高考数学压轴专题人教版备战高考《坐标系与参数方程》全集汇编及答案解析

高考数学《坐标系与参数方程》课后练习
一、13
1．设x 、y 满足223412,x y +=则2x y +的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
【答案】C 【解析】 【分析】
由2
2
3412x y +=得出22
143
x y +=，表示椭圆，写出椭圆的参数方程，利用三角函数求
2x y +的最大值.
【详解】
由题可得：22
143x y +=
则2cos (x y θθθ
=⎧⎪⎨
=⎪⎩为参数），
有22cos x y θθ+=+
14sin 22con θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
4sin 6πθ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
. 因为1sin 16πθ⎛⎫
-≤+
≤ ⎪⎝
⎭
， 则： 44sin 46πθ⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭，
所以2x y +的最大值为4. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查与椭圆上动点有关的最值问题，利用椭圆的参数方程，转化为三角函数求最值.
2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数），直线l
的方程为4x y +=，则曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值是（ ） A
B
C ．1
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
设曲线C
上任意一点的坐标为)
,sin
θθ，利用点到直线的距离公式结合辅助角公
式可得出曲线C上的点到直线l的距离的最小值.【详解】
设曲线C
上任意一点的坐标为)
,sin
θθ，
所以，曲线C上的一点到直线l
的距离为
d=
=
42sin
π
θ⎛⎫
-+
⎪
=
当()
2
32
k k Z
ππ
θπ
+=+∈时，d
取最小值，且min
d== B.
【点睛】
本题考查椭圆参数方程的应用，考查椭圆上的点到直线距离的最值问题，解题时可将椭圆上的点用参数方程表示，利用三角恒等变换思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.
3．在极坐标系中，曲线1C的极坐标方程为2sin
ρθ
=，曲线
2
C
的极坐标方程为
ρθ
=，若曲线1C与2C交于A、B两点，则AB等于（）
A．1B
C．2D
．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可知曲线1
C与
2
C交于原点和另外一点，设点A为原点，点B的极坐标为
()()
,0,02
ρθρθπ
>≤<，联立两曲线的极坐标方程，解出ρ的值，可得出ABρ
=，即可得出AB的值.
【详解】
易知，曲线1
C与
2
C均过原点，设点A为原点，点B的极坐标为
()()
,0,02
ρθρθπ
>≤<，
联立曲线1
C与
2
C
的坐标方程
2sin
ρθ
ρθ
=
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
，解得3
π
θ
ρ
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，因此，ABρ
==
故选：B.
【点睛】
本题考查两圆的相交弦长的计算，常规方法就是计算出两圆的相交弦方程，计算出弦心距，利用勾股定理进行计算，也可以联立极坐标方程，计算出两极径的值，利用两极径的差来计算，考查方程思想的应用，属于中等题.
4．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l 的参数方程是1
3
x t y t =+⎧⎨
=-⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程
是4cos ρθ=，则直线l 被圆C 截得的弦长为（ ） A
B
．
C
D
．【答案】D 【解析】 【分析】
先求出直线和圆的普通方程，再利用圆的弦长公式求弦长. 【详解】
由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4， 圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 圆心到直线l 的距离d
=，
直线l 被圆C 截得的弦长为
= 【点睛】
(1)本题主要考查参数方程极坐标方程与普通方程的互化，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)
求直线和圆相交的弦长，一般解直角三角形，利用公式
||AB =.
