2019年高考数学(文科)二轮专题突破训练:四数列专题能力训练12(含答案)

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当 x=1 或 19 时,S=3 800.
∴Smin=2 000 m. 1
7. 解析 由 a11=2 及 an+1=1 - ������������,得 a10=. 1
同理 a9=-1,a8=2,a7=2,…. 1
所以数列{an}是周期为 3 的数列.所以 a1=a10=2.
{ 14,������ = 1,
2
专题能力训练 12 数列的通项与求和
一、能力突破训练
1.已知数列{an}是等差数列,a1=tan 225°,a5=13a1,设 Sn 为数列{(-1)nan}的前 n 项和,则 S2 016=( )
A. 2 016
B.-2 016
C.3 024
D.-3 024
1
2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2+n,数列{bn}满足 bn=������������������ ������ + 1(n∈N*),Tn 是数列{bn}的前 n 项和,则
B.an=2 2 3 ,n∈N*
1,������ = 1,
{ ( ) 3 3 +×
1 ������,������ > 2,且������

������
*
C.an= 2 2 3
D.an=1,n∈N*
6.植树节,某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 m.开始时需将树苗集中放
(2)由(1)知 anbn=n·2n,
2
2
因此 Tn=2+2·22+3·23+…+n·2n,
2Tn=22+2·23+3·24+…+n·2n+1, 所以 Tn-2Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1. 故 Tn=(n-1)2n+1+2(n∈N*).
二、思维提升训练
12.B 解析 根据条件找规律,第 1 个 1 是分子、分母的和为 2,第 2 个 1 是分子、分母的和为 4,第 3 个 1 是分
2
2
( ) 3 3 ‒×
1 ������
则 an=2 2 3 ,n∈N*.
6.2 000 解析 设放在第 x 个坑边,则 S=20(|x-1|+|x-2|+…+|20-x|).
由式子的对称性讨论,当 x=10 或 11 时,S=2 000.
当 x=9 或 12 时,S=20×102=2 040;……
1
d=-1,∴������������=-n,∴Sn=-.
14.(1)证明 由条件,对任意 n∈N*,有 an+2=3Sn-Sn+1+3, 因而对任意 n∈N*,n≥2,有 an+1=3Sn-1-Sn+3. 两式相减,得 an+2-an+1=3an-an+1,即 an+2=3an,n≥2.
又 a1=1,a2=2,
111来自18.2������ + 1,������ ≥ 2 解析 在 a1+22a2+…+2������an=2n+5 中用(n-1)代换 n 得 a1+22a2+…+2������
-
1
an-1=2(n-1)+5(n≥2),两
{ 1
14,������ = 1,
式相减,得2������an=2,an=2n+1,又 a1=7,即 a1=14,故 an= 2������ + 1,������ ≥ 2.
2
2
11.已知数列{an}和{bn}满足 a1=2,b1=1,an+1=2an(n∈N*),b1+b2+b3+…+bn=bn+1-1(n∈N*). (1)求 an 与 bn; (2)记数列{anbn}的前 n 项和为 Tn,求 Tn.
二、思维提升训练
112123 1 2
,,,,,
,
12.给出数列1 2 1 3 2 1,…,������ ������ - 1,…, ,…,在这个数列中,第 50 个值等于 1 的项的序号是( )
=n2-n2+2n-1+2n-2-2n=2n-3.
{ - 2,������ = 1,
∴an= 2������ - 3,������ ≥ 2.
∴a3+a17=(2×3-3)+(2×17-3)=3+31=34. 35 +
4.D 解析 ∵f(1)=,f(2)=2 2,
335
++
f(3)=2 2 2,……,
{ { 9.解
(1)由题意得
������������21=+2������������21=+41,,则
������1 = 1, ������2 = 3.
又当 n≥2 时,由 an+1-an=(2Sn+1)-(2Sn-1+1)=2an,
得 an+1=3an. 所以,数列{an}的通项公式为 an=3n-1,n∈N*. (2)设 bn=|3n-1-n-2|,n∈N*,b1=2,b2=1. 当 n≥3 时,由于 3n-1>n+2,故 bn=3n-1-n-2,n≥3.
16.已知数列{an}满足 an+2=qan(q 为实数,且 q≠1),n∈N*,a1=1,a2=2,且 a2+a3,a3+a4,a4+a5 成等差数列. (1)求 q 的值和{an}的通项公式;
������������������2������2������ (2)设 bn= ������2������ - 1 ,n∈N*,求数列{bn}的前 n 项和.
3
f(n)=2+f(n-1),
5
3
∴{f(n)}是以2为首项,2为公差的等差数列.
5 20(20 - 1) 3
+
×
∴S20=20×2
2
2=335.
5.A 解析 因为数列 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为 1,公比为的等比数列,
( )1 ������ - 1
所以 an-an-1= 3
,n≥2.
所以当 n≥2 时,
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
( ) ( ) 1 +
1
2
1 ������ - 1
=1+3 3 +…+ 3
1 - 1 ������
( )3
33
=‒×
1
������
( ) 1 2 2 3
1-
=
3
.
( ) 3 3 ‒×
1 ������
又当 n=1 时,an=2 2 3 =1,
A.4 900
B.4 901
C.5 000
D.5 001
13.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 a1=-1,an+1=SnSn+1,则 Sn= .
14.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a2=2,且 an+2=3Sn-Sn+1+3,n∈N*.
(1)证明:an+2=3an;
11 1
19
T9=4 1 - 2 + 2 - 3 +…+ 9 - 10
= ×1- =
4
10 40.
3.C 解析 ∵Sn=n2-2n-1,
∴a1=S1=12-2-1=-2.
当 n≥2 时,
an=Sn-Sn-1 =n2-2n-1-[(n-1)2-2(n-1)-1]
=n2-(n-1)2+2(n-1)-2n-1+1
当 q=4 时,由①得 d=-1,则 S3=-6.
11.解 (1)由 a1=2,an+1=2an, 得 an=2n(n∈N*).
由题意知:当 n=1 时,b1=b2-1,故 b2=2.
1
当 n≥2 时,������bn=bn+1-bn, ������������ + 1 ������������
=
整理得������ + 1 ������ ,所以 bn=n(n∈N*).
98(1 + 98)
2
+50=4 901.
{ } 1 1
11
1
1


