巧用“复制、粘贴法”解决几何变式题

巧用“复制、粘贴法”解决几何变式题
摘要：几何变式题一直是学生比较害怕的题型，文章通过三个例题的分析，让学生感受“复制、粘贴法”在几何变式题中的应用，从而得到推理能力的提升．培养和发展学生的数学推理能力不仅是数学学科价值的体现，同时也是“核心素养”的基础性条件．
关键词：几何变式题、解法研究、核心素养
初中阶段尤其是基础不好的学生对于几何压轴题往往都有畏难情绪，一看到冗长的题目，连题目都还没看清，就开始打退堂鼓，更不用说好好思考并解决了．现在我来介绍一类几何压轴题，并没有那么难“对付”，相信你能从中得到一点启发．接下来我从几个题目入手讲解如何用“复制、粘贴法”解决几何变式题．
1.
点的移动带来的变式
例1．（2019•抚顺）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边CD，BC上，且DE＝CF，点P在射线BC上（点P不与点F重合）．将线段EP绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，过点E作GD的垂线QH，垂足为点H，交射线BC于点Q．
（1）如图1，若点E是CD的中点，点P在线段BF上，线段BP，QC，EC的数量关系为_________．
（2）如图2，若点E不是CD的中点，点P在线段BF上，判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）正方形ABCD的边长为6，AB＝3DE，QC＝1，请直接写出线段BP的长．
此题是2019年抚顺的中考题，是四边形综合题目，考查了正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及分类讨论等知识；此题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．
第1、2小题的区别在于点E是否为CD的中点，学生可以通过测量图1与图2中的BP、QC、EC的长度，初步猜想这三条线段都存在BP+QC=EC。

由于正方形的四边相等，只要满足PQ=DE即可证明猜想，线段EG又是由线段EP绕点E顺时针旋转90°得到的，可得EP=EG，只要证明△PEQ≌△EGD即可完成，证明过程如下：
∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
由旋转的性质得：∠PEG＝90°，EG＝EP，
∴∠PEQ+∠GEH＝90°，
∵QH⊥GD，∴∠H＝90°，∠G+∠GEH＝90°，
∴∠PEQ＝∠G，
又∵∠EPQ+∠PEC＝90°，∠PEC+∠GED＝90°，∴∠EPQ＝∠GED，
在△PEQ和△EGD中，，
∴△PEQ≌△EGD（ASA），
∴PQ＝ED，∴BP+QC＝BC﹣PQ＝CD﹣ED＝EC，即BP+QC＝EC；
第1、2小题的解题过程是一模一样的，完全可以用“复制、粘贴”的方式来完成证明。

对比第3小题与前面的两小题，发现少了一个条件：点P在线段BF
上，再观察题干中关于点P位置的描述是：点P在射线BC上（点P不与点F重合），于是很明显这一小题需要分类讨论．①当点P在线段BF上时，满足第2
小题的结论BP+QC＝EC，得BP=EC-QC=4-1=3；②当点P在射线FC上时，点Q在
BC延长线上，还满足以上的结论吗？学生首先得根据所给的条件在提供的备用图
上画出符合要求的图形（如图3）．由于只是点的位置改变，可以让学生仿照1、2小题的解题过程来解决这个问题，发现完全可以利用“复制、粘贴”的方法得
到PQ＝ED，但是此时得到三者的数量关系为BP-QC＝EC.
当点Q在点C左边时，点Q→点C，而当点Q在点C右侧时，点Q←点C，
这两都是具有相反意义的量，故此时可以用-QC来表示，在原来的数量关系的基
础上将QC改成-QC即可得到BP-QC＝EC，变形可得BP=QC+EC=4+1=5.
显然由上述分析，如果将点放宽到在直线BC上，只要再探究点P在射线CB
上时的这三者的数量关系，此时，点P在点B的左侧，同理可以用-BP来表示，
在原来的数量关系的基础上将BP改成-BP即可得到-BP+QC＝EC.
对于此类只改变点在直线上的位置，其余条件不变的几何变式题，基本都可
以用“复制、粘贴法”来解决，只要将特殊情况下的问题分析清楚，对于后面的
变式往往都可以照抄过程来解决.
1.
图形的旋转带来的变式
例2. 已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，证明：OH= AD且
OH⊥AD．
（2）将△COD绕点O旋转到图2，线段OH与AD又有怎样的关系，直接写出
结果．
（ 3）图3所示位置时，线段OH
与AD又有怎样的关系，证明你的结论．
此题是2017年黑龙江中考题中的第26题，考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、等腰直角三角形、三角形中位线定理、旋转的性质，
此题综合性较强，适用于基础较好的学生．对于第1小题，解决方法很多，突破
口在于OH= AD．
方法1：由于∠AOB=90°，点H为BC中点，所以OH= BC，只要AD=BC，即
可证明OH= AD，△AOB和△COD均为等腰直角三角形，可证△AOD≌△BOC，可得AD=BC，从而得到OH= AD，OH⊥AD这一关系也可解决．
方法2：延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE（如图4），OH= OE，只要
OE=AD，即可证明OH= AD，显然由“八字型”△BHE≌△CHO，得到BE=OC=OD，
∠E＝∠COH，从而BE∥OC，得∠OBE+∠BOC＝180°，再由∠BOC+∠AOD＝180°，
可得∠OBE＝∠AOD，
继而可证△BEO≌△ODA，从而得出结论。

