高考数学二轮复习 专题15 椭圆、双曲线、抛物线教学案 理-人教版高三全册数学教学案

专题15 椭圆、双曲线、抛物线
1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．
2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．
一、椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质
椭圆双曲线抛物线
定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)
||PF1|－|PF2||＝
2a(2a<|F1F2|)定点F和定直线l，点F不在直线l上，P到l距离为d，|PF|＝d
标准方程焦点在x轴上
x2
a2
＋
y2
b2
＝1(a>b>0)
焦点在x轴上
x2
a2
－
y2
b2
＝1(a>0，b>0)
焦点在x轴正半轴上y2＝
2px(p>0)
图象
几何性质范围|x|≤a，|y|≤b |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R 顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)
对称性关于x轴、y轴和原点对称关于x轴对称
焦点(±c,0)
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
p
2
，0
轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b
离心率e＝
c
a
＝1－
b2
a2
(0<e<1) e＝
c
a
＝1＋
b2
a2
(e>1) e＝1
【误区警示】
1．求椭圆、双曲线方程时，注意椭圆中c 2＝a 2＋b 2，双曲线中c 2＝a 2－b 2
的区别． 2．注意焦点在x 轴上与y 轴上的双曲线的渐近线方程的区别．
3．平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点；平行于抛物线的轴的直线与抛物线有且仅有一个交点．
考点一 椭圆的定义及其方程
例1．(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为
32
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n
2－m （x －2），
解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2
）4－m 2＋n 2
.
由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2
，所以y E ＝－45n .
又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝2
5
|BD |·|n |，
S △BDN ＝12
|BD |·|n |，
所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.
【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n
–y 2
=1(n >0)的焦
点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）
A ．m >n 且e 1e 2>1
B ．m >n 且e 1e 2<1
C ．m <n 且e 1e 2>1
D ．m <n
且e 1e 2<1
【答案】A
【变式探究】已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交E
于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )
A.x 245＋y 236
＝1 B.x 236＋y 2
27＝1 C.
x 2
27＋y 2
18
＝1 D.
x 2
18＋y 2
9
＝1 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵A ，B 在椭圆上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21
b
2＝1， ①x 2
2a 2
＋y 22b 2
＝1 ②
①－②，得
（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2＋（y 1＋y 2）（y 1－y 2）
b
2
＝0， 即b 2a 2＝－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）
（x 1＋x 2）（x 1－x 2）
， ∵AB 的中点为(1，－1)，
∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ＝0－（－1）3－1＝12，∴b 2a 2＝12
.
又∵a 2
－b 2
＝9，∴a 2
＝18，b 2
＝9. ∴椭圆E 的方程为x 218＋y 2
9＝1，故选D.
答案 D
考点二 椭圆的几何性质
例2．【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：
2222
1(0)x y a b a b +=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
（A ）
13
（B ）12
（C ）23
（D ）3
4
【答案】A
【变式探究】(2015·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2，点
P (0，1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M .
(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；
(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，
c a ＝2
2，a 2
＝b 2
＋c
2
解得a 2
＝2，
故椭圆C 的方程为x 2
2＋y 2
＝1. 设M (x M ，0)．
因为m ≠0，所以－1＜n ＜1. 直线PA 的方程为y －1＝
n －1
m
x . 所以x M ＝m 1－n ，即M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫m
1－n ，0.
考点三 双曲线的定义及标准方程
例3．(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)
2
＋y 2
＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )
A ．2 B. 3 C. 2
D.23
3
解析：取渐近线y ＝b a
x ，化成一般式bx －ay ＝0，圆心(2，0)到直线的距离为22
－12
＝|2b |
a 2＋
b 2
，
又由c 2
＝a 2
＋b 2
得c 2
＝4a 2
，e 2
＝4，e ＝2. 答案：A
【变式探究】【2016高考天津理数】已知双曲线2
224=1x y b
-（b >0），以原点为圆心，双曲
线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）
（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2
224=11x y -
【答案】D
【变式探究】(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 2
16
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点
P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )
A ．11
B ．9
C ．5
D ．3
解析 由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.
