函数f(x)＝6x 3＋3(a ＋2)x 2
＋2ax.
(1)若f(x)的两个极值点为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，求实数a 的值；
(2)是否存在实数a ，使得f(x)是(－∞，＋∞)上的单调函数？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
20．(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝x 3＋ax 2
＋bx ＋c 在x ＝－1与x ＝2处都取得极值． (1)求a ，b 的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－2，3]，不等式f(x)＋32c<c 2
恒成立，求c 的取值范围．
21．(本小题满分12分)
在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2
212
x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围；
（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量
OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．
22.(本小题满分12分)
已知函数()ln(1)f x x x =+-．
（1）求函数f(x)的单调递减区间； （2若1x >-，证明：1
1ln(1)1
x x x -
≤+≤+．
答案
一BAABD AACAA AA
二．答案:13。

1i - 14.(－∞，0)15。

[答案] [3，＋∞) 16。

答案：[e ，4] 18.解：(1)PF 1＝ 112
＋22
＝55，PF 2＝ 12
＋22
＝5， 由椭圆定义，得2a ＝PF 1＋PF 2＝65，c ＝6，
所以b 2＝a 2－c 2
＝9.
由焦点坐标知，椭圆的焦点在x 轴上， 所以，椭圆的方程为x 245＋y 2
9
＝1.
(2)点P ，F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为P ′(2，5)，F 1′(0，－6)，F 2′(0，6)，由双曲线定义，得2a ＝|PF 1－PF 2|＝45，c ＝6，所以b 2
＝c 2
－a 2
＝16. 由焦点坐标知，双曲线的焦点在y 轴上． 所以，双曲线的方程为y 220－x 2
16
＝1.
20.答案：解：（Ⅰ）
由已知条件，直线l 的方程为2y kx =
代入椭圆方程得2
2(2)12
x kx ++=． 整理得22122102k x kx ⎛⎫
+++=
⎪⎝⎭
① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2
221844202k k k ⎛⎫
∆=-+=-> ⎪⎝⎭
，
解得2k <-
2k >．即k 的取值范围为222⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，，． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，
由方程①，122
12x x k
+=-
+． ②
又1212()y y k x x +=++ ③
而(01)()A B AB =-，，．
所以OP OQ +与AB 共线等价于1212)x x y y +=+，
将②③代入上式，解得k =
．
由（Ⅰ）知2k <-
或2
k >，故没有符合题意的常数k 21.解 (1)f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b ，由题意得
⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝0，f ′（2）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＋b ＝0，12＋4a ＋b ＝0，解得⎩⎪
⎨
⎪⎧a ＝－3
2，b ＝－6.
∴f (x )＝x 3－32x 2－6x ＋c ，f ′(x )＝3x 2
－3x －6.
令f ′(x )<0，解得－1<x <2； 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >2. ∴f (x )的减区间为(－1，2)， 增区间为(－∞，－1)，(2，＋∞)．
(2)由(1)知，f (x )在(－∞，－1)上单调递增； 在(－1，2)上单调递减；在(2，＋∞)上单调递增． ∴x ∈[－2，3]时，f (x )的最大值即为
f (－1)与f (3)中的较大者． f (－1)＝72
＋c ，f (3)＝－92
＋c .
∴当x ＝－1时，f (x )取得最大值． 要使f (x )＋32c <c 2，只需c 2
>f (－1)＋32
c ，
即2c 2
>7＋5c ，解得c <－1或c >72
.
∴c 的取值范围为(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫72，＋∞. 22.解：⑴函数f (x )的定义域为(1,)-+∞．()f x '＝11x +－1＝－1
x x +. 由()f x '<0及x >－1，得x >0．
∴ 当x ∈（0，＋∞）时，f (x )是减函数，即f (x )的单调递减区间为（0，＋∞）．
⑵证明：由⑴知，当x ∈（－1，0）时，()f x '＞0，当x ∈（0，＋∞）时，()f x '＜0， 因此，当1x >-时，()f x ≤(0)f ，即ln(1)x x +-≤0∴ ln(1)x x +≤．
令1()ln(1)11g x x x =++-+，则211()1(1)g x x x '=-++＝2
(1)
x
x +． ∴ 当x ∈（－1，0）时，()g x '＜0，当x ∈（0，＋∞）时，()g x '＞0．
∴ 当1x >-时，()g x ≥(0)g ，即 1
ln(1)11
x x ++-+≥0，∴ 1ln(1)11x x +≥-+．
综上可知，当1x >-时，有1
1ln(1)1
x x x -
≤+≤+．。