甘肃省兰州大学附属中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(理)试题

2018-2019学年度高二第一学期第二学段考试
数学试题（理）
（满分：150分 时间：120分钟）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．在ABC ∆ 中，内角A 和B 所对的边分别为a 和b ，则a b > 是sin sin A B > 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
2．设椭圆22
:
1259
x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ， P 是C 上任意一点，则12PF F ∆的周长为（ ）
A ．9
B ．13
C ．15
D ．18
3．已知实数满足，则
的最小值是（ ）
A ．
B ．
C ．4
D ．
4．已知数列满足：
，
，)(4221*
+∈=-N n a a n n ，那么使
成立的的最大
值为（ ）
A ．4
B ．24
C ． 6
D ．25
5．定义：离心率的双曲线为“黄金双曲线”，对于双曲线E ：
，
为双曲线的半焦距，如果
成等比数列，则双曲线E （ ）
A ．可能是“黄金双曲线”
B ．可能不是“黄金双曲线”
C ．一定是“黄金双曲线”
D ．一定不是“黄金双曲线 6．已知x ＞0，y ＞0，若
m m y
x x 282y 2+>+恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．m≥4或m≤－2 B ．m≥2或m≤－4 C ．－2＜m ＜4 D ．－4＜m ＜2
7．如图，60°的二面角的棱上有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知AB=4，AC=6，BD=8，则CD 的长
为
（ ） A ．
B ．
C ．2
D ．
8．在正四棱柱
中，
，E 为
的中点，则直线BE 与平面
所形
成角的余弦值为 （ ） A ．
1010 B ．51 C ．10103 D ．5
3 9．设F 为抛物线216y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++的值为 （ ） A ．36 B ．2
4 C ．16 D ．12
10．函数()y f x =的图象如图所示,则()f x 的解析式可以为（ ）
A ．()21f x x x =-
B ．()31
f x x x =- C ．()1e x f x x =- D ．()1
ln f x x x
=-
11．设函数，函数
，若对任意的
，总
存在
，使得
，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．设F 1，F 2分别是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x E 的左、右焦点，直线l 过F 1交椭圆E
于A ，B 两点，交y 轴于C 点，若满足且
，则椭圆的离心率为
（ ）
A ．
33 B ．63 C ．31 D ．6
1
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．设
的内角
所对边的长分别为
,若
,则角
_________．
14．设公比不为1的等比数列{a n }满足8
1
321-=a a a ，且342,,a a a 成等差数列，则数列{a n }
的前4项和为_____． 15．如图，点
在正方形
所在的平面外，
AD PD ABCD PD =⊥，底面，则与
所成角的度数
为____________.
16．已知函数f(x)，x ∈ (0,+ ∞)的导函数为()f x '，且满
足()()32x
xf x f x x e -=',f(1)=e-1,则f(x)在()()
2,2f 处的切线为__ __
三、解答题
17．（10分）ABC ∆中，三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若)cos ,(cos C B m =，
),2(b c a +=，且⊥.
（1）求角B 的大小；
（2）若8,7=+=c a b ，，求ABC ∆的面积.
18．（12分）如图，四面体ABCD 中，O 是BD 的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=2．
（1）求证：AO ⊥平面BCD ； （2）求二面角O ﹣AC ﹣D 的余弦值．
19．（12分）已知动点P(x,y)(其中y 0≥)到x 轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1. （1）求动点P 的轨迹方程；
（2）若直线l ：x-y+1=0与动点P 的轨迹交于A 、B 两点，求△OAB 的面积.
20.（12分）已知公比为整数的正项等比数列{}n a 满足：2413=-a a ，10
913=a a ．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令n n a n b )1(+=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
21．（12分）已知椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心
率为2
2
，且经过点)0,2(A .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点A 的动直线l 交椭圆于另一点B ，设)0,2(D -，过椭圆中心O 作直线BD 的垂线交l 于点C ，求证：∙为定值.
22．（12分）已知函数x a x a x x f ln )1(2
1)(2
++-=
. （1）当1>a 时，求)(x f 的单调区间；
（2）当1<a 且0≠a 时，若)(x f 有两个零点，求a 的取值范围.
1. C
2.D
3.A
4.C
5.C
6.D
7.A
8.C
9.B 10.C 11.D 12.A 13.
π32 14. 8
5
15. 60 16．()
228e 412e 4y x =--+ 【解析】∵()()32x
xf x f x x e -='，
∴
()()
3
2x xf x f x e x
-='．
令()()2f x g x x =
，则()()()
3
2x xf x f x g x e x -'='=
，
∴()()2
x f x g x e c x
=
=+（c 为常数），
∴()()
2x f x x e c =+， 又()11f e c e =+=-， ∴1c =-．
∴()()
21x f x x e =-，
∴()()()
222122x x x f x x e x e x x e x +=+'=--，
∴()2
284f e ='-．
又()()
2241f e =-，
∴所求切线方程为()()()2241842y e e x --=--，即()
2
284124y e
x e =--+．
答案： ()
2284124y e x e =--+
17．（1）；（2）. 18.（1）证明略（2）
7
21
19.(1) 2
x y 4
=；（2）OAB S = 20.(1)
.(2)
.
21. 4
因为椭圆的离心率，且，所以.
又.故椭圆的标准方程为.
设直线的方程为（一定存在，且）.
代入，并整理得.
解得，于是.
又，所以的斜率为.
因为，所以直线的方程为.
与方程联立，解得.
故为定值.
22．（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）.
（1）.
当时，由，得或；
由，得.
故在，上单调递增，在上单调递减.
（2）①当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，
因为，，且，
所以，即.
②当时，在，上单调递增，在上单调递减，
在时取得极大值，且，因为，所以，则，
所以在只有一个零点.
综上，的取值范围为.。