答案 B
考点四 双曲线的几何性质
例4．【2016高考新课标1卷】已知方程22
2
213x y m n m n
-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )
（A ）()1,3- （B ）(- （C ）()0,3 （D ）( 【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2
2
34m n m n ++-=，解得2
1m =，
因为方程22
113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13n n >-⎧⎨<⎩
，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．
【变式探究】(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在
E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )
A. 5 B ．2 C. 3 D. 2
解析 如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，则|AB |＝2a ，由双曲线的对
称性，可设点M (x 1，y 1)在第一象限内，过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角
形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin
60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可
得a 2
＝b 2
，∴e ＝c
a
＝
a 2＋
b 2
a 2
＝2，选D. 答案 D
考点五 抛物线的定义及方程
例5．(2017·全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( )
A. 5 B ．2 2 C ．2 3 D ．3 3
答案：C
【变式探究】【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线
22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的
最大值为( )
（A （B ）2
3
（C （D ）1 【答案】C
【解析】设()
()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则
21
2,2.
,23
p FP pt pt FM FP ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
，故选C.
【变式探究】过抛物线y 2
＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )
A.
22 B. 2 C.322
D ．2 2 解得x 1＝2，x 2＝12.∴|BF |＝x 2＋1＝32，
∴|AB |＝3＋32＝92.∴S △AOB ＝1
2|AB |·d
＝12×92×223＝32
2
.
答案 C
考点六 抛物线的几何性质
例6．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2
＝2x ，过点(2，0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；
(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． (1)证明：设l ：x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立⎩
⎪⎨⎪⎧y 2
＝2x ，x ＝my ＋2，得y 2
－2my －4＝0，
Δ＝4m 2＋16恒大于0，y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4.
OA →
·OB →
＝x 1x 2＋y 1y 2
＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2 ＝(m 2
＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4 ＝－4(m 2＋1)＋2m ·2m ＋4＝0， 所以OA →⊥OB →
，即O 在圆M 上．
(2)解：由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2
＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2
＋2，m )，圆M 的半径r ＝（m 2
＋2）2
＋m 2
.
由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →
＝0，故(x 1－4)·(x 2－4)＋(y 1＋2)·(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，
所以2m 2
－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12
.
当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3，1)，圆M 的半径为10，
圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2
＝10.
当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫9
4，－12，
圆M 的半径为854，圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516
.
【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线
于D 、E 两点.已知|AB |=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B
【解析】如图,设抛物线方程为2
2y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,
则AC =即A
点纵坐标为,则A 点横坐标为
4p ,即4
OC p
=,由勾股定理知2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,
即22224
()()2p p
+=+,解
得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.
【变式探究】(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，
3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2
＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.
x 221－y 2
28
＝1 B.
x 228－y 2
21
＝1 C.x 23－y 2
4
＝1
D.x 24－y 2
3
＝1 解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2b
a
＝3，
即2b ＝3a ，①
抛物线y 2
＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2
＋b 2
＝7，即a 2
＋b 2
＝7②， 联立①②解得a 2
＝4，b 2
＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 2
3＝1，选D.
答案 D
1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2
=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为
A ．16
B ．14
C ．12
D ．10
【答案】A
【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为()11y k x =-，
联立方程()214{ 1y x
y k x ==-，得2
2
221
1
1
240k x k x x k --+=，∴21122
1
24
k x x k --+=-
212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足2
2342
2
24
k x x k ++=，由抛物线定义可知12342AB DE x x x x p +=++++=
22122222121224244448816k k k k k k ++++=++≥=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号.
2.【2017课标II ，理9】若双曲线C:22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的一条渐近线被
圆()2
224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）
A ．2 B
D
．
3
【答案】A
3.【2017浙江，2】椭圆22
194
x y +=的离心率是
A ．
B
．
3
C ．
23
D ．
59
【答案】B
【解析】e =
=B ． 4.【2017天津，理5】已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左焦点为F ，
.
若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
（A ）22144x y -= （B ）22188x y -=（C ）22148x y -=（D ）22
184x y -=
【答案】B
【解析】由题意得22
4,14,188
x y a b c a b c ==-⇒===⇒-=- ，选B.
5.【2017北京，理9】若双曲线2
2
1y x m
-=的离心率为3，则实数m =_________.
【答案】2
【解析】2
2
1,a b m == ，所以
131
c m a +== ，解得2m = . 6.【2017课标1，理】已知双曲线C ：22
221x y a b
-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为
圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.
