2018年高三最新 北京市朝阳区2018年综合练习(一)高三

2018年北京市朝阳区综合练习（一）
高三数学综合练习（理科）
第I 卷（选择题共40分）
参考公式：
如果事件A 、B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）＝P （A ）·P （B ）
如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k
n k k n n )P 1(P C )k (P --= 球的表面积公式2
R 4S π=
其中R 是表示球的半径 球的体积公式3R 3
4
V π=
其中R 表示球的半径
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集为R ，}3x 3|x {B }
5x 3x |x {A <<-=><=，或，则（ ） A.
R B A R C =
B. R B A R C =
C. R B A R R C C =
D. R B A =
（2）已知m 是平面α外的一条直线，直线α⊂n ，那么m//n 是α//m 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 （3）已知向量a ＝（2，3），b ＝（1，2），且)()(b a b a -⊥+λ，则λ等于（ ） A.
3
5
B. 3
5-
C. －3
D. 3
（4）已知函数x x f ωsin )(=在]4
0[π
，上单调递增且在这个区间上的最大值为
2
3，则实数ω的一个值可以是（ ）
A.
3
2 B.
3
8 C.
3
4 D.
3
10 （5）从10种不同的作物种子中选出6种，放入分别标有1号至6号的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入1号瓶内，那么不同的放法共有（ ）
A. 482
10A C 种
B. 5
919A C 种
C. 5
818A C 种
D. 5
918A C 种
（6）如下图，正方形ABCD 的顶点A （0，
22），B （2
2
，0），顶点C 、D 位于第一象限，直线)20(≤≤=t t x l ：将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部
分的面积为f(t)，则函数)(t f S =的图象大致是（ ）
（7）过双曲线
)00(12
2
22>>=-b a b y
a x ，的一个焦点F 引它的一条渐近线的垂线FM ，垂足为M ，并且交y 轴于E ，若M 为EF 的中点，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2
B.
3
C. 3
D.
2
（8）设函数f(x)在定义域D 上满足0)(1)2
1(≠-=x f f ，，且当D y x ∈，时，
)1()()(xy y x f y f x f ++=+，若数列}{n x 中，*)(12212
11N n D x x x
x x n n
n ∈∈+==+，，，则数列)}({n x f 的通项公式为（ ）
A. 12)(+-=n n x f
B. 12)(--=n n x f
C. 13)(--=n n x f
D. 13)(+=n n x f
第II 卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

将答案填在题中横线上。

（9）设复数i z i z 32121-=+=，，则21z z ⋅等于_____________。

（10）n
x
x )21(23
-
的展开式共有11项，则n 的值为_____________，其中常数项为_____________。

（11）一平面截得一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的表面积是_____________cm 2，球的体积是_____________cm 3。

（12）已知0<a ，则关于x 的不等式1|3|
>+a
x a
的解集为_____________。

（13）一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面向上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面向上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位，若青蛙跳动4次停止，设停止时青蛙在数轴上对应的坐标为ξ，则=ξE _____________。

（14）下表给出一个“直角三角形数阵”
满足每一列成等差数列，从第三行起每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，
记第i 行，第j 列的数为*)(N
j i j i a ij ∈≥，，，则第3列的公差等于_____________，ij a 等于_____________。

16383434
12141
，，，
三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（15）（本小题满分13分）
已知πθπ
θ<<=
2
2572cos ， （I ）求tan θ；（II ）求
)
4
sin(2sin 2
cos 22
π
θθ
θ
+
-
（16）（本小题满分13分）
已知口袋中有大小相同的m 个红球和n 个白球，2≥≥n m ，从袋中任意取出两个球。

（I ）若34==n m ，，求取出的两个球中至少有一个红球的概率；
（II ）设取出的两球都是红球的概率为1p ，取出的两球恰是1红1白的概率为2p ，且
212p p =，求证：14+=n m 。

（17）（本小题满分13分）
已知矩形ABCD 中，12==AD AB ，，将ΔABD 沿BD 折起，使点A 在平面BCD 内的射影落在DC 上，E 、F 、G 分别为棱BD 、AD 、AB 的中点。

（I ）求证：DA ⊥平面ABC ；
（II ）求点C 到平面ABD 的距离； （III ）求二面角G —FC —E 的大小。

（18）（本小题满分13分）
已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的中心在坐标原点O ，一条准线的方程是4=x ，过
椭圆的左焦点F ，且方向向量为)11(，=a 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，AB 的中点为M 。

（I ）求直线OM 的斜率（用a 、b 表示）；
（II ）直线AB 与OM 的夹角为α，当7tan =α时，求椭圆的方程。

（19）（本小题满分14分） 已知函数b
x ax
x f +=
2
)(，在1=x 处取得极值为2。

（I ）求函数)(x f 的解析式；
（II ）若函数)(x f 在区间（m ，2m ＋1）上为增函数，求实数m 的取值范围； （III ）若P （x 0，y 0）为b x ax x f +=
2)(图象上的任意一点，直线l 与b
x ax
x f +=2
)(的图象相切于点P ，求直线l 的斜率的取值范围。