方法3：延长C O到E，使得OE＝OC，连接BE（如图5），OH为△CBE的中位线，只要AD=BE，即可证明OH= AD，利用“双等腰直角三角形”模型即可证明
△AOD≌△BOE，从而得出结论．
由于△COD的旋转，OH不再等于BC的一半，显然方法1不适用于2、3小题
的变式，但是方法2与方法3都适用，可以照搬整个证明过程来解决变式。

对于
此类几何变式题，我们首选“复制、粘贴法”来解决，一旦发现行不通，也要当
机立断再谋出路．
E
E
图4 图5
1.
几何图形改变带来的变式
例3.如图（1），已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：DG＝BE；
（2）连接FC，求∠FCN的度数；
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝m，BC＝n （m、n为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含m、n的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请画图说明．
本题属于四边形综合题，主要考查了正方形，矩形的性质，相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定方法等知识点的综合运用，解决问题的关键是通过证三角形全等或相似来得出线段的相等或成比例．
第1小题只要能发现“双正方形”这个模型，根据全等三角形判定方法进行证明即可得出△BAE≌△DAG（SAS），进而得到DG＝BE．第2小题由于要求∠FCN 的度数，联系第3小题，可求tan∠FCN。

连接FC，并过F点作FH⊥MN于H点
由总统图形，可证△EFH≌△AEB，将FH转化到BE，（如图3），tan∠FCN=
，
由于四边形AEFG是正方形，可证△EFH≌△AGD，得到EH=AD=BC，从而得到
CH=BE，故tan∠FCN= = =1．第3小题将正方形改成矩形（如图4），由于四边形AEFG是矩形，可证△EFH≌△AGD，得到BE=AD=BC，从而得到CH=BE，
tan∠FCN= =，但△EFH与△AEB并不全等，无法将FH转化到BE，但
△EFH∽△AEB，可得 = =，tan∠FCN=．
图3 图4
第1小题是为第2小题服务的，而第2小题是为第3小题提供思路的．虽然图形从正方形改为矩形，但是解题的思路是一致的，由于线段的不等，从而将两个三角形的全等关系改为相似关系即可．
1.
不适用的情况
例4.已知点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC
（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB＝AC．
（2）如图2，若点O在△ABC内部，求证：AB＝AC．
（3）猜想，若O点在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？
第1小题中，如图3，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可证
Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），得∠B=∠C，所以AB=AC．
第2小题可仿照第1小题，如图4，过点O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，可
证Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），得∠OBE=∠OCF，再由OB=OC得∠OBC=∠OCB，从而
可得∠ABC=∠ACB，所以AB=AC．
第3小题很多学生会固定思维，在原来图1、图2的基础上将点O画在△ABC
的外部（如图5），再仿照第2小题的过程可得AB=AC．在图5的基础上，要使
OB＝OC，可使OB在OE的另一侧，得到图6，可证Rt△AOE≌Rt△AOF（HL），得AE=AF，故AB＞AC．
图3 图4 图5 图6
从例4我们可以发现不是所有的几何变式题都能用“复制、粘贴法”来解决，像只确定线段或角的数量关系，无法确定位置关系时，就需要分类讨论，不能照
搬照抄前面的过程．
《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求：通过对有关问题的探讨，了
解所学知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知识，发展学生
的应用意识和能力．灵活运用所学知识及方法，形成思维定向，进而实现用相同
的策略解决问题，这种探究和解决问题的过程其实正是数学核心素养在日常教学
中的落实与物化．
参考文献：
［1］中华人民共和国教育部制定．义务教育数学课程标准（2011年版）［M］。

北京：北京师范大学出版社，2012
［2］周阳，金康彪.核心素养背景下初中生数学推理能力的培养策略探究［J］.初中数学教与学，2019（4）:7-9
6。