【答案】
23
3
【解析】如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线b
y x a
=
上的点，且， AM AN b ==， 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=， 点到直线b
y x a
=
的距离2
2
1b AP b a =+
，
在Rt PAN 中， cos PA PAN NA
∠=
，代入计算得223a b =，即3a b =，
由222c a b =+得2c b =， 所以23
3c e a b
=
==
. 7.【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C:2
8y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N 。

若M 为FN 的中点，则FN = 。

【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作与点，
与点，由抛物线的解析式可得准线方程为
，则
，在直角梯
形中，中位线
，由抛物线的定义有：
，结合题意，有
，故
．
8.【2017课标3，理5】已知双曲线C ：22
221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为
5
2y x =,且与椭圆221123
x y +
=有公共焦点，则C 的方程为 A ．22
1810
x y -
= B ．22
145x y -
= C ．22
154x y -
= D ．22
143
x y -
= 【答案】B
【解析】双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的渐近线方程为b
y x a
=± ，
椭圆中：2
2
2
2
2
12,3,9,c 3a b c a b ==∴=-== ，椭圆，即双曲线的焦点为()3,0± ，
据此可得双曲线中的方程组：2225
3b a c a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩
，解得：22
4,5a b == ，
则双曲线C 的方程为
2
145
x y 2-= . 故选B .
9.【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的右
支与焦点为F 的抛物线()220x px p =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】2
y x =
10.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：22
22=1x y a b
+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），
P 3（–1
，P 4（1
C 上. （1）求C 的方程；
（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.
【答案】（1）2
214
x y +=.（2）见解析。

【解析】（1）由于3P ， 4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ， 4P 两点. 又由
2222
1113
4a b a b +>+
知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上. 因此2
22
11{ 1314b
a b =+=，解得224{ 1a b ==.
故C 的方程为2
214
x y +=. （2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，
如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t ，
），（t ，
.
则121k k +=
=-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ： y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2
214
x y +=得 由题设可知()
22=16410k m ∆-+>.
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841
km
k -+，x 1x 2=22
4441m k -+. 而121212
11
y y k k x x --+=
+
()()
121212
21kx x m x x x x +-+=
.
由题设121k k +=-，故()()()12122110k x x m x x ++-+=.
即()()22
244821104141
m km
k m k k --+⋅+-⋅=++. 解得1
2
m k +=-
. 当且仅当1m >-时， 0∆>，欲使l ： 12m y x m +=-+，即()1
122
m y x ++=--，
所以l 过定点（2， 1-）
11.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

(1) 求点P 的轨迹方程；
(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。

证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

【答案】(1) 。

(2)证明略。

所以
，即
.又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于
OQ 的直线l 过C 的左焦点F.
12.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22
221x y a b +=()0a b >>的
2
，焦距为2. （Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线l ：13
y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122
k k =
OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.
【答案】（I ）2
212
x y +=.
（Ⅱ）SOT ∠的最大值为3
π
，取得最大值时直线l
的斜率为1k =.
【解析】
（I ）由题意知
c e a ==， 22c =， 所以
1a b =
=，
因此 椭圆E 的方程为2
212
x y +=. （Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，
联立方程2
211,2
{
,
2
x y y k x +==- 得(
)
22114210k x x +--=， 由题意知0∆>，
且()
11212
22111
,21221
x x x x k k +=
=-++， 所以
121AB x =-=. 由题意可知圆M 的半径r
为1r =
由题设知124
k k =
，
所以21
4k k =
因此直线OC
的方程为1
4y x k =
.
联立方程2
21
1,2
{ ,
4x y y x k +==
得22
2
122
1181,1414k x y k k ==
++， 因此
OC ==由题意可知 1
sin
21SOT r
OC r OC
r
∠==++
，
而
1OC r
=
=
， 令2
112t k =+，
则()11,0,1t t
>∈， 因此 ， 当且仅当11
2
t =，即2t =
时等号成立，此时1k =，
所以 1
sin
22SOT ∠≤， 因此26
SOT π∠≤，
所以 SOT ∠最大值为3
π
.
综上所述： SOT ∠的最大值为
3
π
，取得最大值时直线l
的斜率为12k =±.
13.【2017北京，理18】已知抛物线C ：y 2
=2px 过点P （1，1）.过点（0，
1
2
）作直线
l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，
其中O 为原点.
（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为2y x =，抛物线C 的焦点坐标为（14，0），准线方程为1
4
x =-.（Ⅱ）详见解析.
（Ⅱ）由题意，设直线l 的方程为1
2
y kx =+（0k ≠），l 与抛物线C 的交点为()11,M x y ，
()22,N x y .
