山西省太原外国语学校2016届高三下学期3月月考数学试卷(理科)Word版含解析

2015-2016学年山西省太原外国语学校高三（下）3月月考数学
试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={x|≥0}，B={x|log2x＜2}，则（∁R A）∩B=（）
A．（0，3）B．（0，3]C．[﹣1，4] D．[﹣1，4）
2．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n
3．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则的值为（）
A．8 B．12 C．16 D．72
4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）
A．45 B．50 C．55 D．60
5．已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a
的值为（）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A． +πB． +2πC．2+πD．2+2π
7．某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选数学选修课，现数学选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有（）A．72种B．54种C．36种D．18种
8．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）
A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4
9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．B．C．D．
10．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；
②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）
A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（
11．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，
则下列不等式成立的是（）
A．3f（2）＜2f（3）B．3f（4）＜4f（3）C．2f（3）＜3f（4）D．f（2）＜2f（1）12．若函数y1=sin2x1﹣（x1∈[0，π]），函数y2=x2+3，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）
A．πB．C．D．
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为______．14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为______．15．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x∈[0，1]时，f （x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠﹣1恰有4个不同的根，则k的取值范围是______．
16．已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：
①f（x）为奇函数；②f（x）的一条对称轴为x=；
③f（x）的最小正周期为π；④f（x）在区间[﹣，]上单调递增；
⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．
其中正确说法的序号是______．
三、解答题（共5小题，共70分）
17．设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取得最大值时x的集合；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，b+c=2，求a
的最小值．
18．已知等比数列{a n}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，又数列{b n}满足b n=2log2a n
，S n
+1
是数列{b n}的前n项和
（1）求S n；
，都有成立，求正整数k的值．
（2）若对任意n∈N
+
19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等
2×2列联表，
“成绩与班级有关系”；（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．
参考公式与临界值表：K2=．
20．如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥P﹣ABFED，
且AP=，PB=．
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．
21．已知函数f（x）=k（x﹣1）e x+x2．
（Ⅰ）当时k=﹣，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；
（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；
（Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．
请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，[选修4-5：不等式选讲]
22．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长
度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．
（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．
2015-2016学年山西省太原外国语学校高三（下）3月月
考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合A={x|≥0}，B={x|log2x＜2}，则（∁R A）∩B=（）
A．（0，3）B．（0，3]C．[﹣1，4] D．[﹣1，4）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】求出集合A，B，利用集合的基本运算即可的结论．
【解答】解：集合A={x|≥0}=（﹣∞，﹣1）∪[3，+∞），
∴（∁R A）=[﹣1，3）