（20）（本小题满分14分）
在各项均为正数的数列}{n a 中，前n 项和S n 满足*)12(12N n a a S n n n ∈+=+，。

（I ）证明}{n a 是等差数列，并求这个数列的通项公式及前n 项和的公式；
（II ）在XOY 平面上，设点列M n （x n ，y n ）满足n n n n y n S nx a 2==，，且点列M n
在直线C 上，M n 中最高点为M k ，若称直线C 与x 轴、直线b x a x ==、所围成的图形的面积为直线C 在区间[a ，b]上的面积，试求直线C 在区间[x 3，x k ]上的面积；
（III ）是否存在圆心在直线C 上的圆，使得点列M n 中任何一个点都在该圆内部？若存在，求出符合题目条件的半径最小的圆；若不存在，请说明理由。

2018年北京市朝阳区综合练习（一）
高三数学综合练习（理科）参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
（1）B （2）A （3）B （4）C （5）D （6）C （7）D （8）B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
（9）i -5
（10）10，
32105 （11）100π，3
500π
（12）}42|{a x a x a x -≠-<<且， （13）2
（14）161，12
+j i
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
（15）解：（I ）由2572cos =
θ，得25
9sin 257sin 2122
==-θθ，
……2分
5
4cos 53sin 2-==∴<<θθπθπ， 4
3
cos sin tan -==∴θθθ ……6分
（II ）
)
4
sin(2sin 2
cos 22
π
θθ
θ
+
-
θθθθc o s s i n s i n 1c o s +-+=
……10分
5
45353154--
+-= 2= ……13分
（16）解：
（I ）设取出的红球个数为ξ，则72
)2(74)1(2
72
4271314======C C P C C C P ξξ， 所以取出的两个球中至少有一个红球的概率为7
6
7274=+ ……6分
（II ）由已知得2112221n
m n
m n m m C C C p C C p ++==，
又1
122
122n
m m C C C p p =∴= ……10分
mn m m 22
)
1(=-∴
，即042=--mn m m 14+=∴n m ……13分
（17）方法1：
（I ）证明：依条件可知DA ⊥AB
①
∵点A 在平面BCD 上的射影落在DC 上 即平面ACD 经过平面BCD 的垂线 ∴平面ACD ⊥平面BCD 又依条件可知BC ⊥DC ∴BC ⊥平面ACD ∵DA ⊂平面ACD ∴BC ⊥DA ② B BC AB =
∴由①、②得DA ⊥平面ABC ……4分 （II ）解：设求点C 到平面ABD 的距离为d 于是ABC D ABD C V V --=
由（I ）结论可知DA ⊥平面ABC ∴DA 是三棱锥D —ABC 的高 ∴由ABC D ABD C V V --=，得ABC ABD DAS dS ∆∆=3
1
31 解得2
2=
d 即点C 到平面ABD 的距离为
2
2 ……8分
（或者证明CG ⊥平面ABD ，求CG 的长即可）。

（III ）解：由（I ）结论可知DA ⊥平面ABC ∵AC 、CG ⊂平面ABC ∴DA ⊥AC ① DA ⊥CG ②
由①得ΔADC 为直角三角形，易求出AC ＝1 于是ΔABC 中AC ＝BC ＝1
∵G 是等腰ΔABC 底边AB 的中点 ∴CG ⊥AB ③ A DA AB = ④ ∴由②、③、④得CG ⊥平面ABD ∵CG ⊂平面FGC
∴平面ABD ⊥平面FGC
在平面ABD 内作EH ⊥FG ，垂足为H ∴EH ⊥平面FGC
作HK ⊥FC ，垂足为K 连结EK ，故EK ⊥FC
∴∠EKH 为二面角E —FC —G 的平面角 ……10分
设Rt ΔABD 边BD 上的高为h ，容易求出3
6=
h 6
6=
∴EH 在ΔEFC 中，容易求出2
5
2322=
==
FC EC FE ，，
三边长满足︒=∠∴+=90222FEC EC FE FC ， 于是在Rt ΔFEC 中容易求出10
30
=
EK 3
5
sin =
=
∠∴EK EH EKH
……12分
于是二面角E —FC —G 的大小为3
5
arcsin
……13分
方法2：
如图，以CB 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，过点C ，平面BDC 方向向上的法向量为Z 轴建立空间直角坐标系。