由21
{
2y kx y x
=+=，得()22
44410k x k x +-+=.
则1221k x x k -+=
， 122
1
4x x k =. 因为点P 的坐标为（1，1），所以直线OP 的方程为y x =，点A 的坐标为()11,x y . 直线ON 的方程为2
2y y x x =，点B 的坐标为2112,y y x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭. 因为
0=，
所以21
112
2y y y x x +
=. 故A 为线段BM 的中点.
14.【2017天津，理19】设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，
离心率为
12.已知A 是抛物线2
2(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12
. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），
直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △
AP 的方程.
【答案】（Ⅰ）22
413
y x +=， 2
4y x =.（Ⅱ）330x +-=，或330x --=. 【解析】
（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，
12c a =，
2p a =， 1
2
a c -=，解得1a =， 12c =， 2p =，于是222
34
b a
c =-=.所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为2
4y x =.
（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可
得点21,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝
⎭.将1x my =+与22
413y x +=联立，消去x ，整理得()2
2
3460m y my ++=，解得0y =，或.由点B 异于点A ，可得点22
2346,3434m m B m m ⎛⎫
-+- ⎪++⎝⎭
.由21,
Q m ⎛
⎫
- ⎪⎝⎭
，可得直线BQ 的方程为()222
623421103434m
m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令0y =，解得222332m x m -=+，故
2223,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭.所以2222
23613232m m AD m m -=-=++.又因为APD ，故
2
21622322
m m m ⨯⨯=+，整理得2
320m m -+=，解得3m =所以3m =±.
所以，直线AP 的方程为330x -=，或330x -=.
15.【2017江苏，8】 在平面直角坐标系xOy 中,双曲线2
213
x y -=的右准线与它的两
条渐近线分别交于点P ,,其焦点是12,F F ,则四边形12F PF Q 的面积是 ▲ .
【答案】
【解析】右准线方程为
10x =
=
，渐近线方程为y x =，设
,1010P ⎛ ⎝⎭
，则10
10Q ⎛ ⎝⎭，
()1F ，
)
2F
，则
10
S == 16.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的
左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为1
2
,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第
一象限，过点1F 作 直线1PF 的垂线1l ,过点2F 作直线2PF 的垂线2l .
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线E 的交点在椭圆E 上,求点P 的坐标.
【答案】（1）
22143
x y +=（2
） 【解析】（1）设椭圆的半焦距为c .
因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以1
2
c a =， 228a c =， 解得2,1a c ==
，于是b =
因此椭圆E 的标准方程是22
143
x y +=. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得2
0001x y y -=±，即220
01x y -=或22
001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200
143
x y +=.
由，解得00x y =
=； ，无解. 因此点P
的坐标为⎝⎭
.
1. 【2016高考新课标1卷】已知方程22
2
213x y m n m n
-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )
（A ）()1,3- （B
）(- （C ）()0,3 （D
）( 【答案】A
【解析】由题意知：双曲线的焦点在x 轴上，所以2
2
34m n m n ++-=，解得2
1m =，
因为方程22
113x y n n -=+-表示双曲线，所以1030n n +>⎧⎨->⎩，解得13
n n >-⎧⎨<⎩，所以n 的取值范围是()1,3-，故选A ．
2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2
2(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )
（A
）
3 （B ）2
3
（C
）2 （D ）1 【答案】C
【解析】设()
()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则
21
2,2.
,23
p FP pt pt FM FP ⎛⎫
=-=
⎪⎝⎭
，故选C.
3.【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线22
22:1x y E a b
-=的左，右焦点，点M
在E 上，1MF 与x
轴垂直，211
sin 3
MF F ∠=
,则E 的离心率为（ ）
（A （B ）3
2
（C （D ）2
【答案】A
【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以22
12,2b b MF MF a a a
==+，因为211
sin 3MF F ∠=，即2122
1
32b MF a
b MF a a
=
=+
，化简得b a =，故双曲线离心率
e ==.选A. 4.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n
–y 2
=1(n >0)
的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）
A ．m >n 且e 1e 2>1
B ．m >n 且e 1e 2<1
C ．m <n 且e 1e 2>1
D ．m <n 且e 1e 2<1
【答案】A
【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ， 又
222
12222222111111()(1)(1)(1)(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++=4242
21
12n n n n
++>+ ，故121e e >．故选A ．
5.【2016高考浙江理数】若抛物线y 2
=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______．
【答案】9
【解析】1109M M x x +=⇒=
6.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准
线于D 、E 两点.已知|AB |=DE|=则C 的焦点到准线的距离为
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B
【解析】如图,设抛物线方程为2
2y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则AC =
即A 点纵坐标为,则A 点横坐标为
4p ,即4
OC p
=,由勾股定理知
2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,即22224
()()2p p
+=+,解
得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.