B={x|log2x＜2}，
∴，
∴B=（0，4），
∴（∁R A）∩B=（0，3）．
故选：A．
2．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）
A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n 【考点】命题的否定．
【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为：∀n∈N，2n≤2n．
故选：C．
3．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则的值为（）
A．8 B．12 C．16 D．72
【考点】等差数列的性质．
【分析】{a n}为等差数列，设首项为a1和公差为d，则已知等式就为a1与d的关系等式，所求式子也可用a1和d来表示．
【解答】解：∵{a n}为等差数列且a4+a6+a8+a10+a12=5a1+35d=120，
∴a1+7d=24，
∴=（a1+7d）=16．
故选：C．
4．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）．若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）
A．45 B．50 C．55 D．60
【考点】频率分布直方图．
【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．
【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，
在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，
每组数据的组距为20，
则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，
又∵低于60分的人数是15人，
则该班的学生人数是=50．
故选：B．
5．已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a
的值为（）
A．1 B．±1 C．2 D．±2
【考点】二项式定理．
=C5r•（）5﹣r•（）【分析】根据题意，有2n=32，可得n=5，进而可得其展开式为T r
+1
3•（a）3，
r，分析可得其常数项为第4项，即C
5
依题意，可得C53•（a）3=80，解可得a的值．
【解答】解：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n=32，
可得n=5，
=C5r•（）5﹣r•（）r，
则二项式的展开式为T r
+1
其常数项为第4项，即C53•（a）3，
根据题意，有C53•（a）3=80，
解可得，a=2；
故选C．
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
A． +πB． +2πC．2+πD．2+2π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，计算出底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．
【解答】解：由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与一个直三棱柱组合而成的几何体，∵圆柱的底面直径为2，高为2，
棱柱的底面是边长为2的等边三角形，高为2，
于是该几何体的体积为．
故选：C
7．某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选数学选修课，现数学选修课开有三个班，若每个班至多可再接收2名同学，那么不同的接收方案共有（）A．72种B．54种C．36种D．18种
【考点】计数原理的应用．
【分析】依题意，分两种情况讨论：①，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，②，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分别求出每类情况的分配方法的种数，由分类计数原理计算可得答案．
【解答】解：依题意，分两种情况讨论：
①，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，分配方案共有C31•C42•A22=36种，
②，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有C31•C42=18种；
因此，满足题意的不同的分配方案有36+18=54种．
故选：B．
8．若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）
A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4
【考点】基本不等式；对数的运算性质．
【分析】利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出
【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，
∴a＞0．b＞0
∵log4（3a+4b）=log2，
∴log4（3a+4b）=log4（ab）
∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0
∴＞0，
∴a＞4，
则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7
+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．
故选：D．
9．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）
A．B．C．D．
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图，它的作用是求+++…+的值，用裂项法进行求和，可得结果．
【解答】解：该程序框图的作用是求+++…+的值，
而+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=，故选：C．
10．称d（）=|﹣|为两个向量、间的“距离”．若向量、满足：①||=1；
②≠；③对任意的t∈R，恒有d（，t）≥d（，），则（）
A．B．⊥（）C．⊥（）D．（）⊥（
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】先作向量，从而，容易判断向量t的终点在直线OB上，
并设，连接AC，则有．从而根据向量距离的定义，可说明AB⊥OB，
从而得到．
【解答】解：如图，作，则，t∥，