5．已知曲线T
的参数方程1x k
y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（k 为参数），则其普通方程是（）
A ．221x y +=
B ．()22
10x y x +=≠ C
．00
x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩
D
．y =0x ≠)
【答案】C 【解析】 【分析】 由已知1x k =得1
k x
=代入另一个式子即可消去参数k ，要注意分类讨论。

【详解】
由题意1x k =Q 1k x ∴=
代入y =
y =
y ∴=①当0x >
时y ∴=②当0x <
时y ∴=
综上0
x y x ⎧>⎪=⎨<⎪⎩
故选：C 【点睛】
本题考查曲线的普通方程的求法，考查直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想及分类讨论思想，是基础题．
6．将正弦曲线sin y x =先保持纵坐标y 不变，将横坐标缩为原来的
1
2
；再将纵坐标y 变为原来的3倍，就可以得到曲线3sin 2y x =，上述伸缩变换的变换公式是（ ）
A ．1'2'3x x y y ⎧
=⎪⎨⎪=⎩
B ．'2'3x x
y y
=⎧⎨
=⎩
C ．'21'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
D ．1'21'3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
【答案】A 【解析】 【分析】
首先设出伸缩变换关系式，把伸缩变换关系式代入变换后的方程，利用系数对应相等，可得答案。

【详解】
解：由sin y x =变成3sin 2y x =''
设伸缩变换为(,0)x x
y y λλμμ'=⎧>⎨
'=⎩
，代入3sin 2y x =''，得3sin 2y x μλ=，又因为sin y x =，则312μλ=⎧⎪
⎨=⎪⎩
，得123x x y y ⎧
'=⎪⎨
⎪'=⎩，故选A 。

【点睛】
本题主要考查平面直角坐标系的伸缩变换。

7．将点的直角坐标(-化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标是（ ）
A ．24,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．54,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．6π⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．3π⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
由P 点的直角坐标(-，可得tan y
x
ρθ==
，再利用P 点在第二象限且极角在0到2π之间即可求. 【详解】
解：∵点P 的直角坐标(-，
∴4ρ=
=
=，tan 2
y x θ=
==- 又点P 在第二象限，极角θ在0到2π之间，∴23
πθ=． ∴满足条件的点P 的极坐标为24,3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
． 故选：A ． 【点睛】
考查直角坐标和极坐标的互化. 极坐标概念：点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，记为(,)M ρθ.
8．已知点N 在圆224x y +=上，()2,0A -，()2,0B ，M 为NB 中点，则sin BAM ∠的最大值为（ ）
A ．
12
B ．
13
C D 【答案】B 【解析】 【分析】
设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+先求出AM 的斜率的最大值，再得出sin NAM ∠的最大值． 【详解】
解：设(2cos ,2sin )N αα，则(1cos ,sin )M αα+，
sin 0sin tan 1cos 2cos 3BAM αααα-∠=
=+++…
，
1sin 3
BAM ∴∠…
， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．
9．将直线1x y -=变换为直线326x y -=的一个伸缩变换为（ ）
A ．23x x y y ''=⎧⎨=⎩
B ．32x x
y y ''=⎧⎨=⎩
C ．1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
D ．1213x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩
【答案】A 【解析】 【分析】
设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x a
y y b ⎧=⎪⎪⎨=''
⎪⎪⎩
，代入直线1x y -=的方程，变换后的方程与直线326x y -=的一致性，即可求解． 【详解】
由题意，设伸缩变换的公式为(0,0)x ax a b y by =⎧>>⎨⎩'='，则11x x a
y y b ⎧
=⎪⎪⎨=''
⎪⎪⎩
代入直线1x y -=的方程，可得11
1x y a b
''-=， 要使得直线11
1x y a b
''-=和直线326x y -=的方程一致， 则
112a =且11
3
b =，解得2,3a b ==， 所以伸缩变换的公式为23x x
y y ''=⎧⎨=⎩
，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了图形的伸缩变换公式的求解及应用，其中解答中熟记伸缩变换公式的形式，代入准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．如图，扇形的半径为1，圆心角150BAC ∠=︒，点P 在弧BC 上运动，
AP mAB nAC =+u u u v u u u v u u u v
，则3m n
-的最大值是（）
A ．1
B ．3
C ．2
D ．23
【答案】C 【解析】 【分析】
以A 为原点可建立坐标系，设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o o ；根据AP mAB nAC
=+u u u v u u u v u u u v
可求得cos 3sin 2sin m n θθθ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩，从而得到()
32sin 60m n θ-=+o
，利用三角函数值域求
解方法可求得结果. 【详解】
以AB 为x 轴，以A 为原点，建立坐标系，如下图所示：
设()cos ,sin P θθ，0150θ≤≤o
o
，则()0,0A ，()10B ,，312C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
()cos ,sin AP θθ∴=u u u v ，()1,0AB =u u u v ，3122AC ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v
AP mAB nAC
=+u u u v u u u v u u u v Q 3
cos 1sin 2m n n
θθ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩
，解得：cos 32sin m n θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ()33sin 2sin 60m n θθθ∴-=+=+o 0150θ
≤≤o
o
Q 6060210θ∴≤+≤o o o ()1
sin 6012
θ∴-
≤+≤o 132m n ∴-≤-≤3m n -的最大值为2
本题正确选项：C 【点睛】
本题考查利用圆的参数方程求解最值的问题，关键是能够建立坐标系，利用圆的参数方程将问题转化为三角函数最值的求解问题.