7.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22
221(0)
x y a b a b
+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）
（A ）
1
3
（B ）12
（C ）23
（D ）3
4
【答案】A
8.【2016高考天津理数】已知双曲线2
2
24=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）
（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2
224=11x y -
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y ，
∴2
2
422x x y b
b y x y ⎧
=⎧+=⎪
⎪⎪
⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩
， ∴2
21612422
b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -
=，故选D. 9.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆
22221()x y a b a b +=＞＞0 的右焦点，直线2
b
y = 与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 ▲ .
【解析】由题意得,),C(,),22
b b B ，因此
22222(
)()032223
b c a c a e -+=⇒=⇒= 10.【2016高考天津理数】设抛物线222x pt y pt ⎧=⎨=⎩
，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线
为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （
7
2
p ,0），AF 与BC 相交于点E .若
|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为p 的值为_________.
【解析】抛物线的普通方程为2
2y px =，(
,0)2p F ，7322
p
CF p p =-=， 又2CF AF =，则32
AF p =，由抛物线的定义得3
2AB p =，所以A x p =，则
||A y =，
由//CF AB 得EF CF EA AB =，即2EF CF
EA AF
==，
所以262CEF
CEA
S S ==92ACF
AEC
CFE
S
S
S
=+=
所以
1
32
p ⨯=p = 11.【2016高考山东理数】已知双曲线E ：22
221x y a b
-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD
的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.
【答案】2
【解析】假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则2b A(c,)a ，2
b B(c,)a -，所以
22b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222c a b =+得离心率e 2=或1
e 2
=-（舍
去），所以E 的离心率为2.
12.【2016年高考北京理数】双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形
OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则
a =_______________.
【答案】2
【解析】∵OABC 是正方形，∴，即直线OA 方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =
，又由题意OB =
，∴2
2
2
a a +=，2a =．故填：2．
13.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22
173
x y -=的焦距是
________▲________.
【答案】
【解析】222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=焦距
为2c
故答案应填：
14.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）
平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b
+=＞＞
，抛物线E ：
22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点
A ，
B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .
（i ）求证：点M 在定直线上;
（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为，求1
2
S S
的最大值及取得最大值时点P 的坐标.
【答案】（Ⅰ）142
2
=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为4
9
，此时点P 的
坐标为)4
1
,22(
【解析】
（Ⅰ）由题意知2
3
22=-a b a ，可得：b a 2=. 因为抛物线E 的焦点为)21
,0(F ，所以2
1,1==b a ， 所以椭圆C 的方程为142
2
=+y x .
因此1
42223
210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)
14(222
0+-=m m y ，
因为
m x y 41
00-=，所以直线OD 方程为x m
y 41-=. 联立方程，得点M 的纵坐标为M 1
4
y =-
， 即点M 在定直线4
1-
=y 上. （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为22
m mx y -=，
令0=x 得22
m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))
14(2,142(22
23+-+m m m m ， 所以)1(4
1
||2121+==
m m m GF S ， )14(8)12(||||212
2
202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以2
22221)12()1)(14(2+++=
m m m S S ，
令122
+=m t ，则
211)1)(12(2221++-=+-=t t
t t t S S ， 当
211=t ，即2=t 时，2
1S S 取得最大值49，此时22
=m ，满足0∆>，
所以点P 的坐标为)41,22(
，因此12S
S 的最大值为4
9，此时点P 的坐标为)41,22(. 15.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.