∴向量t的终点在直线OB上，设其终点为C，则：
根据向量距离的定义，对任意t都有d（）=；
∴AB⊥OB；
∴．
故选：C．
11．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，
则下列不等式成立的是（）
A．3f（2）＜2f（3）B．3f（4）＜4f（3）C．2f（3）＜3f（4）D．f（2）＜2f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】依题意，f′（x）＜0，⇔＞0⇒[]′＜0，利用
h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数即可得到答案．
【解答】解：∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴f′（x）＜0，
又∵＞x，
∴＞0⇔＜0⇔[]′＜0，
设h（x）=，则h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，
∵＞x＞0，f′（x）＜0，
∴f（x）＜0．
∵h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴＞⇔＞0⇔2f（3）﹣3f（2）＞0⇔2f（3）＞3f（2），故A正
确；
由2f（3）＞3f（2）＞3f（4），可排除C；
同理可判断3f（4）＞4f（3），排除B；
1•f（2）＞2f（1），排除D；
故选A．
12．若函数y1=sin2x1﹣（x1∈[0，π]），函数y2=x2+3，则（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值为（）
A．πB．C．D．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】根据平移切线法，求出和直线y=x+3平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．
【解答】解：设z=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，
求函数y=sin2x﹣（x∈[0，π]）的导数，f′（x）=2cos2x，直线y=x+3的斜率k=1，
由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=，
即2x=，解得x=，此时y=six2x﹣=﹣=0，
即函数在（，0）处的切线和直线y=x+3平行，
则最短距离d=，
∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2=（）2=，
故选：B
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为﹣1．【考点】两条直线平行的判定．
【分析】利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求的m的值．
【解答】解：由于直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，
∴，∴m=﹣1，
故答案为﹣1．
14．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，且三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为3，则三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据棱柱的体积公式求得棱柱的侧棱长，再利用三棱柱的底面是直角三角形可得外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，从而求得外接球的半径R，代入球的表面积公式计算．
【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中侧棱垂直于底面，设侧棱长为H，
又三棱柱的底面为直角三角形，BC=1，∠BAC=30°，
∴AC=，AB=2，
∴三棱柱的体积V=××H=3，
∴H=2，
△ABC的外接圆半径为AB=1，
三棱柱的外接球的球心为上、下底面直角三角形斜边中点连线的中点O，如图：
∴外接球的半径R==2，
∴外接球的表面积S=4π×22=16π．
故答案为：16π．
15．已知函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），当x∈[0，1]时，f （x）=x，那么在区间[﹣1，3]内，关于x的方程f（x）=kx+k+1（k∈R）且k≠﹣1恰有4
个不同的根，则k的取值范围是（，）．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】根据条件求出函数f（x）的周期性和在一个周期内的解析式，利用函数与方程的关系，转化为两个函数的图象相交问题，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：∵当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴f（0）=0，
∵f（﹣x）=f（x），且f（x+2）=f（x）+f（2），
∴函数y=f（x）为偶函数，
令x=﹣2，则f（﹣2+2）=f（﹣2）+f（2）=f（0）=0，
即2f（2）=0，则f（2）=0，
即f（x+2）=f（x）+f（2）=f（x），
即函数f（x）是周期为2的周期数列，
若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]时，
此时f（﹣x）=﹣x=f（x），
∴f（x）=﹣x，x∈[﹣1，0]，
令y=kx+k+1，则化为y=k（x+1）+1，即直线y=k（x+1）+1恒过M（﹣1，1）．
作出f（x），x∈[﹣1，3]的图象与直线y=k（x+1）+1，
如图所示，由图象可知当直线介于直线MA与MB之间时，
关于x的方程f（x）=kx+k+1恰有4个不同的根，
又∵k MA=0，k MB=，
∴＜k＜0．
故答案为：（，0）．
16．已知函数f（x）=|cosx|•sinx，给出下列四个说法：
①f（x）为奇函数；②f（x）的一条对称轴为x=；
③f（x）的最小正周期为π；④f（x）在区间[﹣，]上单调递增；
⑤f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称．
其中正确说法的序号是①②④．
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】先化简函数解析式，根据函数的奇偶性判断①；根据诱导公式化简f（π﹣x）后，得到与f（x）的关系可判断②；根据函数周期性的定义判断③；由二倍角公式化简，再根据正弦函数的单调性判断④；根据诱导公式化简f（﹣π﹣x）后，得到与﹣f（x）的关系可判断⑤．