11．在极坐标系中，曲线4sin 6πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
关于（ ） A ．直线3
π
θ=对称
B ．直线6
π
θ=
对称
C ．点2,
6π⎛⎫
⎪⎝
⎭
对称 D ．极点对称
【答案】A 【解析】 【分析】 由4sin 6πρθ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，得直角坐标方程：22
2230x x y y -+-= ，圆心为()
1,3 ，又因为直线3
π
θ=即：3y x = 过点()
1,3，由此便可得出答案.
【详解】
由曲线4sin 6πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即：2
4sin 6πρρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩
，化简得曲线的直角坐标方程：222230x x y y -+-= ，故圆心为()
1,3 . 又因为直线3
π
θ=,直角坐标方程为：3y x = ，直线3y x =过点()
1,3，故曲线关于
直线3
π
θ=
对称
故选：A. 【点睛】
本题主要考查曲线及直线的极坐标方程与直角坐标方程的转化，以及圆关于过圆心的直线对称的知识，属于中等难度题目.
12．曲线1cos {
2sin x y θ
θ
=-+=+，（θ为参数）的对称中心（ ）
A ．在直线2y x =上
B ．在直线2y x =-上
C ．在直线1y x =-上
D ．在直线1y x =+上
【答案】B 【解析】
试题分析：参数方程
所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对
称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.
考点：圆的参数方程，圆的对称性，点与直线的位置关系，容易题.
13．在平面直角坐标系中，O 为原点，()1,0A -，(03B ，,()30C ，
，动点D 满足1CD =u u u r
, 则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的取值范围是（ ）
A ．[]
46，
B ．19-119+1⎡⎤⎣⎦，
C ．2327⎡⎣，
D ．7-17+1⎤⎦，
【答案】D 【解析】
试题分析：因为C 坐标为()
3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则
D 满足参数方程3cos {
sin D D x y θθ
=+=(θ为参数且[
)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈,
则()
()
2
2
3cos 1sin 3
OA OB OD θθ++=
+-++u u u r u u u r u u u r
()
822cos 3sin θθ=++
因为2cos 3θθ+的取值范围为()
()
2
2
2
2
23,237,7⎡⎡⎤-+
+
=-⎢⎣⎦⎣
()
2
8271717+=
+=()
2
8271771-=
-=,所以
OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r
的取值范围为827,827771⎡⎡⎤-+=⎣
⎦⎢⎣,故选D.