【答案】（1）x y 82
=（2）①详见解析，②)3
4
,0( 【解析】
解：（1）抛物线2:y 2(0)C px p =>的焦点为(,0)2
p 由点(,0)2p 在直线:20l x y --=上，得0202
p
--=，即 4.p = 所以抛物线C 的方程为28.y x =
（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，线段PQ 的中点00(,)M x y 因为点P 和Q 关于直线l 对称，所以直线l 垂直平分线段PQ ， 于是直线PQ 的斜率为，则可设其方程为.y x b =-+
①由22y px y x b
⎧=⎨=-+⎩消去x 得2220
(*)y py pb +-=
因为P 和Q 是抛物线C 上的相异两点，所以12,y y ≠ 从而2(2)4(2)0p pb ∆=-->，化简得20p b +>. 方程（*
）的两根为1,2y p =-12
0.2
y y y p +=
=-
因为00(,)M x y 在直线l 上，所以02.x p =- 因此，线段PQ 的中点坐标为(2,).p p -- ②因为(2,).M p p --在直线y x b =-+上 所以(2)p p b -=--+，即22.b p =-
由①知20p b +>，于是2(22)0p p +->，所以4
.3
p < 因此p 的取值范围为4(0,).3
16.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）
设椭圆132
22=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知
|
|3||1||1FA e
OA OF =
+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点
M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
22
143
x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】（Ⅰ）解：设(,0)F c ，由
113||||||e OF OA FA +=，即113()
c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为
22
143
x y +=. 因此直线MH 的方程为k
k x k y 124912
-+-=.
设),(M M y x M ，由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧-=-+
-=)
2(124912
x k y k k x k y 消去y ，解得)1(129202
2++=k k x M . 在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2
2
2
2
)2(M M M M y x y x +≤+-，
化简得1≥M x ，即1
)
1(129
2022≥++k k ，解得46-≤k 或46≥k . 所以，直线l 的斜率的取值范围为),4
6[]46,(+∞-
-∞ . 17.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：2
2y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．
（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR
FQ ；
（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2
1y x =-．
【解析】由题设)0,2
1
(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且
)2
,21(),,21(),,21(),,2(),0,2(22b a R b Q a P b b B a A +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b a
ab
a a
b a b a a b a k =-=-==--=+-=， 所以AR
FQ . ......5分
（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,21
21211b a S x a b FD a b S PQF ABF
-=--=-=∆∆. 由题设可得
2
21211b a x a b -=--，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E .
当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得
)1(1
2≠-=+x x y
b a .
而
y b
a =+2
，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12
-=x y . ....12分
18.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆22
21x y a
+=（a ＞1）.
（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；
（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值
范围.
【答案】（I
）22221a k a k +（II
）02
e <≤．
【解析】
（Ⅰ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由得()
2222120a k x a kx ++=，
故10x =，2222
21a k
x a k =-+．
因此21222
21a k AP x a k
=-=+ （Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点
P ，Q ，满足
AP AQ =．
记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．
由（Ⅰ）知，1AP =
2
AQ =
，
1
2
=
，
所以(
)()
22222222
121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣
⎦
．
19.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．
（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）
144
49
；
（Ⅱ）)
2.
【解析】（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22
143
x y +=，()2,0A -.
由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为
4
π
.因此直线AM 的方程为2y x =+.
将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127
y =. 因此AMN △的面积AMN S △11212144
227749
=⨯⨯
⨯=
. （Ⅱ）由题意3t >，0k >
，()
A .
将直线AM
的方程(y k x =+代入22
13
x y t +=得(
)2
2
222330tk x
x t k t +++-=.
由(221233t k t
x tk -⋅=+
得)
212
33tk x tk -=+
，故
1AM x ==
.
由题设，直线AN 的方程为(1
y x k
=-
，故同理可得AN ==，
由2AM AN =得
22
233k tk k t
=++，即()()3
2321k t k k -=-.
当k =
因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()
2
3233
21
22022
k k k k k k k -+-+-=<--， 即32
02k k -<-.由此得3
2020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020
k k -<⎧⎨->⎩
2k <<. 因此k
的取值范围是
)
2.
20.【2016年高考北京理数】（本小题14分）
已知椭圆C ：22
221+=x y a b
（0a b >>）
的离心率为2 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，
OAB ∆的面积为1.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.
【答案】（1）2
214
x y +=；（2）详见解析. 【解析】
（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨
⎧+===,,121
,23
222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为14
22
=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，
设),(00y x P ，则442
020=+y x .
当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(2
00
--=
x x y y .
令0=x ，得2200
--
=x y y M ，从而2
21100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为11
0+-=
x x y y . 令0=y ，得100
--
=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N . 所以2
211200
00-+⋅-+
=⋅x y y x BM AN 4=.
当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.
21.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）
已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个
顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .
（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2
PT
PA PB λ=⋅，并求λ的值.