【解答】解：函数f（x）=|cosx|•sinx=（k∈Z），
①、f（﹣x）=|cos（﹣x）|•sin（﹣x）=﹣|cosx|•sinx=﹣f（x），
则f（x）是奇函数，①正确；
②、∵f（π﹣x）=|cos（π﹣x）|•sin（π﹣x）=|﹣cosx|•sinx=f（x），
∴f（x）的一条对称轴为x=，②正确；
③、∵f（π+x）=|cos（π+x）|•sin（π+x）=|﹣cosx|•（﹣sinx）=﹣f（x）≠f（x），
∴f（x）的最小正周期不是π，③不正确；
④、∵x∈[﹣，]，∴f（x）=|cosx|•sinx=sin2x，且2x∈[，]，
∴f（x）在区间[﹣，]上单调递增，④正确；
⑤、∵f（﹣π﹣x）=|cos（﹣π﹣x）|•sin（﹣π﹣x）=|﹣cosx|•sinx=f（x）≠﹣f（x），
∴f（x）的图象不关于点（﹣，0）成中心对称，⑤不正确；
故答案为：①②④．
三、解答题（共5小题，共70分）
17．设函数f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x．
（1）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取得最大值时x的集合；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B+C）=，b+c=2，求a
的最小值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
【分析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+1，由三角函数的最值可得；
（2）解2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可得单调递增区间；
（3）由（2）和f（B+C）=可得角A=，由余弦定理和基本不等式可得．
【解答】解：（1）由三角函数公式化简可得
f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x
=cos2xcos+sin2xsin+2cos2x
=﹣cos2x﹣sin2x+1+cos2x
=cos2x﹣sin2x+1
=cos（2x+）+1，
当2x+=2kπ即x=kπ﹣（k∈Z）时，f（x）取得最大值2，
此时x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}；
（2）由2kπ+π≤2x+≤2kπ+2π可解得kπ+≤x≤kπ+，
∴f（x）的单调递增区间为[得kπ+，kπ+]，k∈Z；
（3）由（2）可得f（B+C）=cos（2B+2C+）+1=，
∴cos（2B+2C+）=，由角的范围可得2B+2C+=，
变形可得B+C=，A=，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc
=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc≥4﹣3（）2=1
当且仅当b=c=1时取等号，故a的最小值为1
18．已知等比数列{a n}是递增数列，a2a5=32，a3+a4=12，又数列{b n}满足b n=2log2a n
，S n
+1
是数列{b n}的前n项和
（1）求S n；
，都有成立，求正整数k的值．
（2）若对任意n∈N
+
【考点】等差数列与等比数列的综合；等比数列的性质．
【分析】（1）运用等比数列的性质和通项，可得数列{a n}的通项公式，再由对数的运算性质，可得数列{b n}的通项公式，运用等差数列的求和公式，可得S n；
（2）令，通过相邻两项的差比较可得{C n}的最大值，即可得到结论．
【解答】解：（1）因为a2a5=a3a4=32，a3+a4=12，且{a n}是递增数列，
所以a3=4，a4=8，所以q=2，a1=1，所以；
所以．
所以．
（2）令，
则．
所以当n=1时，c1＜c2；
当n=2时，c3=c2；
﹣c n＜0，即c3＞c4＞c5＞…．
当n≥3时，c n
+1
所以数列{c n}中最大项为c2和c3．
所以存在k=2或3，使得对任意的正整数n，都有．
19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等1201202×2列联表，
“成绩与班级有关系”；
（2）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9
号或10号的概率．
参考公式与临界值表：K2=．
【分析】（1）利用公式，求出K2，查表得相关的概率为99%，即可得出结论；
（2）所有的基本事件有：6×6=36个，抽到9号或10号的基本事件有7个，即可求抽到9号或10号的概率．
【解答】解：（1）假设成绩与班级无关，则K2=≈7.5
则查表得相关的概率为99%，故没达到可靠性要求．…
（2）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，．
所有的基本事件有：6×6=36个．…
事件A包含的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）、（6，4）共7个
所以P（A）=，即抽到9号或10号的概率为．…
20．如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥P﹣ABFED，
且AP=，PB=．
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B﹣AP﹣O的正切值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）证明PO⊥BD，AO⊥BD，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明即可；（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B﹣AP﹣O的正切值．【解答】证明：（1）因为平面PEF⊥平面ABD，平面PEF∩平面ABD=EF，PO⊂平面PEF，∴PO⊥平面ABD
则PO⊥BD，又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO⊂平面APO，PO⊂平面APO，
∴BD⊥平面APO，
（2）以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立坐标系，
则O（0，0，0），A（3，0，0），P（0，0，），B（，2，0），…
设=（x，y，z）为平面OAP的一个法向量，
则=（0，1，0），=（x，y，z）为平面ABP的一个法向量，
=（﹣2，2，0），=（﹣3，0，），
则，得，
令x=1，则y=，z=3，
则=（1，，3）…．
cosθ==，
∴tanθ=…..