则C （0，0，0），A （0，22-，2
2
），B （1，0，0），D （0，2-，0），E （21，
22-
，0），F （0，423-，42），G （21，42-，4
2
） （I ）证明：
)001()2
2221()22220(，，，，，，，，=→
--=→=→CB BA DA
且B CB BA CB DA BA DA ==++=→⋅→=+-=→⋅→ ，，000002
1
210
∴DA ⊥平面ABC
……4分
（II ）解：设点C 到平面ABD 的距离为d
)2
2220()22221()22220(--=→-=→-=→，，，，，，，，AD AB AC
容易求出平面ABD 的一个法向量为)112(2--=，，n 22|1
12122
2201||cos |||2=++⨯++
⨯
=>→
<→=∴n AC AC d ， 即点C 到平面ABD 的距离为
2
2
……8分
（III ）解：)4
2
4221()02221(，，，，，--=→-=→EF EC
容易求出平面FEC 的一个法向量为)312(3，，=n 又)02
221()424221(，，，，，--=→--=→GF GC
容易求出平面FGC 的一个法向量为)312(4，，-=n
32
12
12912cos 43=⨯++->=<∴n n ， ……12分
∴于是二面角E —FC —G 的大小为3
2
arccos ……13分
（等价于3
5
)32(1sin 2=-=∠EKH ）
（18）解：（I ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为A 、B 在椭圆上
所以11
22
2
222221221=+=+b
y a x b y a x ， 两式相减，得：22
21212121a b x x y y x x y y -=++⋅--
2
12
1
21211x x y y k x x y y k OM AB ++==--=， 22a
b k OM
-=∴
……6分
（II ）因为直线AB 与OM 的夹角为α，tan α＝7
由（I ）知22
1
a
b k k OM AB -==，
711tan 2
22
2=-+=
∴a
b a b α ①
又椭圆中心在坐标原点O ，一条准线的方程是4=x
42=∴c
a
②
在椭圆中，2
2
2
c b a +=
③
联立①②③，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==34
22b a
……12分
所以，椭圆的方程为13
42
2=+y x ……13分
（19）解：
（I ）已知函数b x ax x f +=2)(，2
22)()
2()()('b x x ax b x a x f +-+=∴
又函数)(x f 在1=x 处取得极值2，⎩⎨⎧==∴2
)1(0
)1('f f
即⎩⎨
⎧==⇒⎪⎩⎪
⎨⎧=+=-+14210
2)1(b a b
a a
b a 1
4)(2+=∴x x
x f ……4分
（II ）222
222)
1(44)1()2(4)1(4)('+-=+-+=x x x x x x x f
由0)('>x f ，得0442
>-x ，即11<<-x
所以1
4)(2+=
x x
x f 的单调增区间为（－1，1） ……6分
因函数)(x f 在（m ，2m ＋1）上单调递增，
则有⎪⎩
⎪
⎨⎧>+≤+-≥m m m m 121121，解得01≤<-m
即]01
(，-∈m 时，函数)(x f 在（m ，2m ＋1）上为增函数 ……9分
（III ）2
222
)
1()
2(4)1(4)('1
4)(+-+=∴+=x x x x x f x x
x f 直线l 的斜率为2
2020
200)1(8)1(4)('+-+==x x x x f k ……10分 ]1
1
)1(2[42
022
0+-+=x x 令]10(1
1
20，，∈=+t t x ，则直线l 的斜率]10()2(42，，∈-=t t t k
]42
1
[，-∈∴k
即直线l 的斜率k 的取值范围是]42
1[，-
……14分
（或者由)('0x f k =转化为关于2
0x 的方程，根据该方程有非负根求解）。

（20）解：（1）由已知得1222-+=n n n a a S ①
故1221211-+=+++n n n a a S
②
②－①得n n n n n a a a a a -+-=+++12211222
结合0>n a ，得2
1
1=
-+n n a a }{n a ∴是等差数列
……2分
又1=n 时，12212
11-+=a a a ，解得11=a 或2
1
1-
=a 101=∴>a a n ，
……3分 又2
1=d ，故2121)1(211+=-+=n n a n ……4分
n n n n n S n 4
3
412)1(212+=-⋅+=∴ ……5分
（II ）n n n n y n S nx a 2==，
n n S y n n a x n n n n 43
4121212+
==+==∴， 即得点)43
412121(n n M n ++
， 设n
y n x 43
412121+=+=，，消去n ，得0123=--y x
即直线C 的方程为0123=--y x ……7分
又n y 4341+=是n 的减函数
∴M 1为M n 中的最高点，且M 1（1，1）
又M 3的坐标为（
32，2
1） ∴C 与x 轴、直线132
==x x 、围成的图形为直角梯形
从而直线C 在[3
2，1]上的面积为41
)321()121(21=-⨯+⨯=S ……10分
（III ）由于直线C ：0123=--y x 上的点列M n 依次为
M 1（1，1），M 2（43，85），M 3（32，2
1），……，M n （n n 43
412121++，），……
而4
1
)4341(lim 21)2121(lim =+=+
∞→∞→n n n n ， 因此，点列M n 沿直线C 无限接近于极限点M （21，4
1
） ……12分
又
8
13)411()211(21||21221=-+-=M M M 1M 的中点为（43，85） ∴满足条件的圆存在 事实上，圆心为（43，85），半径8
13≥r 的圆，就能使得M n 中任何一个点都在该圆的内部，其中半径最小的圆为6413)85
()43
(22=-+-y x ……14分
注：2个空的填空题，做对其中任一个给3分，如有其它解法请阅卷老师酌情给分。