几类具时滞连续动力系统的稳定性和分支分析

几类具时滞连续动力系统的稳定性和分支分析在对具时滞连续动力系统的研究中,稳定性、周期解的存在性以及分支问题均是很有意义的研究课题。

其中,稳定性体现了一种结构的平衡;周期解的存在反映了自然界的周期运动规律;分支问题研究的是随着参数的变化结构不稳定的系统某些动力学行为发生变化的现象。

对以上问题的研究需要综合运用动力系统理论、泛函、代数、拓扑以及图论等相关知识。

因此,该方面的研究具有强烈的实际背景和重大的理论意义。

本文利用LaSalle不变原理、拓扑度理论、中心流形定理、规范型方法以及全局分支定理等理论和方法对几类滞后型和中立型微分方程的局部和全局稳定性、周期解的存在性以及不动点分支、全局Hopf分支进行研究。

具体内容如下:在对系统进行全局稳定性和周期解存在性的分析时,本文主要采用的方法有:利用Lyapunov第二方法结合图论中的结论,证明了一个具有年龄结构的多区域种群增长模型正不动点的全局稳定性;构造Lyapunov泛函并结合LaSalle不变原理与渐近自治半流的嵌入思想证明了一个n维多时滞造血干细胞模型零点的全局稳定性;构造Lyapunov泛函并结合Barbala¨t引理,对一类纯量中立型微分方程给出了保证零解全局渐近稳定的充分条件。

对于周期解的存在性,本文主要利用了重合度理论结合Hopf分支分析的方法。

在对系统进行分支分析过程中,首先需要研究原系统在平衡点处线性化系统的特征方程。

对于时滞系统而言,特征方程常常是一个超越方程。

本文针对不同系统的特点,将Routh-Hurwitz判别法分别与Hayes、Ruan和Wei以及Beretta和Kuang 提出的判断超越方程根的分布情况的结论相结合,讨论了系统不动点的稳定性及
Hopf分支和Pitchfork分支的存在性。

其次,基于中心流形理论,利用Hassard et al、Faria和Magilhaes以及Wang 和Wei提出的计算滞后型和中立型微分方程规范型方法,讨论了不同分支的属性,其中包括Hopf分支的分支方向、分支周期解的稳定性、发生分支时不动点的稳定性等。

特别地,利用Wu的全局Hopf分支定理并结合Li和Muldowney关于高维常微分方程组的Bendixson准则,本文对具时滞的资产定价模型和具多时滞造血干细胞模型Hopf分支的全局存在性给予证明。

研究发现,对于前者,经过孤立中心的Hopf连通分支(在参数分量的投影)是无界的;对于后者,经过孤立中心的Hopf连通分支是有界的,它连接了两个不同的中心。

利用Krawcewicz等人建立的全局Hopf分支定理,本文证明了一类纯量中立型微分方程Hopf分支的全局存在性。

此时,过孤立中心的Hopf连通分支(在参数分量的投影)是无界的。