2017-2018学年高一数学北师大版必修4教师用书：第2章

§6 平面向量数量积的坐标表示
1．掌握数量积的坐标表达式．(重点)
2．能用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系．(重点) 3．了解直线的方向向量的概念．(难点)
[基础·初探]
教材整理 平面向量数量积的坐标表示 阅读教材P 98～P 99，完成下列问题． 1．平面向量数量积的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；
(2)a 2＝x 21＋y 21，即|a |
(3)设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝ (4)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．直线的方向向量
给定斜率为k 的直线l ，则向量m ＝(1，k )与直线l 共线，我们把与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．( )
(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1
)2.( )
(3)两向量a 与b 的夹角公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22
的使用范围是a ≠0且b ≠0.( )
【解析】 (1)错误．如a ＝(－1，－1)，b ＝(2,2)，显然cos θ＝a ·b
|a |·
|b |＜0，但a 与b 的夹角是180°，而并非钝角．
(2)正确.AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，所以|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.
(3)正确．两向量a 与b 的夹角公式cos θ＝
x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22
有意义需x 21＋x 2
2≠0且y 2
1＋y 22≠0，即a ≠0，且b ≠0.此说法是正确的．
【答案】 (1)× (2)√ (3)√
[小组合作型]
(1)求向量a 的坐标； (2)若c ＝(2，－1)，求(a ＋c )·b .
【精彩点拨】 根据a 与b 共线设出a 的坐标，再利用数量坐标运算公式构建方程求得a 的坐标，进而求(a ＋c )·b.
【自主解答】 (1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ＞0)．
又∵a·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)法一：a ＋c ＝(4,3)，∴(a ＋c )·b ＝4＋6＝10. 法二：(a ＋c )·b ＝a·b ＋c·b ＝10＋0＝10.
进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径：
(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算；
(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.
[再练一题]
1．已知向量a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求：
(1)(2a－3b)·(a＋2b)；
(2)(a＋b)2.
【导学号：69992025】【解】法一：(1)∵2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝(－10,5)，
a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)，
∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－160－40＝－200.
(2)∵a＋b＝(10，－5)，
∴(a＋b)2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125.
法二：由已知可得：a2＝20，b2＝45，a·b＝30.
(1)(2a－3b)·(a＋2b)
＝2a2＋a·b－6b2
＝2×20＋30－6×45＝－200.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝20＋60＋45＝125.
已知
(1)求|a＋2b|；
(2)若(a＋b)·c＝5
2，求向量a与c的夹角．
【精彩点拨】(1)利用|a|＝x21＋y21求解．
(2)利用cos θ＝
x1x2＋y1y2
x21＋y21·x22＋y22
求解．
【自主解答】(1)a＋2b＝(1,2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6)，∴|a＋2b|＝(－3)2＋(－6)2＝3 5.
(2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1,2)＝－2a，
∴a＋b＝－a，
∴(a＋b)·c＝－a·c＝5 2.
设a与c的夹角为θ，
则cos θ＝a·c
|a||c|＝
－
5
2
5×5
＝－
1
2.
∵0≤θ≤π，∴θ＝2
3π，
即a与c的夹角为2 3π.
1．已知向量的坐标求向量的模(长度)时，可直接运用公式|a|＝x2＋y2进行计算．
2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为：
(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积；
(2)再求出两向量的模；
(3)由公式cos θ＝
a·b
|a||b|，计算cos θ的值；
(4)在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ.
[再练一题]
2．已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：
(1)a与b的夹角为直角；
(2)a与b的夹角为钝角；
(3)a与b的夹角为锐角．
【解】a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，所以cos θ＝0，
所以a·b＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－1 2.
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ＜0，且cos θ≠－1，
所以a·b ＜0，且a 与b 不反向． 由a·b ＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－12， 由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向． 所以λ的取值范围为⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－12.
(3)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ＞0，且cos θ≠1， 所以a·b ＞0且a ，b 不同向．
由a·b ＞0，得λ＞－1
2，由a 与b 同向得λ＝2. 所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，2∪(2，＋∞)．
[探究共研型]
探究1 【提示】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，由向量长度的
坐标表示可得|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1
)2. 探究2 求向量的坐标一般采用什么方法？ 【提示】 一般采用设坐标、列方程的方法求解．
设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 的坐标和模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |.
【精彩点拨】 (1)将已知向量的坐标代入运算即可．(2)利用a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求得c 的坐标表示，然后求模．
【自主解答】 (1)a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)， 所以a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， |a －2b |＝72＋32＝58.
(2)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝－6＋5＝－1，
所以c ＝a ＋b ＝(1,6)，所以|c |＝12＋62＝37.
求向量的模的两种基本策略
1．字母表示F 的运算
利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． 2．坐标表示F 的运算
若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2， 于是有|a |＝x 2＋y 2.
[再练一题]
3．(1)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则|2a ＋3b |＝ . (2)已知|a |＝10，b ＝(1,2)，且a ∥b ，求a 的坐标．
【解析】 (1)因为a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，a ∥b ，所以1×m －2×(－2)＝0， 所以m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)， 所以|2a ＋3b |＝(－4)2＋(－8)2＝4 5. 【答案】 4 5
(2)设a 的坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨⎧
2x －y ＝0，x 2＋y 2＝10，
解得⎩⎨⎧ x ＝25，y ＝45或⎩⎨⎧
x ＝－25，
y ＝－45，
所以a ＝(25，45)或a ＝(－25，－45)．
1．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,2)，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【解析】 a ·b ＝(1,1)·(－1,2)＝1×(－1)＋1×2＝1. 【答案】 A
2．已知a ＝(－3，－1)，b ＝(1，3)，那么a ·b 的夹角θ＝( )
【导学号：66470057】
A ．120°
B ．30°
C ．150°
D ．60°
【解析】因为a·b＝(－3，－1)·(1，3)＝－23，|a|＝(－3)2＋(－1)2＝2，|b|＝12＋(3)2＝2.
所以cos θ＝a·b
|a|·|b|＝－23
2×2
＝－
3
2.
又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.
【答案】 C
3．已知a＝(2,3)，b＝(－2,4)，则(a＋b)·(a－b)＝. 【解析】法一：a＋b＝(0,7)，a－b＝(4，－1)，
所以(a＋b)(a－b)＝0×4＋7×(－1)＝－7.
法二：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝13－20＝－7.
【答案】－7
4．已知a＝(1，x)，b＝(－3,1)，若a⊥b，则x＝. 【解析】∵a⊥b，
∴－3＋x＝0，
∴x＝3.
【答案】 3
5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)·a；
(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b方向上的射影．
【解】(1)∵c＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)，
∴b·c＝(2，－2)·(6,6)
＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0·a＝0.
(2)∵a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)
＝(1＋2λ，2－2λ)，
∵(a＋λb)⊥a，
∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，
得λ＝5 2.
(3)法一：设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a·b
|a||b| ＝
1×2＋2×(－2)12＋22×22＋(－2)2
＝－
10
10. ∴向量a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝12＋22·
⎝ ⎛⎭⎪⎫
－1010＝－22. 法二：∵a·b ＝(1,2)·(2，－2) ＝－2，|b |＝2 2.
∴向量a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝a·b |b|＝－2
22＝－22.。