2011-2012第二学期微积分期中考试试卷参考答案_7481_1628_20120411115551

北 京 交 通 大 学
2011-2012学年第二学期《微积分》期中考试试卷
考试方式： 闭卷 任课教师：
学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________
请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 设函数()21,
0,0,
y x f x y ⎧<<=⎨
⎩其它
，则(),f x y 在()0,0点 B 。

（A ）连续，且可偏导。

（B ）沿任何方向的方向导数都存在。

（C ）可微，且()0,00.df =（D ）(),x f x y 和(),y f x y 在()0,0点连续。

2. 设有三元方程ln 1.xy
xy z y e -+=由多元隐函数存在定理，在()0,1,1的某邻域内，该
方程 A 。

（A ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =。

（B ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),.z z x y = (C) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =。

（D ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),.z z x y = 3.设函数()f u 具有二阶连续导数，且()()'
0,00,f u f
>=则函数()()ln z f x f y =在
点()0,0处取得极大值的一个充分条件是 D 。

（A ）()()"01,00.f f << （B ）()()"01,00.f f >> （C ）()()"01,00.f f <> （D ）()()"01,00.f f ><
4.单位圆域221x y +≤被直线y x =±划分为四个区域()1,2,3,4,k D k =1D 是完全位于
y 轴右侧的那个区域，按逆时针依次排列为1234,,,D D D D ，记cos k
k D I x ydxdy =⎰⎰，则
{}14
max k k I ≤≤等于 A 。

（A ）1.I （B ）2.I （C ）3.I （D ）4.I 5.二重积分
()
222
1
1x y x dxdy +≤-⎰⎰等于 B 。

（A ）3.4
π（B ）5.4
π（C ）3.2
π（D ）5.2
π 二、填空题（每小题3分，共15分）
1. 极限()222
00
sin lim
x y x y x y →→=+ 0 .
2. 设函数()f t 可导，且()'2 1.f e =又()()
,,y
u x y f x =则(),2e du =22edx e dy +.
3. 曲线222
2
24
z x y x y z ⎧+=
⎪⎨⎪++=⎩
在点()1,1,2-处的切线方程为112.132x y z -+-==- 4．交换二次积分的次序：
()(
)
(
)1
2
211
,,y dy f x y dx dy f x y dx -+=
⎰⎰(
)2
12
,.x dx f x y dy -
⎰
5．设函数(),f x y 连续，且()(),,,D
f x y x y
f x y dxdy =+⎰⎰其中D 是由直线1,0
x y ==和y x =所围成的有界闭区域，则
(),D
f x y dxdy =⎰⎰
2
.5
三、（本题8分） 设函数(),f
x y 具有一阶连续偏导数，且()()()1,11,1,1,1,1,
x y f f a f b ===又
()()(),,,x f x f x x ϕ=求()1ϕ及()'1.ϕ
解：()()()
()11,1,11,1 1.f f f ϕ===
()()()()()()()()'''''1212,,,,,,1.x f x f x x f x f x x f x x f x x ϕ=++⋅
所以
()()()()()()()()
()()()()()'''''1212211,1,11,1,11,11,111,11,11,11,1.
x y x y f f f f f f f f f f a ab b ϕ=++⋅=++=++
四、计算下列积分（每小题10分，共20分） 1.
计算)}
221min ,D
I x y dxdy =+⎰⎰其中22: 4.D x y +≤
解：
}
(
)
2123
1
min
.2
D
I rdrd d dr π
θθ
==+=
⎰⎰⎰⎰
⎰
2. 计算()2
2,I ax by cz dxdydz Ω
=++⎰⎰⎰其中Ω为椭球体222
222 1.x y z a b c ++≤
解：
()()22222222
2
2
2
22
222.
I a x b y c z abxy acxz bcyz dxdydz
a x
b y
c z dxdydz Ω
Ω=+++++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
222
22
2
22
2
2
3214
1.15c
c
c c x y z a b c z z dxdydz z dz dxdy abz dz abc c ππ--Ω+≤-
⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
由对称性，
2
323
4
,15
4.15x dxdydz a bc y dxdydz ab c ππΩ
Ω
=
=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
所以()44424
.15
I abc a b c π=
++ 五、应用题（每小题8分，共16分）
1.设物体占据
1,z Ω≤其体密度为,z
e 求此物体的质量。

解：()()2
22
1
1
20
12.z
z
z x y z m e dxdydz e dz
dxdy z e dz e ππΩ
+-≤=
===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰
2.求柱面2
2
1x z +=介于平面0y =和2x y +=
之间部分曲面的面积。

解：上半柱面为z =
=于是
1
20
11,
021
1
2
2284.
x
x y S dxdy dy
π---≤≤≤≤--=====⎰⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
六、（每小题10分，共20分）
1.设s =函数()(),,u x y f s =其中()f s 具有二阶连续导数，
（1）把2222u u
u x y
∂∂∆=+∂∂表示成s 的函数.
（2）若u 满足方程(
)
3
2
22
,u x y -∆=+求函数()f s 。

解：（
1）()221ln
ln ,2s x y ==
+所以2222
,,s x s y x x y y x y ∂∂==∂+∂+于是 ()()()()()
2222'"'
222222222,.u x u x y x f s f s f s x x y x x y x y ∂∂-==+∂+∂++
由对称性，()()()()
2222"'
2222222.u y x y f s f s y x y x y ∂-=+∂++
所以()()22""22222
1
.s u u u f s f s e x y x y
-∂∂∆=+==∂∂+ （2）()()
3
"
22
232
,s
s f
s e
x y
e ---=+=
所以()()()"'112,,.s s s f s e f s e C f s e C s C ---==-+=++ 2.在曲线4
12
y x =
上求一点P ，使P 到直线220x y --=的距离最短，并求此最短距离。

解：(),P x y 到直线220x y --=
，所以构造拉格朗日函数
()()()2
4,,222F x y x y x y λλ=--+-，
由()()3
442240,22220,20.F x y x x F
x y y
F
x y λλλ
⎧∂=--+=⎪∂⎪
∂⎪=----=⎨∂⎪⎪∂=-=⎪∂⎩得11,.2x y ==此即为所求点P ，它到直线
220x y --=
七、证明题（6分）
设函数(),f x y 在全平面内可微，且满足方程0,f f x y x y
∂∂+=∂∂证明：(),f x y 恒为常数。

证明：令()(),g t f tx ty =，则()g t 可导，且
()()()()()''12'''
12,,,,0,0.txf tx ty tyf tx ty g t xf tx ty yf tx ty t t
+=+==≠所以()g t 为常值
函数，由()()10,g g =得()(),0,0f x y f =，所以(),f x y 恒为常数。