21．已知函数f（x）=k（x﹣1）e x+x2．
（Ⅰ）当时k=﹣，求函数f（x）在点（1，1）处的切线方程；
（Ⅱ）若在y轴的左侧，函数g（x）=x2+（k+2）x的图象恒在f（x）的导函数f′（x）图象的上方，求k的取值范围；
（Ⅲ）当k≤﹣l时，求函数f（x）在[k，1]上的最小值m．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）e x+x2，得f′（x）=x（2﹣e x﹣1），从而求出函数f（x）在（1，1）处的切线方程；
（Ⅱ）f′（x）=kx（e x+）＜x2+（k+2）x，即：kxe x﹣x2﹣kx＜0，令h（x）=ke x﹣x﹣k，讨论当k≤0时，当0＜k≤1时，当k＞1时，从而综合得出k的范围；
（Ⅲ）f′（x）=kx（e x+），令f′（x）=0，得：x1=0，x2=ln（﹣），令g（k）=ln（﹣）
﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，得g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，讨论当﹣2＜k≤﹣1时，当k=﹣2时，当k＜﹣2时的情况，从而求出m的值．
【解答】解：（Ⅰ）k=﹣时，f（x）=﹣（x﹣1）e x+x2，
∴f′（x）=x（2﹣e x﹣1），∴f′（1）=1，f（1）=1，
∴函数f（x）在（1，1）处的切线方程为y=x，
（Ⅱ）f′（x）=kx（e x+）＜x2+（k+2）x，
即：kxe x﹣x2﹣kx＜0，
∵x＜0，∴ke x﹣x﹣k＞0，
令h（x）=ke x﹣x﹣k，
∴h′（x）=ke x﹣1，
当k≤0时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，
当0＜k≤1时，h（x）在x＜0时递减，h（x）＞h（0）=0，符合题意，
当k＞1时，h（x）在（﹣∞，﹣lnk）递减，在（﹣lnk，0）递增，
∴h（﹣lnk）＜h（0）=0，不合题意，
综上：k≤1．
（Ⅲ）f′（x）=kx（e x+），
令f′（x）=0，解得：x1=0，x2=ln（﹣），
令g（k）=ln（﹣）﹣k，则g′（k）=﹣﹣1≤0，
g（k）在k=﹣1时取最小值g（﹣1）=1+ln2＞0，
∴x2=ln（﹣）＞k，
当﹣2＜k≤﹣1时，x2=ln（﹣）＞0，
f（x）的最小值为m=min{f（0），f（1）}=min{﹣k，1}=1，
当k=﹣2时，函数f（x）在区间[k，1]上递减，m=f（10=1，
当k＜﹣2时，f（x）的最小值为m=min{f（x2），f（1）}，
f（x2）=﹣2[ln（﹣）﹣1]+[ln（﹣）]2=﹣2x2+2＞1，f（1）=1，
此时m=1，
综上：m=1．
请考生在（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，[选修4-5：不等式选讲]
22．已知函数f（x）=|x+1|+2|x﹣1|．
（Ⅰ）解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】带绝对值的函数．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，写出分段函数，即可解不等式f（x）＜4；
（Ⅱ）不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（I）．…
当x≤﹣1时，由﹣3x+1＜4得x＞﹣1，此时无解；
当﹣1＜x≤1时，由﹣x+3＜4得x＞﹣1，∴﹣1＜x≤1；
当x＞1时，由3x﹣1＜4得，∴．…
综上，所求不等式的解集为．…
（II）由（I）的函数解析式可以看出函数f（x）在（﹣∞，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，故f（x）在x=1处取得最小值，最小值为f（1）=2，…
不等式f（x）≥|a+1|对任意的x∈R恒成立等价于|a+1|≤2，
即﹣2≤a+1≤2，解得﹣3≤a≤1，故a的取值范围为{a|﹣3≤a≤1}．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长
度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）．
（I）求C的直角坐标方程，l的参数方程；
（Ⅱ）直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|+|EB|．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），把代入即可得出；
由斜率为的直线l交y轴于点E（0，1）即可得出直线的参数方程．
（II）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，利用根与系数的关系、直
线参数的意义即可得出．
【解答】解：（Ⅰ）由ρ=2（cosθ+sinθ），得ρ2=2（ρcosθ+ρsinθ），
即x2+y2=2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．
l的参数方程为（t为参数，t∈R），
（Ⅱ）将代入（x﹣1）2+（y﹣1）2=2得t2﹣t﹣1=0，
解得，t1=，t2=．
则|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|=．
2016年10月9日。