【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）4
5
λ=. （II ）由已知可设直线l ' 的方程为1
(0)2
y x m m =
+≠， 有方程组12
3y x m y x ⎧
=+⎪⎨⎪=-+⎩，
，
可得 所以P 点坐标为（222,133m m -
+
），2
289
PT m =. 设点A ，B 的坐标分别为1122(,)(,)A x y B x y ， .
由方程组 可得22
34(412)0x mx m ++-=.②
方程②的判别式为2
=16(92)m ∆-，由>0∆，解得m <<. 由②得212124412
=,33
m m x x x x -+-=.
所以123
m PA x ==-- ，
同理223
m PB x =
--， 所以12522(2)(2)433
m m
PA PB x x ⋅=
---- 2
109m =
.
故存在常数45
λ=
，使得2
PT PA PB λ=⋅. 22. 【2016高考上海理数】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于
A B 、两点。

（1）若l 的倾斜角为
2
π
，1F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设b =
l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.
【答案】（1）y =．（2）. 【解析】
（1）设(),ΑΑΑx y ．
由题意，()2,0F c ，c =，()
2
2241Αy b c b =-=，
因为1F ΑΒ△是等边三角形，所以2Αc =，
即()
24413b b +=，解得22b =．
故双曲线的渐近线方程为y =． （2）由已知，()12,0F -，()22,0F ．
设()11,Αx y ，()22,Βx y ，直线:l ()2y k x =-．显然0k ≠． 由，得()
222234430k x k x k --++=．
因为l 与双曲线交于两点，所以230k -≠，且()
23610k ∆=+>． 设ΑΒ的中点为(),ΜΜΜx y ．
由11()0F A F B AB +⋅=即10F ΜΑΒ⋅=，知1
F ΜΑΒ⊥，故11F Μk k ⋅=-． 而2122223Μx x k x k +==-，()2623ΜΜk y k x k =-=-，12323
F Μk
k k =-，
所以
2
3123k k k ⋅=--，得2
35
k =，故l 的斜率为． 1．(2015·陕西，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两
点(c ，0)，(0，b )的直线的距离为1
2
c .
(1)求椭圆E 的离心率；
(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2
＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭
圆E 的方程．
解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝
bc b 2＋c 2＝bc
a
， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2
，解得离心率c a ＝32.
(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2
＋4y 2
＝4b 2
.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10，
易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得(1＋4k 2
)x 2
＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2
－4b 2
＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b
2
1＋4k 2
， 由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2
＝－4，解得k ＝1
2， 从而x 1x 2＝8－2b 2
，
于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
|x 1－x 2| ＝
52
（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2
－2）， 由|AB |＝10，得10（b 2
－2）＝10， 解得b 2
＝3，
故椭圆E 的方程为x 212＋y 2
3＝1.
于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122
|x 1－x 2| ＝
52
（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2
－2）. 由|AB |＝10，得10（b 2
－2）＝10，解得b 2
＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 2
3
＝1.
2．(2015·广东，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4
，且其右焦点为F 2(5，0)，
则双曲线C 的方程为( )
A.x 24－y 23＝1
B.
x 216－y 2
9
＝1 C.x 2
9－y 2
16
＝1
D.x 23－y 2
4
＝1 解析 因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54
，所以c ＝5，a ＝4，b
2
＝c 2
－a 2
＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 2
9
＝1，故选B.
答案 B
3．(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 2
2－y 2
＝1上的一点，F 1，F 2
是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→
<0，则y 0的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
33，33 B.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－
36，36
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
－233
，233
解析 由题意知M 在双曲线C ：x 2
2－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
2－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，
得y
＝±
33，所以－33<y 0<3
3
. 答案 A
4．(2015·浙江，9)双曲线x 2
2－y 2
＝1的焦距是______，渐近线方程是______．
解析 由双曲线方程得a 2
＝2，b 2
＝1，∴c 2
＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y ＝±
22
x .
答案 2 3 y ＝±
22
x 5．(2015·北京，10)已知双曲线x 2a
2－y 2
＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝
________．
解析 双曲线渐近线方程为y ＝±b a
x ， ∴b a ＝3，又b ＝1，∴a ＝33
. 答案
33
6．(2015·湖南，13)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线
段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．
解析 不妨设F (c ，0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2
a
2＝5，∴e ＝ 5.
答案
5
7．(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2
－y 2
＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．
解析 双曲线x 2
－y 2
＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝
|1－0|12
＋1
2
＝2
2
.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤
22，故c 的最大值为22
.。