考点：参数方程 圆 三角函数
14．圆心在(1,0)且过极点的圆的极坐标方程为 A ．1ρ= B ．cos ρθ= C ．2cos ρθ= D ．2sin ρθ=
【答案】C 【解析】
由题意知圆的极坐标方程为221rcos cos ρθθ==⨯⨯，即2cos ρθ=．故选C ．
15．在极坐标系中，圆cos()3
π
ρ=θ+的圆心的极坐标为（ ）
A ．1(,)2
3
π-
B ．1(,
)23
π
C ．(1,)3
π-
D ．(1,)3
π
【答案】A 【解析】
由圆cos()3
πρ=θ+，化为21(cos )22ρρθθ=-，∴22122
x y x y +=-，
化为221
1()(44
x y -+=，
∴圆心为1
(,4
，半径r=12．
∵tan α=3
π-
， ∴圆cos()3
πρ=θ+的圆心的极坐标为1(,)2
3
π-． 故选A ．
16．在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t α
α
=⎧⎨
=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<，
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:C ρθ=，
3:cos C ρθ=，若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，则线段||AB 的最大值为
（ ）
A B ．2
C ．1
D ．【答案】B 【解析】 【分析】
首先将曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤<转化为极坐标方程为
()
,0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，再通过联立1C 与2C 得)
A
αα,，联立1
C 与3C 得到()cos ,B αα，进而利用弦长公式和辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论． 【详解】
曲线1cos :sin x t C y t α
α
=⎧⎨=⎩的极坐标方程为(),0R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<，
因此得到A 的极坐标为
)
αα,，B 的极坐标为()cos ,αα． 所以
sin 2sin 3=AB πααα⎛⎫-- ⎪⎝
⎭ ， 当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为2．故选：B ．
【点睛】
本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．
17．过椭圆C
：2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则
11m n +的值为（） A ．23 B ．43 C ．83 D ．不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】
消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得
11m n
+的值. 【详解】 消去参数得到椭圆的普通方程为22
143
x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα
=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα
+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=
1212
t t t t -===⋅43
.故选B. 【点睛】
本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
18．已知实数x ，y 满足2212
x y +≤，则2222267x y x y x +-++-+的最小值等于
（ ）
A ．
5
B ．
7 C
- D ．9-
【答案】D
【解析】
【分析】
设x θ=
，sin y θ=，去绝对值，根据余弦函数的性质即可求出．
【详解】 因为实数x ，y 满足2212
x y +…，
设x θ=，sin y θ=，
222222222|2||67||2cos sin 2||2cos sin 7||sin |x y x y x θθθθθθ∴+-++-+=+-++-+=-
+2|cos 8|θθ-+，
22cos 8(cos 100θθθ-+=-->Q 恒成立，
222222|2||67|sin cos 899x y x y x θθθθ∴+-++-+=+-+=--… 故则2222|2||67|x y x y x +-++-+
的最小值等于9-
故选：D ．
【点睛】
本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质，考查了运算能力和转化能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
19．椭圆22
1164
x y +=
上的点到直线20x y +-=的最大距离是（ ） A ．3
B
C
．D
【答案】D
【解析】
【分析】 设椭圆22
1164
x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ
），由点到直线20x y +=的距离公式，计算可得答案．
【详解】 设椭圆22
1164
x y +=上的点P （4cosθ，2sinθ） 则点P
到直线20x y +=的距离
=，
max d ==，故选D ．
【点睛】
本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．
20．已知曲线Γ
的参数方程为(3cos ln x t t t y t ⎧=-⎪⎨=⎪⎩
其中参数t R ∈，,则曲线Γ（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称
D ．没有对称轴
【答案】C
【解析】
【分析】 设()x f t =，()y g t = t R ∈，首先判断这两个函数都是奇函数，然后再判断函数关于原点对称.
【详解】
设()x f t =，()y g t = t R ∈
()()()()()3
33cos cos cos f t t t t t t t t t t x -=----=-+=--=-， ()x f t ∴=是奇函数，
()()
((ln ln g t g t t t -+=-+++
((
ln ln ln10t t =-+== , ()y g t ∴=也是奇函数， 设点()()(),P f t g t 在函数图象上，那么关于原点的对称点是()()()
,Q f t g t --， ()f t Q 和()g t 都是奇函数，
所以点Q 的坐标是()()()
,Q f t g t --，可知点Q 在曲线上， ∴ 函数图象关于原点对称.
故选：C
【点睛】
本题考查函数图象和性质的综合应用，意在考查转化与计算能力，属于中档题型.。