13.- 解析 由 an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1,得������������ ������������ + 1=1,即������������ + 1 ������������=-1,则 ������������ 为等差数列,首项为������1=-1,公差为
∴当 n=1 时,a1=2;当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n,
∴an=2n(n∈N*),
( ) 1
1
11 1
=
=-
∴bn=������������������������ + 1 2������(2������ + 2) 4 ������ ������ + 1 ,
[( ) ( ) ( )] ( ) 1 1 1 1
所以 a3=3S1-S2+3=3a1-(a1+a2)+3=3a1, 故对一切 n∈N*,an+2=3an.
������������ + 2
(2)解 由(1)知,an≠0,所以 ������������ =3,于是数列{a2n-1}是首项 a1=1,公比为 3 的等比数列;数列{a2n}是首项 a2=2,公
A.305
B.315
C.325
D.335
5.已知数列{an},构造一个新数列 a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…,此数列是首项为 1,公比为的等比数列,则数列{an}的
通项公式为( )
( ) 3 3 ‒×
1 ������
A.an=2 2 3 ,n∈N*
( ) 3 3 +×
1 ������
2
2
专题能力训练 12 数列的通项与求和
一、能力突破训练
������5 - ������1 13 - 1
=
1.C 解析 ∵a1=tan 225°=1,∴a5=13a1=13,则公差 d= 5 - 1
4 =3,∴an=3n-2.
又(-1)nan=(-1)n(3n-2),
∴S2 016=(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)+…+(a2 014-a2 013)+(a2 016-a2 015)=1 008d=3 024. 2.D 解析 ∵数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=n2+n,
(2)求 Sn.
11 2
‒=
15.已知{an}是等比数列,前 n 项和为 Sn(n∈N*),且������1 ������2 ������3,S6=63.
(1)求{an}的通项公式; (2)若对任意的 n∈N*,bn 是 log2an 和 log2an+1 的等差中项,求数列{(-1)n���������2���}的前 2n 项和.
9.设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*. (1)求通项公式 an; (2)求数列{|an-n-2|}的前 n 项和.
10.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的前 n 项和为 Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若 a3+b3=5,求{bn}的通项公式; (2)若 T3=21,求 S3.
置在某一树坑旁边,使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为
m.
1
7.数列{an}满足 an+1=1 - ������������,a11=2,则 a1= .
1
1
8.数列{an}满足 a1+22a2+…+2������ an=2n+5,n∈N*,则 an= .
子、分母的和为 6,……,第 50 个 1 是分子、分母的和为 100,而分子、分母的和为 2 的有 1 项,分子、分母的和
为 3 的有 2 项,分子、分母的和为 4 的有 3 项,……,分子、分母的和为 99 的有 98 项,分子、分母的和为 100 的
1 2 3 50 51 99
,,
,
项依次是:99 98 97,……,50 49,…, 1 ,第 50 个 1 是其中第 50 项,在数列中的序号为 1+2+3+…+98+50=
-
������2
-
5������ + 11
,������ ≥ 2,������

������ * .
所以 Tn=
2
10.解 设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q,
则 an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.
由 a2+b2=2 得 d+q=3.

(1)由 a3+b3=5,得 2d+q2=6. ②
T9 等于( )
9
18
20
9
A.19
B.19
C.21
D.40
3.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2-2n-1,则 a3+a17=( )
A.15
B.17
C.34
D.398
4.已知函数 f(x)满足 f(x+1)= +f(x)(x∈R),且 f(1)=,则数列{f(n)}(n∈N*)前 20 项的和为( )
{ { ������ = 3,
������ = 1,
联立①和②解得 ������ = 0 (舍去), ������ = 2.
因此{bn}的通项公式为 bn=2n-1. (2)由 b1=1,T3=21 得 q2+q-20=0,
解得 q=-5 或 q=4.
当 q=-5 时,由①得 d=8,则 S3=21.
设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,则 T1=2,T2=3.
9(1 - 3������ - 2) (������ + 7)(������ - 2) 3������ - ������2 - 5������ + 11

=
当 n≥3 时,Tn=3+ 1 - 3
2
2
,
2,������ = 1,
{3������
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